易拉罐尺寸的最优设计.

模型二：
Y r h r c h a d
2 2
应使Y取最小值，
模型二：
min M Y r 2 h r c h a d
2
V r c 2 h a d s.t. a , c, d 0
图2 有不同罐壁厚 度的圆柱形易拉罐
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同 工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝 长度也尽量取到最小。 Z 2r 根据模型分析，可得焊缝长度： 将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以 将二者直接相加。
模型三：
m in S 2 r 2 rh V r 2 h s.t. r , h 0


图1 各点罐壁厚度相 同的圆柱形易拉罐


（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同， 根据材料的用量与其体积成正比。 容积一定时，所用材料的体积最小时的尺 寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：
百事可乐 七喜劲柠
美年达 醒目 轻怡 菠萝啤酒 雪花啤酒
6.618 6.614
6.616 6.646 6.628 6.62 6.614
4.554 4.548
4.536 4.55 4.552 4.548 4.55
10.114 10.112
10.116 10.114 10.118 10.108 10.11
12.174 12.172
12.162 12.166 12.166 12.158 12.166
0.0466 0.0462
0.047 0.0473 0.0468 0.0482 0.0475
0.0108 0.0102
0.0108 0.0107 0.0104 0.0113 0.0107
0.0326 0.0316
g ( r , h) r 2 h v 0 s.t.r 0 h 0
二、模型建立
问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型 （1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1可知： 容积为 ：
模型一：
V r 2 h
V r h
2
表面积为 ：M 模型一：
S 2rh r 2 r 2 2 r 2 rh
高铁1602 314宿舍
销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？？？
问题：
• 1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设 计？ • 2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧 面厚度的3倍），如何设计最优？
一、摘要
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。
0.032 0.0318 0.032 0.0322 0.0324
6.618 6.614
6.616 6.646 6.628 6.62 6.614
表2 GB／T 9106—2001中规定的罐体主要尺寸(单位：毫米)[5
公称尺寸
名称 符号 250mL 罐体高度 H 90.93 275mL 98.95 300mL 115.2 335mL 122.22 500mL 167.84 ±0.38 极限 偏差
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易 拉罐用料模型 s ( r ) 2rd ( v 2 2r ),
r
由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉 罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型： min s ( r , h)
罐体外径
D1
66.04
缩颈内径 翻边宽度
D2 B
57.40 2.22
±0.25 ±0.25
然后分别对
F r 2rh 2 r c h a d 2 r c h a d 0 F 2 2 2r 2 2 r c 2 r c 0 h F 2 h a d V 0 r c
解得：
F r 2h r c h a d r c h a d V
2 2
V r c h a d 2 2 s . t . min M Y r h r c h a d a , c, d 0
2
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形，根据模型二， ， 用拉格朗日乘数法求解新的函数： ，


即 圆柱体的高与半径 之比为6时为最优尺寸
2
h ad r c
h 6 r
，
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 根据模型一 知：
m in S 2 r 2 rh V r 2 h s.t. r , h 0
数 值 种 类 可口可乐 雪碧 天府百柠 项 目 罐体 直径 (cm) 6.616 6.62 6.66
10种355ml易拉罐饮料的相关测量数据
圆台口 直径 (cm) 4.552 4.562 4.574 罐体 高度 (cm) 10.116 10.088 10.102 整罐 高度 (cm) 12.164 12.192 12.182 顶盖 厚度 (cm) 0.0471 0.0448 0.0462 侧面 厚度 (cm) 0.0109 0.011 0.0113 圆台 厚度 (cm) 0.0318 0.0332 0.0322 罐底 厚度 (cm) 6.616 6.62 6.66
min M 1Y 2 Z 1 r 2h r c h a d 2 2r
2


V r c 2 h a d s.t. 1 , 2 0
（此模型即为求解问 题二的完善模型）
三ห้องสมุดไป่ตู้模型求解
1. 问题一的求解 表1