平行轴定理及垂直轴定理

a
mr J Z
常量
h
2 1 2 1 at t 2 2 mr 2 J Z
mgr
2
2 gt J Z mr ( 1) 2h
2
若滑轮质量不可忽略，怎样？
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
3 gcos d 2l
3 ml
2

3g cos 2l
d dt

d d

3 g cos 2l
0 d 0

3 gsin l
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例 匀质圆盘以 0 在水平桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元 dm ds 2π rdr dM z rdf r gdm 摩擦力矩
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
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刚体的机械能 刚体重力势能
E Ek E p
Ep
m gh m h mg
i i
i
i
C
m
m
i
mghC
质心的势能
hc
hi
EP 0
刚体的 机械能
二. 力矩的功
dA F dr Fcosds Frcos d F rd Md
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dA Md
(力矩的功就是力的功)
若M=C
对一有限过程
2
—— 平行轴定理
z' L
z M
(Parallel-Axis Theorem)
Jz —— 刚体绕通过质心轴的转动惯量 例如:
1 1 1 L 2 2 2 JZ JZ M ML ML ML 12 4 3 2
2
C
z
z
J z J x J y —— (薄板)垂直轴定理
T F
mg

98 0.2 0.5 10 0.2
2
21.8 rad/s
2
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例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动（光滑无摩擦），初始时它在水平位置
求 (1) 飞轮的角加速度; (2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度. 解 (1) Fr J

Fr J 98 0.2 0.5
mgr J mr
2
r
39.2 rad/s
2
O
T
(2) mg T ma
Tr J a r

两者区别
A

2
1
Md ( 积分形式 ）
A M ( 2 1 )
2
讨论 (1) 合力矩的功 A Md ( M i )d M i d Ai
2 2
1
1
i
i
1
i
(2) 内力矩作功之和为零。
三. 转动动能定理
dA Md ( J
d dt d(
2
J z ' J z ML
2
(m x L)
i i
M (mi xi ) L M
MxC L
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四. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· 2，飞轮与转轴间的摩擦 m 不计，绳与滑轮间无相对滑动，(见图)

2
3 gsin l 3gcos d l dt
(
3 gsin l d dt 1
)
1/ 2
2
d dt



3 gcos
此题也可用机械能守恒定律方便求解
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2l 1 2 J mglsin 0 2 2
m1 , m2 ,......., mi ,......, mN
r1 , r2 ,..., ri , ..., rN v1 ,v 2 ,...,v i ,...,v N
Eki 1 2 miv i
2

d
O
取第 i 个质元 ,其动能为
1 2 mi ri
F F(
3l ' 2l
1)
l'
2 3
l
Nx 0
N y mg
质心运动定理与转动定律联用
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§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
z
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元
2 2
vi r' dr ri •m

F
P
i
刚体对定轴的总动能为
1
2 2
各质元速度不同， 但角速度相同
2 Eki ( 2 mi ri ) 2 mi ri 结论 定轴转动刚体的动能等于转动惯量与其角速度平方乘积的一半
2 2
1


Ek
1
J
2
转动物体具有储能、稳速等作用：……
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Xi’an Jiaotong University Zhongfeng Xu 04 / 01 / 2010
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平行轴定理及垂直轴定理
J z' J z ML
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机械能守恒
2
mgh v (mr J Z ) / (2r ) 0
2 2 2
2 v mgh ( mr J Z ) 2 2r
mg
2 dh dv 1 2v (mr J Z ) dt dt 2r 2
dh dt
a
v，
mgr
2 2
dv dt
不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析（机械能）： Ek 1 0
Ek 2 mv / 2 J Z / 2
2 2
v (mr J Z ) / (2r )
2 2 2
E p EP 2 EP1 mgh
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例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕 在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
—— 合力矩功的效果
)d Jd d( J )
2
1 2 1 2
J ) dEk
2
对于一有限过程
A dA
1 2 2 1
1 2
1 2
J2
2
J1 Ek
2
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中 作用在刚体上所有外力所作功的总和。 —— 动能定理
求 它由此下摆 角时的 和
解 取一质元 M z xdm g g xdm
M z mgxC
Mz 1 2 mgl cos
O

m
l
x

xdm mxC
C dm
mg
重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩

ω
Mz J

1 2
θ
mgl cos
ri ri ro
ri ri ro 2ri ro
2 2 2
z'
J z'
z mi
Jz
r i'
x
ri
O C M
ri L 2 xi L
2
2 2 mi ri mi (ri L 2 xi L) 2 i i
2
r
o
L
J z ML 2MLxc
E
1 2
J mghC
2
刚体的机械能守恒
1 2
J mghC C
2
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
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例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 m l x 面内转动，初始时它在水平位置 O 求 它由此下摆 角时的 和 1 C 解 M mglcos 2 l 由动能定理 A Md mgcosd mg 0 0 2 lmg 1 1 2 2 sin 0 J 0 J ml 2 2 3
2
Ny
O
Nx
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。 解 设轴对棒的作用力为 N 由转动定律 由质心运 动定理
Fl ' J
F N x macx m 2 N y mg macy m 0 2
2
Nx, N y
l
l' F
C
mg
质点系
l
打击中心
Nx
ml Fl ' 2 J
M
L
xy 轴 —— 在薄板内 z 轴 —— 垂直于薄板 例如:
Jz 1 2
1 4 mR
2
z
z
mR
2
Jz Jx Jy Jx Jy
Jx Jy
m C x
圆盘
R
y
x
y
薄板
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M z dM z
0 R

R
2gr dr
2 0
R
2 3

mgR
2 3
由转动定律 M z J
d dt
2 3
mgR
mR
2
1 2
mR
2
d dt 4 g
0 dt 0 4gd
t 3R 0 4 g
t
0
3R
mgR
1 2

0 t
4 g 3R
t
3R 4 g 0 t 3R
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例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
J 1 3 ml ，现有一水平力作用于距轴为 l' 处