微积分中的哲学思想

微积分中的哲学思想
PB07210192 张曜
摘要：微积分首创权的争夺体现了个科学哲学问题。微积分中体现了对立统一的规律。微积分的极限概念有助于解决芝诺悖论。微积分使哲学找到了新的用以描述和论证世界的工具。同时也使哲学面临更多新的问题。
关键词：微积分；科学哲学；辩证法

在历史上，有许多哲学家对数学非常感兴趣。毕达哥拉斯学派、柏拉图、笛卡儿、莱布尼茨、罗素、怀特海等，甚至他们其中有的人本身就是数学家。为什么他们会对数学那么关注呢？数学和哲学有什么关系呢？
数学是一门研究空间形式和数量关系的科学，它"可以被看作是一个处理抽象实体以及对这些抽象实体作抽象运算的推理形式体系。"[1] 而哲学所关涉的对象不是经验的对象而是超经验的对象，如宇宙万物的本原、存在、实体或本体，包括人在内所有存在物的来源和归宿等等，同样需要理性思维的能力。历史上哲学和数学相互影响，相互促进，共同发展。数学是一门公理化的演绎体系，它的一系列原理都可以从最初的几个不证自明的公理推论出来。而哲学，正如许多哲学家认为的那样，应该成为象数学和数学化的物理学那样的严密的科学体系，因而数学就理所当然地成了哲学构造体系的典范。用数学的演绎体系来构建哲学体系一直是西方哲学家的一个梦想。
哲学被看作是一切科学知识的基础，是对具体科学的概括、总结，并指导各个科学。数学在自然科学中的作用，就像哲学在整个科学体系中的作用一样--研究整个世界，得出普遍规律，数学是总结自然界普遍存在的空间形式和数量关系，从而指导自然科学的发展。
在数学发展史上，微积分的诞生是数学发展的三个重要里程碑之一。它体现了数学从静止走向了运动和变化的哲学思想。在微积分的发展过程中，蕴含着丰富的哲学思想。
一、对微积分的首创权的争夺体现了一个科学哲学问题
从微积分产生的历史中，我们可以看到这样一个科学哲学的问题：科学的发现或发明是一个过程，它不是某一个人的智慧火花的简单迸发。任何发现、发明都有一个思想进化和酝酿的过程，科学概念和理论的形成是一个逐步积累和纯化的过程。正如牛顿所说的那样："如果说我比笛卡儿看得远一点，那是因为我站在巨人的肩上。"因此，这就不可避免地涉及到关于科学的优先权的问题。牛顿和莱布尼茨对微积分的发明权的争论为人们所熟知，那么这种争论在排除了时间的先后之外是以什么作为发明的标准的呢？以独创性来衡量是否恰当呢?牛顿和莱布尼

茨之间相互并没有借鉴各自的成果，他们都是自己独立思考而创立了微积分。对首创权的争夺不仅牵涉到科学家的科学荣誉而且也关系到民族自豪感的。牛顿和莱布尼茨的争执就意味着英国人和德国人的争执，那么科学的无国界性是否存在呢？科学的世界主义难道只是一个梦想吗？因此建立一套公平的规则就显的犹为必要了。科学家就是参加科学竞赛的参与者，他们都要遵守这些公正的竞赛规则，后人也可以通过这些规则来评价这些科学家。怎样建立这样的科学规则的工作正是由科学哲学家来完成的。
二、微积分为解决芝诺悖论提供了新的思维角度。
在古希腊，爱利亚学派的芝诺曾提出了几个悖论，其中有一个是阿基里斯追不上乌龟，它主要揭示了运动中包含的矛盾，特别是提出了无穷可分性没连续性的问题。这个悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种"钟"都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的"钟"，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。用这种重复性过程测得的时间称为"芝诺时"。例如，当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻，阿基里斯总是落在乌龟后面。但是用我们的日常钟表来计算，则阿基里斯能很快的追上乌龟。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的"钟"已经无法度量它们了。这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。这里，我们可以通过微积分中的极限来认识无限的概念，人们这样理解无限:无限是有限的发展，无限个数目的和不是一般的代数和，把它定义为"部分和"的极限，我们只有借助极限，才能够认识无限。所以，在这个悖论中，无限可分只是存在于人类的思维当中，在现实世界是不可能存在的，人们只是运用日常生活的有限来认识自然万物，任何超越有限而抽象地谈无限只能陷入诡辩之中。正如爱因斯坦所说："抽掉任何物理内容的空间概念是不存在的。"[3]按照辩证法的思维方式，无限和有限不是绝对对立的，而是相互连结，并能相互转化的。
这里同样也牵扯到一个重要的科学哲学中的问题：即关于时间、空间的测量问题。我们只有选择强周期过程作为测量的基础，才能准确理解自然界的连续性。如果用芝诺时的不均匀的弱周期性过程为测量的基础，

将导致人们在认识自然界时发生很多困难，因此我们借助微积分中的极限概念以及科学哲学中关于时空的测量的标准就能很清楚地理解芝诺悖论的问题之所在。
三、微积分所蕴涵的辩证法的问题
微积分的创立标志着数学由"常量数学"时代发展到"变量数学"时代。这次转变具有重大的哲学意义。变量数学中的一些基本概念如变量、函数、极限、微分、积分、微分法和积分法等从本质上看是辩证法在数学中的运用。正如恩格斯所指出的："数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。"[2]辩证法在微积分中体现了曲线形和直线形、无限和有限、近似和准确、量变和质变等范畴的对立统一。它使得局部与整体，微观与宏观，过程与状态，瞬间与阶段的联系更加明确。使我们既可以居高临下，从整体角度考虑问题，又可以析理入微，从微分角度考虑问题。
这种对立统一的规律在微积分中得到了充分的体现。例如，近似和精确是一对立统一的关系，二者在一定条件下可以相互转化，这就是微积分中通过求极限而获得精确值的重要方法。魏晋南北朝时期的我国的数学家刘徽提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。其方法是"割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆台体而无所失矣。"也就是说：刘徽用圆内接正多边形去逐步逼近圆。祖冲之按刘徽割圆术从正六边形连续算到正24576边形时,得到圆周率π的上下限：3.1415926<π<3.1415927。圆内正多边形的面积可以近似地看作是圆的面积，当正多边形的边为n条时，取极限后就得到了精确的值，这就是通过极限法，从近似中认识了精确。这也是通过极限法使直线形和曲线形等同起来的例证。圆内内接正多边形的边数增加只是量的变化，但是不断的增加直至无限的过程，使多边形就转化成圆，这就是质的变化。所以，微积分的产生就克服了直线与曲线和圆的不可通约性，从而使数学成为辩证法的辅助工具和表现方式。
四、微积分所涉及到的其它一些科学哲学问题
微积分是在解决实际的问题中产生的，因此，它产生后被广泛地运用于各门具体的科学之中，从物理学、化学到经济学、心理学无不闪现着微积分的身影，特别是在工业生产中得到了充分的应用。那么我们是怎样把微积分这种表述数量关系的演绎体系怎样影射到测量的物理操作或实际生产生活上，即我们是怎样代入的呢？微积分与科学事实之间存在什么对应关系吗？我们借助微积分所获得的知识占据什么样

的地位呢？以上的问题都是科学哲学所要回答的问题。斯宾诺莎在十七世纪把物理世界中的数学描述归结为这样一个命题："观念(思想)的次序和联系与事物的次序和联系是相同的。"[4]简而言之，就是思维和存在具有同一性。他实际上等于肯定了数学就是世界结构的本身。也就是说数学中的抽象概念在现实生活中都能找到它的原型。
微积分与辩证法、科学哲学之间有很深的联系，它本身蕴涵了丰富的哲学思想。微积分的基本概念--连续变量的极限：导数和积分，在逻辑上具有的严密性，在形式上具有的严谨性。它的产生为数学的发展增加了新的动力，使数学在新的领域不断开拓新的道路，也使哲学找到了更多新的用以描述和论证世界的工具，同时又使哲学面临更多新的问题。微积分学的产生和发展对一门新的哲学学科--数学哲学的产生具有极大的推动作用。我们在学习微积分时绝不能只满足于会做几道数学题，也不能满足于微积分在生产中的实际运用，我们还要了解它的历史，它对数学和哲学的发展所作的贡献。只有这样，我们才能真正地领悟"人心灵的智力奋斗的结晶"--微积分所阐发的伟大思想以及它作为解决问题的方法论的意义。

参考文献：
[1]瓦托夫斯基 《科学思想的概念基础》 求实出版社
[2]恩格斯 《自然辩证法》 人民出版社
[3]爱因斯坦 《爱因斯坦文集》 商务印书馆
[4]冒从虎等 《欧洲哲学通史》 南开大学出版社