二叉排序树

type point =^node ; node=record
da : datatype ;
left , right : point ; end;
function search ( bst:point; k:datatype) : point ; begin if bst= nil then begin search :=nil ; exit ; end else begin if k=bst^.da then begin search :=bst; exit; end{递归终结条件} if k< bst^.da then search := search(bst^.left,k); {在左子树中查找} if k>bst^.da then search:= search(bst^.right,k); {在右子树中查找} end; end;
3、二叉排序树的删除运算
⑴删除一个结点（如P）有三种可能
a．p是叶子结点(它的孩子数为0) 将p的双亲指向p的指针域置空即可。 b. p只有一个孩子child（共有4种状态 ，哪4种） 将child和p的双亲直接链接后，即可删去p。
c．p有两个孩子 把P的中序前驱结点的值赋给该结点的值 域,然后再删除它的中序前驱结点,因它的中序 前驱结点的右指针为空,所以只要把中序前驱 结点的左指针链接到中序前驱结点所在的链接 位置即可。
3、试将一段英文中出现的单词按词典的顺序打印出来，同时 应注明每个单词在该段文章中出现的次数。 分析：将一段英文中的单词按词典顺序打印的过程，就是由 一个无序序列构造有序序列的过程，这个过程可以通过构造二 叉排序树实现。 输入： 一段英文 输出： 按词典的顺序打印单词，每个单词出现的次数 输入样例： Everyone round you can hear speak you when you 输出样例： can Everyone hear round speak when you everyone：1 round：1 you：3 can：1 hear：1 when：1 speak：1
end ;
{树非空时将新结点作为q的左孩子或右孩子插入}
2、二叉排序树的生成
从空的二叉排序树开始，每输入一个结点 数据，就调用一次插入算法将它插入到当前已 生成的二叉排序树中。 输入序列决定了二叉排序树的形态。
假定待建立二叉树的一组元素是： 23 11 45 3 50 67 32
画一画：
已知一组元素为 46,25,78,62,12,37,70,29，画出按 元素排列顺序输入生成的一棵二叉排 序树。
输入： 第一行为n的值，第二行为n个不同的正整数，第三行 为x的值 输出： 两行。分别是问题⑴和⑵的解。 输入样例： 10 21 51 6 32 86 23 33 60 65 30 输出样例： 37(21(6,32(23,33))，51(,86(60(,65)))) 6 21 23 30 32 33 37 51 60 65 86
一、定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)：又称二叉 查找(搜索)树(Binary Search Tree)。 其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是 满足如下性质的非空二叉树： ①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的 值均小于根结点的值； ②若它的右子树非空，则 右子树上所有结点的值均大 于根结点的值； ③左、右子树本身又各是 一棵二叉排序树。 上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故 二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。
非递归算法： procedure insert2(var bst:point;s: point ) ; begin p:=bst ; q:=nil ; while p<> nil do {查找插入位置} begin if s^.da<p^.da then {在左子树中查找} begin q:=p ; p:=p^.left ; end else begin q:=p ;p:=p^.right ; end{在右子树中查找} end; if bst=nil then bst:=s {新插的结点作为根} else if s^.da< q^.da then q^.left :=s q^.right:=s ; else
画一画：
分别删除72、12、49、28结点。请画出分 别删除一个结点后得到的二叉排序树。
⑵删除算法
Procedure dele (var bst:point; k:datatype) ; begin 1) p:=bst ; q:=nil ; b:= false {q指向p的前驱} while ( p<> nil) and ( b=false ) do {查找待删结点} begin if k= p^.da then b:=true else if k<p^.da then begin q:=p ;p:=p^.left ; end else begin q:= p ;p:= p^.right ; end end ; 2) if p=nil then write(‘no found’) {无可删的结点}
3) else begin {分三种不同情况删除} i）if (p^.left=nil ) and (p^.right=nil)｛是叶结点｝ then if p=bst then bst:=nil else if p=q^.left then q^.left:=nil else q^.right:=nil ;
4、将一棵一般树（由单字符组成）转换成二叉树， 并输出转换得到的二叉树的广义表表示。 一般树输入方式用父亲与孩子间加括号的串表示。 例如，图1所示的树，串表示输入为： A(B(E)C(FG)D(H(IJK))) 分析：一般树转化为二叉树的方法：将结点的第一 个孩子作为左孩子，结点的右邻兄弟作为前面左孩 子结点的右孩子。如图1的树，根结点Ａ的第一个 孩子为结点Ｂ，则结点Ｂ为转化二叉树后为结点Ａ 的左孩子，结点Ｃ是结点Ｂ的右邻兄弟，则结点Ｃ 为转化二叉树后结点Ｂ的右孩子，同样，结点Ｄ是 结点Ｃ的右邻兄弟，则为其转化后的右孩子。类推， 转化后的二叉树形式如图2所示。
若查找成功，则是从根结点出发走了一条 从根到待查结点的路径。 若查找不成功，则是从根结点出发走了一 条从根到某个叶结点的路径。 与二分查找类似，和关键字比较的次数不 超过树的深度。
二叉排序树查找成功的平均查找长度： 在等概率假设下，(a)图平均查找长度为：
在等概率假设下，(b)图平均查找长度为： ASLb=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5
输入： 一个字符串 输出： 二叉树的广义表 输入样例： A(B(E)C(FG)D(H(IJK))) 输出样例： A(B(E,C(F(,G)，D(H(I(,J(,K)))))))
三、二叉排序树的插入和生成 1、 二叉排序树插入算法：
(1) 设插入一个结点s，若原树为空，则s结点为根结点； (2)若二叉排序树不为空，则将待插的结点值和根结点 的值比较： (i)若二者相等，则说明树中已有此值，无须插入。 (ii)若s^.da<bst^.da，则将其插入根的左子树中。 (iii)若s^.da>bst^.da，则将其插入根的右子树中。
iii) if (p^.left<>nil) and ( p^right<>nil) then begin {有两个孩子} (a) r:=p;s:=p^.left ; {s指向p^的左子树的根结点，r
指向s的前驱结点}
(b) while s^.right<> nil do {查找p^前驱结点} begin r:=s ;s:=s^.right end; (c) p^.da :=s^.da {将s结点的值赋给p^结点} (d) if r=p then p^.left:=s^.left else r^.right:=s^.left
ii）if (p^.left=nil ) or (p^.right=nil) ｛单支结点｝ then if p=bst then if p^.left=nil then bst:=p^.right else bst:=p^.left else begin {分四种情况删除非根的单支结点} if（p=q^.left) and (p^.left<>nil) then q^.left:=p^.left ; if（p=q^.left）and (p^.right<>nil) then q^.left:=p^.right; if（p=q^.right）and (p^.left<>nil) then q^.right:=p^.left; if（p=q^.right）and (p^.right<>nil) then q^.right:=p^.right; end;
{删除结点s，并将它的左子树链接到位}
end end; ｛结束三种情况｝ end; 删除双支结点，包括两次查找，一次找待 删结点，一次找它的中序前驱结点。
作业题
1、输入n个不同的正整数，建立以这些数据为结点的二叉排序树： ⑴输出二叉排序树的广义表表示； ⑵查找值为X 的结点，若查找到，则输出“yes”，若查找不到，则 插入值为x的新结点，并输出插入x后中序遍历的结果。
请写出插入过程的算法
递归算法： Procedure insert(var bst:point;s: point ) ; begin if bst=nil then bst:= s else if s^.da<bst^.da then insert( bst^.left, s ) else; insert( bst^.right , s) end ;
ห้องสมุดไป่ตู้
中序序列： 2，3，4，5，7，8
二、二叉排序树的查找算法
(1)输入待查找的关键字K (2)若树不为空，则若给定K值等于根结点，查 找成功，返回根结点的指针 (3)若给定值小于根结点，则在根结点左子树 继续查找 (4)若给定值大于根结点，则在根结点右子树 继续查找 (5) 重复以上(2)(3)(4)操作，直到找到或为空结 束。 算法如下：
procedure creat (var bst:point;n:integer) ; begin bst:=nil ； {初始化} for k:=1 to n do begin read( x) ； {读入一个结点值} new(s) ； s^.da:=x ; s^.left:= nil; s^.right := nil ； insert( bst, s) ； {调用插入新结点的过程} end end ;
2、输入n个不同的正整数，建立以这些数据为结点的 二叉排序树。输入y，删除值为y的结点，输出删除 后二叉树的广义表表示。 输入： 第一行为n的值，第二行为n个不同的正整数，第三 行为y的值 输出： 删除y后，中序遍历的结果。 输入样例： 10 37 21 51 6 32 86 23 33 60 65 21 输出样例： 37（23（6，32（，33）），51（，86（60（， 65））））
二叉排序树的特点：由BST性质可得 ①二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中 任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键 字。 ②二叉排序树中，各结点关键字是唯一的。
注意：
实际应用中，可将二叉排序树定义中BST性 质①里的“小于”改为“小于等于”，或将BST 性质②里的“大于”改为“大于等于”，甚至 可同时修改这两个性质。 ③按中序遍历该树所得到的中序序列是一个 递增有序序列。