高中物理-微积分题型

高中物理中微积分思想

伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。

微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。

微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

1、解决变速直线运动位移问题

匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？

例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？

【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 202

1at t v x +

=就可以求得汽车走了0.025公里。

但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2

02

1at t v x +

=。 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移

km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(5

025

205

005

0=-=+=+==⎰⎰ 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.

2、解决变力做功问题

恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我们如何求解呢？

例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运

动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。

【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单的用s F W ⋅=来求。

可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A 和B ，设OA 、OB 与水平直径的夹角为θ。在θ∆=∆R S 的足够短圆弧上，△S 可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A 、B 两点附近的△S 内，摩擦力所做的功之和可

表示为：

)(θμθμ∆-+∆-=∆R N R N W B A f

又因为车在A 、B 两点以速率v 作圆周运动，所以：

综合以上各式得：θμ∆-=∆2

2mv W f

故摩擦力对车所做的功：2

2

2

22mv mv mv W W f f πμθμθμ-=∆∑-=∆-∑=∆∑= 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力N F f μ=，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为

220

22)(mv d mv d R N R N W B A f πμθμθμμπ

-=-=--=⎰⎰

小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道。

在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。

R mv mg N R mv mg N B A 2

2

sin sin =

+=

-θθ

【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。 分析：

①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U 2 ；

②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a ；三立方体的形状；

根据点电荷的电势公式U=K Q

r 及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为

U=

CKQ a

=Ck ρa 2

；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa 3

③ 大立方体的角点电势：U 0= Ck ρa 2

；小立方体的角点电势：U 2= Ck ρ（a 2 ）2=CK ρa 2

4

大立方体的中心点电势：U 1=8U 2=2 Ck ρa

2

；即U 0=1

2

U 1

【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。

导数

㈠ 物理量的变化率

我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可以得出加速度a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a=

△v △t

.

下面我们从代数上考察物理量的变化率：

【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t 2,试求其t 时刻的速

度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）

分析：我们知道，公式v=△s

△t 一般是求△t 时间内的平均速度，当△t 取很小很小，才可近

似处理成瞬时速度。

s(t)=3t+2t 2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2

△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t 2=3△t+4t △t+2△t 2

v=△s

△t =3△t+4t △t+2△t

2

△t

=3+4t+2△t