高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.5

§9.5 子空间
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2．两两正交的子空间的和必是直和．
证明：设子空间 V1 ,V2 , ,Vs 两两正交， 要证明 V1 V2 Vs , 只须证：
V1 V2 Vs 中零向量分解式唯一．
设 1 2 s 0, i Vi , i 1,2,, s
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2013-8-8
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§9.5 子空间
一、正交子空间 二、子空间的正交补
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再证唯一性.
设 V2 ,V3 是 V1 的正交补，则
V V1 V2 V1 V3
对 V2 , 由上式知 V1 V3
即有 1 3 ,
又 V1 V2 , V1 V3
1 V1 , 3 V3
1 3 , 1 ,
注：① 子空间W的正交补记为 即 W .
W V W
② n 维欧氏空间V的子空间W满足: i) (W ) W
dimW dimW dimV n ii)
iii) W W V ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间. 但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.
一、欧氏空间中的正交子空间
1．定义：
1) V1 与V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对
V1 , V2 , 恒有
( , ) 0,
则称子空间 V1 与 V2 为正交的，记作 V1 V2 . 2) 对给定向量 V , 如果对 V1 , 恒有
( , ) 0,
从而有 ( ,1 ) (1 3 ,1 ) (1 ,1 ) ( 3 ,1 )
(1 ,1 ) 0
由此可得 1 0,
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即有 V3
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V2 V3 .
同理可证 V3 V2 , V2 V3 .
唯一性得证.
V1 V2 V , 则称 V2 为 V1 的正交补.
2．n 维欧氏空间V的每个子空间 V1 都有唯一正交补.
证明：当 V1 {0} 时，V就是 V1 的唯一正交补． 当 V1 {0} 时， V1 也是有限维欧氏空间.
取 V1 的一组正交基 1 , 2 ,, m ,
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Vi V j , i j
( i ,0) ( i ,1 2 s ) ( i , i ) 0
由内积的正定性，可知
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i 0, i 1,2,, s.
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二、子空间的正交补
1．定义：
如果欧氏空间V的子空间 V1 ,V2 满足 V1 V2 , 并且
xm 1 m 1 xn n V2 ,
( , ) ( xi i ,
i 1 m j m 1

n
x j j )
m
i 1 j m 1

n
xi x j ( i , j ) 0
V1 V2 .
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即 V2 为 V1 的正交补.
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3．内射影
设W是欧氏空间V的子空间，由 V W W ,
对 V , 有唯一的 1 W , 2 W , 使
1 2
称 1 为 在子空间W上的内射影.
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由定理1，它可扩充成V的一组正交基
记子空间 L m1 ,, n V2 .
显然, V1 V2 V .
1 , 2 ,, m , m 1 ,, n ,
又对 x1 1 x2 2 xm m V1 ,
则称向量 与子空间 V1 正交，记作 V1 .
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注：
① V1 V2 当且仅当 V1 中每个向量都与 V2 正交． ② V1 V2 V1 V2 {0}.

V1 V2 ( , ) 0 0.
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③ 当 V1 且 V1 时，必有 0.