机器人的数学基础及模型建立

0 n 1 1 T 0T 2T n nT 1
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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四、机械手的运动学方程
3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）
例：两关节机械手的形状如图 所示，它由一个基座，两个连 杆 L1 , L2 ，两个关节 J1 , J 2 构成。 两个关节的轴线平行，1 , L2 长 L 度分别为 l1 , l2 。 解：首先，建立如图所示的坐 标系{0}，{1}，{2}；然后根据 已知条件确定两关节机械手的 连杆参数，如下表所示：
第二章 机器人的数学基础及模型建立
4
一、矩阵相关知识
2 矩阵的加法
设有矩阵 A (aij ) mn , B (bij ) mn ，则矩阵 A B 定义为
A B (aij bij ) mn
a11 b11 a b 21 21 am1 bm1
cos R（z, ) sin 0
W'
sin cos sin 0 cos 0
0 0 1
w
绕y轴旋转

o
O'
v z
y
u x
U' W'
w
绕z轴旋转
v'
- sin cos 0
o
O'

v
y
u x
第二章 机器人的数学基础及模型建立
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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四、机械手的运动学方程
2 机械手运动学方程的建立
（1）坐标系{i}的建立
yi
yi 1
yi 1
bi
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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四、机械手的运动学方程
2 机械手运动学方程的建立
（1）坐标系{i}的建立 选择bi在关节i轴线上的垂足为坐标系原点， 关节i轴线方向为Zi轴，bi所在直线为Xi轴，Yi轴按 右手规则确定。 （2）确定坐标系{i}相对于{i-1}的坐标变换
B
第二章 机器人的数学基础及模型建立
A
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三、坐标变换
4 齐次坐标变换
对于仅有平移变换的情况，BT 记作 1 0 0 pxA 0 1 0 p yA A BTrans ( p x A , p y A , p z A ) 0 0 1 pz A 0 0 0 1
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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一、矩阵相关知识
4 矩阵的转置
m n矩阵A =(aij )的转置矩阵是一个n m矩阵，它的 (i, j)元素是aji,记为AT(或A)。 a11 a12 a1n a11 a a a22 a2 n 则 AT 12 A 21 am1 am 2 amn a1n 1 3 2 5 , 则 AT 1 2 7 如：A 3 5 4 7 4 a21 am1 a22 am 2 a2 n anm
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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二、位置和姿态描述
2 方向描述
为了描述刚体的方向，需要建立一个 与刚体固联在一起的坐标系 B,刚体相对 于坐标系 A的方位可以用旋转矩阵（方 向余弦矩阵）表示，即
r11 r12 r13 A R r21 r22 r23 B r31 r32 r33 iA iB iA jB j A iB j A jB k A iB k A jB
iA k B jA kB k A kB
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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三、坐标变换
1 平移坐标变换
A
p p pBO
B A
平移坐标变换特点：
两坐标系坐标轴相 互平行，但坐标原 点不同
平移坐标变换
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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三、坐标变换
2 旋转坐标变换
第二章 机器人的数学基础及模型建立
-sin cos 0 0
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三、坐标变换
4 齐次坐标变换
（3）若 AT 为{B}相对于{A}的齐次变换矩阵，BT B C
为{C}相对于{B}的齐次变换矩阵，那么{C}相对于
A {A}的齐次变换矩阵 CT 为
A C
T T T
A B B C
（4） AT 的逆的一般形式为 B
称为齐次变换矩阵。
15
三、坐标变换
4 齐次坐标变换
齐次变换矩阵
A BR A BT o A
pBO 1
O
的一些性质： A p （1）它代表了坐标系{B}相对于坐标系{A}的描述， B A 是{B}的原点在{A}中的位置矢量， R 则是{B}在{A}中 B 的姿态。 （2）它表示{B}从与{A}重合开始，先沿 pBO 进行平 移变换，再按 A R 进行旋转变换得到的复合变换的结 果。
k 1 s
第j列
第j列
c11 c1 j c1n a11 a12 a1s b11 b1 j b1n b21 b2 j b2 n 第i行 ai1 ai 2 ais ci1 cij cin 第i行 b b b s1 sj sn a c c c am1 amn mj mn m1 m1
基于机器人的算法设计
Algorithm design based on Robot
授课教师：温秀平
Algorithm design based on Robot
1
第2章
机器人的数学基础及模型建立
第二章 机器人的数学基础及模型建立
2Baidu Nhomakorabea
主要内容 一、矩阵相关知识 二、位置和姿态描述 三、坐标变换
四、机械手的运动学方程 五、机械手的动力学方程
U'
13
三、坐标变换
3 复合变换
A
p R p pBO
A B B A
复合变换特点：两坐标
系坐标原点不同，坐标
复合变换
轴方向也不同。
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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三、坐标变换
4 齐次坐标变换
用4×1的列向量来表示三维坐标系内的点的 坐标，称为点的齐次坐标。把式
A A p B R B p A pBO
坐标系{i}可以看作是先与{i-1}重合，然后经 过四次坐标变换得到的一个坐标系。这四次变换依 次为：先绕Xi-1旋转 i 1 ，再沿Xi-1平移bi-1，绕后绕 Zi轴旋转 i ，最后沿Zi平移di，即可得到坐标系{i}。
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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四、机械手的运动学方程
2 机械手运动学方程的建立
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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一、矩阵相关知识
5 矩阵的逆
设A是n 阶矩阵,若存在n 阶矩阵B满足 AB BA E n 称A是可逆矩阵, 称B为A的逆矩阵,记为B A1。
6 分块矩阵
对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算， 经常采用分块法。如：
a11 a A 21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 A1 a34 A3 a44 A2 A4
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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四、机械手的运动学方程
3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）
Li L1 L2
i 1
bi 1
di
i 1
2
0 0
0
l1
0 0 1 0
A B RT A 1 BT 0 A B RT A pB0 B AT 1
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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四、机械手的运动学方程
1 机械手相关参数定义
关节转角
bi
连杆间距
连杆长度
连杆扭角
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第二章 机器人的数学基础及模型建立
四、机械手的运动学方程
1 机械手相关参数定义
（1）连杆扭角 i ：相邻两关节轴线之间的
夹角。 （2）连杆长度 bi ：相邻两关节轴线的公垂 线长度。 （3）连杆间距 di ：关节i,i+1轴线的公垂 线与关节i,i-1轴线的公垂线之间的距离。 （4）关节转角 q（i）：关节i,i+1轴线的公 i
垂线与关节i,i-1轴线的公垂线之间的夹角。
A
p R p
A B B
旋转坐标变换特点：
两坐标系坐标原点
相同，但坐标轴方 向不同
旋转坐标变换
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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三、坐标变换
z
2 旋转坐标变换
0 1 R(x, ) 0 cos 0 sin cos 0 R（y, ) 0 1 sin 0
对于仅有基本旋转变换的情况，{B}绕{A}的X轴或 Y轴或Z轴旋转 角的齐次变换矩阵分别记为
A
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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三、坐标变换
4 齐次坐标变换
0 1 0 cos A B Rot(X, )= 0 sin 0 0 cos 0 0 1 A B Rot(Y, )= -sin 0 0 0 cos sin A B Rot(Z, )= 0 0 0 -sin cos 0 sin 0 cos 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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一、矩阵相关知识
1 矩阵的定义
由m×n个数 aij (1≤i≤m,1≤j≤n)排成m行n列的数表
a11 a A 21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
称为m×n矩阵。也可以写作 A (aij )mn ，其中aij 称为元素 。
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第二章 机器人的数学基础及模型建立
二、位置和姿态描述
1 位置描述
刚体的位置可以用它在某个参考坐标系中的 坐标向量来描述。
A
zA
p px
py
A
pz
T
A
p
其中 px ,
p y , pz 是点P在坐标系
pz OA px py yA
A 中的三个坐标分量， p 也称
为位置矢量。
xA
A
A A B R B p A pBO B R p 1 o 1 A
写成等价形式
式中
pBO B p 1 1
A BR A BT o
A
pBO 1
第二章 机器人的数学基础及模型建立
sin i cos i sin cos cos i cos i 1 i i 1 sin i sin i 1 cos i sin i 1 0 0
对于具有n个连杆的机械手，建立运动学方程时，要 确定末端手爪坐标系{n}相对于基座坐标系{0}的坐标变换。 再根据齐次变换矩阵的乘法规则可得
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1n a2 n b2 n amn bmn mn
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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一、矩阵相关知识
3 矩阵的乘法
设A = (aik ) ms ，B = (bkj ) sn，那么AB是一个m n矩阵， 令C =AB = (cij ) mn ,其中 cij aik bkj ai1b1 j ai 2b2 j ais bsj , 1 i m, j n 1
i 1 i
T
i 1 u
Rot (X i 1 , i 1 ) uTrans (bi 1 , 0, 0) wv Rot ( Z i , i ) wiTrans(0, 0, di ) v 0 sin i 1 cos i 1 0 bi 1 di sin i 1 di cos i 1 1