上海市上宝中学数学几何模型压轴题章末训练(Word版 含解析)

上海市上宝中学数学几何模型压轴题章末训练（Word 版 含解析）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝5，203

AD =

，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．

（1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，求出相应的m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的ABF 为A BF ''，在旋转过程中，设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时DQ 的长．

【答案】（1）4；3 （2）3或

163 （3）2512525310103243-、、103 【解析】

【分析】

（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD 的长，由等面积法求解AE ，由勾股定理求解BE 即可，

（2）利用对称与平移的性质得到：AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．当点F′落在AB 上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而可得答案，

（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利用勾股定理求解',,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案．

【详解】 解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，203AD =， 由勾股定理得：222025533BD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

． 11,22

ABD S BD AE AB AD =⋅=⋅．

25

3

20

5

3 4.

AB AD

AE

BD

⨯

⋅

∴===

在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，

由勾股定理得：BE＝3．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：

由对称的性质可知，∠1＝∠2．

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．

①当点F′落在AB上时，

∵AB∥A′B′，

∴∠3＝∠4，

∴∠3＝∠2，

∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；

②当点F′落在AD上时，

∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，

∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，

,

AB AD

⊥

∴A′B′⊥AD，

'''',

B F D B DF

∴∠=∠

∴△B′F′D为等腰三角形，

∴B′D＝B′F′＝3，

2516

3

33

BB BD B D

''

∴=-=-=，即

16

3

m=．

（3）DQ的长度分别为

2512525

31010

3243

、、或

10

3

．在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：

①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，∴∠2＝2∠Q，

∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2，

∴∠3＝∠Q ，

∴A′Q ＝A′B ＝5，

∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9．

在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=+=+=．

253103

DQ BQ BD ∴=-=-； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ，

∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上．

∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，

∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．

在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2'22,BF F Q BQ +=

即：2223(4),BQ BQ +-= 解得：258

BQ =， 25251253824

DQ BD BQ ∴=-=-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，

∴ ∠3＝∠4．

∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，149022∴∠︒

∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，149012

∴∠=︒-∠． 149012

A Q

B ∴∠'∠︒∠＝＝﹣， 118019012

A BQ A Q

B ∴∠'︒∠'∠︒∠＝﹣﹣＝﹣， ∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5，

∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．

在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ =+=，

25103

DQ BD BQ ∴=-=-； ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，

∴ ∠2＝∠3．

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，

∴∠1＝∠4，

∴BQ ＝BA′＝5，

2510533

DQ BD BQ ∴=-=-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243

--、、或103．

【点睛】

本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识

点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．

2．(1)观察猜想

如图(1)，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,点D 是BC 的中点．以点D 为顶点作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ，则线段BG 和AE 的数量关系是