氢原子薛定谔方程的解
量子力学补充3-薛定谔方程解氢原子
的基态电子为例： l 以n=1， 0, ml 0r
即：4
4 2 2 a1 100 (r ) 3 r e a1 r
d100 (r ) 令： 0 dr
2r a1
2r 2r 0 a1
a1
[2re 3
2
2 a1
2 r ( nl )e ] 0 a1100 (r )
a1 2
45a 6
1
20 (r )
r / a1
8
10
r Y
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin
1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 r sin 40 r
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 40 r 其解： r sin
的,并非人为假设. 2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值 l 0.1.2(n 1) 量子力学中通常用 小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S
角量子数(
p
d
f
g 4
h 5
l)
0 0
1
2
3
角动量(L)
2
6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的 角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴 方向,则角动量在Z轴上的分量: 磁量子数
……………….
r ( 2 )e 3 a1 32a1 r
1
下面介绍由这些波函数得出的一些重要结论:
1）能量是量子化的
注意: n称为主量子 数,氢原子的能量是 不连续的,这些不连 续的能量状态称为 能级.
235薛定谔方程解氢原子
sin
drdd
4）(概r)率dV密度 与2V电V0子nnlm云lm202drV2nslXmin2rd2rsdZinddrsdindrrdddrY
r (r)dr
称径向几率密度
r (r) r2
2
d
0
0
nlm
2
sin
d
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r )
4 a13
r
r 2e 2a1
的,并非人为假设.
2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值
l 0.1.2 (n 1) 量子力学中通常用
小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S pd
f
gh
角量子数( l ) 0 1 2 3 4 5
角动量(L) 0 2 6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的
角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴
讨论后者，U（r）与时间无关，故满足 Schrödinger方程：
2
2m 2
(
E
e2 ) 4 0 r
0
2
2 2
2m 2 (E
2
e2 ) 4 0 r
2m (E
0 e2
) 0
x2 y2 z 2 2
4 0 r
Z
Z
Y
r
X
0
Y
X
r x2 y2 z2 x r sin cos
y r sin sin
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r ) 200(r)
4
r
r 2e 2a1
a13
1 8a13
(2
r a1
r
)r 2e 2a1
氢原子结构
ml = -1
Wnl (r ) R 2 r 2 dr
0.6
Wn l (r) ~ r 的函数关系
[n，l]
0.5 0.4
[1，0]
峰值数： n – 个
Wn l(r)
0.3 0.2 0.1
[2，0] [3，0] [4，0]
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
r / r1
Wn l (r) ~ r 的函数关系
* 对于是一常量，表明电子的 空间概率分布与 无关，
即相对于z轴对称。
2
2表示电子的概率分布与的关系,计算表明与l和ml 有关
z
Z
y
y
x
x
l 0 , ml 0
z
z
y
x
l 1, ml 0
l 1, ml 1
ml = +2
ml = +1
ml = 0
=2
ml = -2
15-10 电子的磁矩 原子的壳层结构
1896年塞曼发现光谱线在外磁场中分裂的现象 ----塞曼效应
一、电子的轨道磁矩 1.角动量和磁矩的关系
按玻尔模型
B z Lz i r
●
ev evr 2 IS πr 2r 2
v
eL
L
e L 2me
e L 2me
对应某个轨道量子数为l的能级，有 轨道状态：
2l 1个不同的 2l 1
无外磁场时这些状态的能量相同，是简并的， 有外磁场时简并消失，原来一个能级分裂成 个能级，相邻两能级能量差为
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一。
对于氢原子来说，薛定谔方程起着至关重要的作用，它能够描述氢原子中电子的运动状态和能级分布，为我们理解氢原子的结构和性质提供了重要依据。
氢原子由一个质子和一个围绕质子运动的电子组成。
在薛定谔方程中，波函数描述了电子的运动状态，包括位置和动量等信息。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中电子的能级和波函数，从而揭示出氢原子的量子性质。
薛定谔方程的解可以分解为径向部分和角向部分，分别描述了电子在氢原子中径向和角向的运动。
径向部分的解决定了氢原子中电子的轨道半径和能级，而角向部分则描述了电子在轨道上的运动方式。
通过这两部分的解，我们可以全面了解氢原子中电子的运动规律。
薛定谔方程的一个重要应用是计算氢原子的能级结构。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中不同能级的能量和波函数。
这些能级决定了氢原子的光谱线，可以用来解释氢原子在不同波长下的吸收和发射现象。
因此，薛定谔方程的解不仅可以帮助我们理解氢原子的内部结构，还可以解释氢原子的光谱特性。
除了氢原子外，薛定谔方程还可以应用于其他原子和分子系统的研究。
通过对薛定谔方程的求解，我们可以得到不同原子和分子系统的波函数和能级，从而揭示它们的量子性质和相互作用规律。
这为我们研究原子和分子的结构、性质和反应机制提供了重要的理论基础。
总的来说，薛定谔方程是量子力学中的重要方程之一，对于理解氢原子和其他微观粒子系统的性质和行为具有重要意义。
通过求解薛定谔方程，我们可以揭示微观世界的奥秘，探索物质世界的微观规律，为科学技术的发展提供重要支持。
希望未来能有更多科学家通过对薛定谔方程的研究，揭示出更多微观世界的奥秘，推动人类对自然界的认识和探索。
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
5 氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解
0
5. ()方程的解：
()方程是：
求解该方程的条件: 边界条件? 无
d 2 2 m 0 2 d
合格波函数的条件: 单值?有;连续,有限 ? 求得方程的解为： Φ
m
( ) Ae
im
式中A是归一化系数，如何求得？
归一化求A：
2
0
d
* m m
2
0
A2 e im e im d 1 1 e im 2
1 ( m m ) 2 1 ( m m ) i 2 1
1
cos m si nm
可以证明组合得到的实函数是归一化的,如:
1 1 [ 2 ( m m )]* [ 2 ( m m )]d 1 { m m d m m d 2 1 m m d m m d } 2 {1 0 0 1} 1
Zr a0
e E Z 2 2 8 0 h
2
Z2 e2 ( ) 13.6 Z 2 (e V) 2 4 0 a0
4. 将偏微分方程化为常微分方程 ——分离变量法
一般来说，偏微分方程化为常微分方程后才 能求解。
令： (r , , ) R(r )Y ( , ) R(r ) ( ) ( ) 代入薛定谔方程, 先将径向部分(只与r有关) 和角度部分分开, 分别移到方程的两边. 这样该方 程两边应等于同一个常数 . 然后在将角度部分分 离成只含一个变量的两个常微分方程 , 就将偏微 分方程分离成了三个常微分方程。
6. ()方程的解:
1 d d m2 (sin ) k 0 2 sin d d sin
氢原子薛定谔方程求解
氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。
2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。
由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。
时，为氢原子的薛定谔方程。
二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。
式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。
第二章原子结构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其
第二章 原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-= 将势能代入薛定谔方程： 得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。
其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y = φcos r z =2222z y x r++=1)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。
含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(s)(s )(228s i2si n122222V E r r hud d d d dr dR dr dRd d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。
三维氢原子定态薛定谔方程的求解
∇2ψ+2m ℏ2(E +e 24πε01r)ψ=0 嗯，这个方程普普通通，在数学家眼中也就是一个二阶三元变系数偏微分方程，也就是说求解比较麻烦（事实上是相当麻烦！），仅此而已。
但是，若说这个方程是整个量子力学的核心，恐怕没有人会对之产生景仰之情。
原因是非常简单的——方程的形式，至少和矩阵力学相比，非常简洁。
海森堡矩阵的成功让我们相信，量子力学的核心应当是需要通过彻底改变描述原子体系所用的数学工具并展开极为复杂的数学运算最终形成的；这个不起眼的、原始形式非常简洁的、没有任何数学创新的方程——尽管是很难解的方程——看来不像是具有为神秘的量子力学所专美的气质。
尽管如此，处于对薛定谔焦头烂额三个星期的工作的尊重，我们还是不胜其烦地先把这个方程解出来再说，看看方程里头到底有什么东西值得我们汲取。
不过，动手之前先要做好两个准备工作，首先就是，∇2是什么？自然，它的名字我们很熟悉——这玩意儿叫做拉普拉斯算符。
但关键的问题是，拉普拉斯算符长什么样子？按照数学分析的场论部分，拉普拉斯算符的空间直角坐标系下的形式为：∇2=ð2ðx 2+ð2ðy 2+ð2ðz 2 但是，由于氢原子大约是一个类似于球状的客观存在的物体（事实上一谈到“原子”，我们的头脑中就浮现出一个匀质的球体，这是很自然的假设，也将被初步证明是正确的），因此，最好把算符取为极坐标的形式：∇2=1r 2ððr (r 2ððr )+1r 2sinθððθ(sinθððθ)+1r 2sin 2θð2ðφ2我已经可以想象，特别热衷于数学的读者们一定会问，这两者是如何互推的？可是，由于推导实在太烦琐，我不准备在正文里描述，而把它挪到文后的附注里去；另外由于推导三元的形式实在太繁琐了，我只以二元的为例进行推导，三元和它是完全类似的。
氢原子的薛定谔方程
Hydrogen Atom and structure of Atom
第一节 第二节
第三节
氢原子的薛定谔方程 氢原子的薛定谔方程的解
对薛定谔方程解的讨论
第四节
第五节 第六节
氦原子
Slater原子轨道 原子光谱项
第一节 氢原子的薛定谔方程
Equation of Schrödinger of Hydrogen Atom
由于 r、θ、φ三个均为独立变量，要使方程成立，方程两端必须等于 某一常量。 设此常量为β，则有：
2 Ze2 1 d d 2mr 2 [ (r ) R] + 2 （ + E）= β R dr r dr ħ
1 Y R方程
1 ∂ ∂ ∂2 1 [ (sinθ ∂θ)Y]+[ Y] = -β sinθ ∂θ sin2θ ∂φ2 Y方程
我们知道，原子是由原子核及核外电子构成的。其中，氢原子是结构 最简单的一种原子。
我们还知道，原子核在氢原子的中央，电子在核外运动的概率密度呈
球状。这样，用空间直角坐标系描述核外运动电子在某点的定位，显得不 如球坐标方便。
一、直角坐标与球极坐标
A right angle coordinate and sphere Coordinate
何学奠基人之一。
0
x
Y
X
直角坐标系
2.球极坐标系
尽管用直角坐标对空间某点进行定位表述简便，但对在球状空间运动 某点的定位，却显得不便。 于是人们通过坐标换算，建立了球极坐标、椭球坐标等系。例如，对 于空间某点 P 的位置，用球极坐标可表示如下：
Zห้องสมุดไป่ตู้
z
r
r P（r,θ,φ）
第二章原子构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其
第二章 原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-=将势能代入薛定谔方程：得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。
其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y =φcos r z =2222z y x r++=21)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。
含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(sin )(sin )(228sin 2sin 122222V E r r hu d d d ddr dR drdR d d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθθθθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。
薛定谔方程 求解氢原子
薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。
氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解
r1
m1 R
m2 m2r
m1 m2
, r2
R
m1r m1 m2
x
r1
m1 C
R r2
m2 y
Ekin
1 2 1 2
m1r12
1 2
m2r22
m1( R
m2r m1 m2
)2
1 2
m2 ( R
两粒子体系示 意m1图r )2
m1 m2
1 2
(m1
m2 )R2
1 2
m1m2 m1 m2
1 r2
d dr
(r 2
dR dr
)
[
2
2
(E
Ze2 )
4 0r
l
(l r2
1)
]R
0
这是一个连属拉盖尔方程, 需要用级数法解.
求解条件: 边界条件? 无;
合格波函数条件: 有限(级数要有收敛的解)
要得到收敛结果, 无穷级数需变成多项式, 即在某
项后截断, 这要求(能量为负值时)me
2. 氢原子与类氢离子的定态
薛定谔方程的球极坐标表达式
球极坐标及其与直角坐标的关系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
r x2 y2 z2
d r 2 sindrdd
X
0 r , 0 , 0 2
Z
r
O
P(x,y,z) (r,,) Y
函数为:
n,l,m (r, , ) Rn,l (r) Θl,m ( ) Φm ( )
nl
c{ ci i1
(
Zr a0
) l i 1
Zr
e na0
}Pl
m
近代3(氢原子 四个量子数)
m l = 0、 ± 1、 ±2
LZ = 0,± ,±2
6
z ml=2 Lz = 2 O − − 2 ml=1 Lz = ml=0 Lz = 0 ml=-1 ml=-2
11
5.本征波函数
ψ n ,l ,m ( r ,θ , ϕ ) = Rn ,l ( r )Θ l ,m (θ )Φ m (ϕ ) = Rn ,l ( r )Yl ,m (θ , ϕ )
ν ＝
Ei − E j h
7
例：处于第三激发态的氢原子，可能发出的光谱线有多少?
其中可见光谱线几条？
解：第三激发态 n = 4
喇曼系3条 ——紫外线 六条谱线 巴耳末系2条 ——可见光 帕邢系1条 ——红外线 n=1 n=4 n=3 n=2
h = 6.63 × 10 −34 J ⋅ S hν = E n − E k − 13.6 En = n2
−
r a0
求电子处于半径为 a0 的球面内的概率P0。 解：概率密度P100=|ψ 100 |2，电子处于半径为r 、厚度 为dr 的壳层内的概率为 dP= P100 4πr2dr 在半径为 a0 的球面内的概率
P0 =
∫
a0
0
ψ 100 4π r 2 dr
4 e 3 a0
− 2r a0
2
=
∫
a0
0
d 2Φ 2 + m Φ =0 l 2 dϕ
ml 只能取整数，ml=0，±1， ±2 …
1, 2, 3,) −13.6 2 (eV ) (n = 能根据氢原子能级讨论氢原子光谱特征 En =
1 n
15
§6 电子的自旋 四个量子数
斯特恩－盖拉赫实验（1921年） e L • 轨道运动⇒磁矩 µ = −
大学物理课件 氢原子
答案C
2.具有下列哪一能量的光子，能被处在n = 2的能 级的氢原子吸收？ (A) 1.51 eV． (B) 1.89 eV．
(C) 2.16 eV．
(D) 2.40 eV．
答案B
例题1. 实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75 eV的 光子． (1) 试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？ (2) 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几 条谱线？请画出能级图(定性)，并将这些跃迁画在能 级图上． （3）巴耳末线系有几条？ 莱曼系有几条？
定态薛定谔方程变为
1 2 1 1 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 r r r r sin r sin 2
2
2m e2 2 (E ) 0 4π 0 r
设波函数
(r , , ) R(r )Θ( )Φ( )
解（1） 激发态能量 (n 1) E1 13.6 En 2 - 2 eV n n
1 E n - E1 13.6(1 2 ) 12.75e V n
n =4
第三激发态
43 42 32 41 31 21
n =4 3 2 1
42 21 六条谱线． 41 43 31 32 (2) 可以发出 （3）巴耳末线系有 42 32 2条 莱曼线系有 41 31 21 3条
h Em En
第一激发态
第二激发态
基态 n 1
13.6
氢 原 子与 能光 级谱 跃系 迁
n4 n3 n2
n
帕邢系 巴耳末系
莱曼系
E 0
n 1
E
氢原子光谱
1.由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激 发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光． (C) 三种波长的光． (B) 两种波长的光． (D) 连续光谱．
薛定谔方程求解氢原子
一、氢原子的薛定谔方程
电子在原子核的库仑场中运动：
U Ze2
4 0r
定态薛定谔方程：
[ 2 2
e2
]
(r )
E
(r )
2 4 0r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
l 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数 来自于薛定谔方程求解
过程条件限制的必然结果！ ~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
L l l 1
名字s.p.d. f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n
个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角
动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微影响
1926年，海森堡解得氢原子的
能量 En,l为
En,l
13.6 n2
L 转动惯量I 角速度 mr2 mvr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏观一样，
方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些特定值跟l有关,可能 存在的方向为2l+1个！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的
轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角 动量L=0！所以不存在方向问题！对应 的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
L l l 1
§17氢原子的薛定谔方程解
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是， 是原子物理学最重要的实验之一。
基态氢原子束通过非均匀磁场时将分裂开 基态氢原子的原子态
2S1
2
N
S
无磁场
有匀强 磁场
有非匀 强磁场
用量子化磁矩理论来解释氢原子偏转现象
对均匀磁场: F 0 , 原子不改变运动路径.
*非均匀磁场中,环绕电流所受的合外力
F
dB
dr
如果非均匀磁场的方向规定为z方向，
则原子内部的总磁矩就会绕着此方向转动，
而且绕的角度是量子化的，即在z方向投影 是量子化的，那么受到的力的大小
F
z
dB dz
g
jmjB
dB dz
也是量子化的
以上理论预言在实验上的验证！
史特恩-革拉赫实验
jz
朗德因子
g jmjB gj
3 s(s 1) l(l 1) 2 2 j( j 1)
多电子的总磁矩
J gJ J (J 1)B Jz gJ mJ B
朗德因子
Jz gJ mJ B
gJ
3 2
S(S
1) L(L 1) 2J (J 1)
S s(s 1) s 2 s(s 1)B
J j( j 1) j ?? j( j 1)B
Jz mj
jz ?? m j B
单电子原子的总磁矩
l s
与j并不正好反向
在 j方向投影 j 是恒定的，垂直 j 的分量因旋转，其
即对应着产生磁矩的角动量也是量子化的理论是成立的！
氢原子薛定谔方程的解
l 1 为缔合勒盖尔多项式。 L2 n l
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
讨论n、l、ml 参数的物理意义
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
在球坐标系下： x r sin cos ,
z
y r sin sin , z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：
y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程 求解，即设 R(r )( )( ) 代入上式得：
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的 角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴 方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则：
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解 （3）角动量的空间取向量子化
第十一章 量子物理学基础
索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆 周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而 只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设
氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动轨道平面在空间的取向不是任意的而只能取有限的特定方位这既是轨道空间量子化假设第十一章量子物理学基础氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院如图即为n4l0123电子的角动量空间取向量子化的情形
原子物理学第十三讲
)
IBl1
cos
F3
l1 0
IBdl
sin(
90
)
IBl1
cos
F1与F3大
小
相
等
，反
向
共
线
。
F1
a
I
l2
b
F3
d
I
c
nˆ
l1
B
F1 F3 0
M合 0
2) ab边 及cd边 所 受 的 磁 场 力 为 ：
F4
F2
l2 0
IBdl
IBl 2
F4
l2 0
IBdl
IBl 2
F2与F4大 小 相 等 ， 反 向 不 共 线。
z2
z
Bz z
dD 3k T
z cos
z2
c os
Bz z
dD 3k T
理学院：周伟
BZ μ β μz
L
10/24/2020
§19 史特恩—盖拉赫实验
Z
μ
z2
cos
Bz z
dD 3kT
β μz L
从实验上测得z2的数值是否是分立的，就可以反过来证明μz 是否量子化。史特恩—盖拉赫实验的结果表明，氢原子在
理学院：周伟
10/24/2020
§20 电子自旋的假设
一、乌仑贝克与古兹米特提出电子自旋假设
从史特恩—盖拉赫实验出现偶数分裂的事实，给人的启示是：要2l+1为 偶数，只有角动量量子数为半整数，而轨道角动量量子数是不可能给出 半整数的。
1925年，乌仑贝克与古兹米特根据一系列的实验事实大胆地提出这样一 个假设：电子不是点电荷，它除了轨道角动量以外，还有自旋运动，它 具有固有的自旋角动量。
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ml = 0 , ±1 , ±2 , ···, ±l （磁量子数）
讨论: 如何观察 ? 磁场 ----- 能量、 力
z 2
0 2
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
例 求 l = 2 电子角动量的大小及空间取向 ？
解
L 的大小
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
在球坐标系下：x r sin cos,
z
y r sin sin,
z r cos ,
y
在球坐标系下的薛定谔方程：
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程
求解，即设 R(r)( )() 代入上式得：
氢原子薛定谔方程的解
氢原子薛定谔方程的解
重要结论
1. 能量量子化
能量
En
1 n2
(8m02eh42 )
E1 n2
第十一章 量子物理
E1 13.6eV
n = 1 ，2 ，3 ， ···（主量子数）
电子云 电子云密度
概率密度|ψ|2
r1 0.529 1010 m r2 4r1 r3 9r1 …
第十一章 量子物理
方程（1）的解为 ( ) （2）的解为
( ) (1 cos2 ) ml / 2 d ml d cos ml
Pl (cos )
由标准化条件决定：l=0,1,2, ••••• , 同时限定给定一 l
ml只能取下列2l+1 ml 0,1,2 l
自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz 只能有如下两种取值：
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
确定氢原子的状态的四个量子数
主量子数
决定电子的能量。
角量子数
决定电子轨道角动量
磁量子数 的空间取向，
决定轨道角动量
自旋磁量子数
决定自旋角动量的空
间取向，
。
为负时，称为自旋向下。为正时，称为自旋向上。
（1）能量量子化
在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，E只能取 一些分立的负值，即：
能级公式
为主量子数或称能量量子数。 n=1的能级称为基态能级 n>1的能级称为激发态能级,取值如下：
氢原子薛定谔方程的解 Enl 6 5 -0.85eV 4 -1.51eV 3
第十一章 量子物理
-3.39eV 2
如图所示，n增大时 ， 能级间隔减小；n 很大时间隔非常小， 可看成连续变化。
N K
场时，出现几条不连 续的线状痕迹。
S
K原子射线；B狭缝； NS磁场；P照相板
此实验最初用s态银原子进行， 原子射线分裂为二条，且二 者偏转上下对称。 因 s态原子 l=0本身无动量矩和磁矩。
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除 绕核的磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。 量子力学的计算：自旋动量矩S为
4r 2dr
电子在这些地方出现 的概率最大
玻尔氢原子理论中，电子的轨道位置······
氢原子薛定谔方程的解
2. 角动量量子化
第十一章 量子物理
电子绕核转动的角动量 L 的大小 L l(l 1)
l = 0 ，1 ，2 ，···, n-1 [角量子数(副量子数) ]
讨论: l = 0, L = 0 ? 3. 角动量空间量子化
2 a0 me 2
为一常数，
L2l 1 nl
为缔合勒盖尔多项式。
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
讨论n、l、ml 参数的物理意义
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的角动 量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz 表示L在外场方向投影大小，则
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的 情形
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
是连带的勒让德函数
角度部
分的解：Y ( , )
Nlm (1
cos2 )
ml
/2
d
d ml
cos
ml
Pl (cos )eim
方程（3）的解为
Rnl
r
Nnl e na0
(
2r na0
)l
L2l 1 nl
(
2r na0
)
其中：Nnl为归一化常数，
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
11.9 氢原子的薛定谔方程的解
1、 氢原子的定态薛定谔方程
氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电 子绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为
1 e2 V (r)
4 0 r
定态薛定谔方程为：
由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了 计算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：
ml=Lz/h
3
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-3
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
（4）电子自旋 电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在
相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非 相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。
B
P 结果：无外场时，P上沉积一
条正对B的痕迹；有外
-13.6eV 1
主量子数 n
氢原子能级图
氢原子薛定谔方程的解 （2）角动量量子化
第十一章 量子物理
方程（2）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动 量是量子化的，其大小为：
其中：l 称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数 的空间对称性。
说明：1、L只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的 n 值，只要 l=0，则L=0 3、对于同一n值，l 不同时，L有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能 确切地表征。
L 2(2 1) 6
磁量子数
ml = 0 , ±1 , ±2
L 在 Z 方向的投影 z
2
0
2
Lz 2, , 0, , 2 若: l =1,则 z
0
l 2 L 6
L 2 Lz , 0,
一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显然，对于s
态的电子来说，其动量矩L=0.
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
（3）角动量的空间取向量子化
索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆周 轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取 有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设。