偏微分方程数值解法(抛物型方程差分法)2

2ra2 cos j )]1
j
n
1
]1
[1 4ra2 sin2 nj 1 ]1 1
2(n 1)
11/17
过渡矩阵的谱半径
(
H
)
max
1 j N 1
|
j
(
H
)
|
1
max
1 jn
|
1
4ra sin2 (
j
/
2(n
1))
|
1
1 4ra sin2( / 2(n 1)) 1
隐式差分格式无条件稳定.
(u
k j1
uk j1
)
f
k j
在实际应用时,取逐层计算形式.当初始层数据有误 差时,误差会逐层传播,影响以后各层的解.
记
u
k j
的误差为
k j
,
设
f
k j
无误差,
则有
k 1 j
(1
2ra2 )
k j
ra2 (
k j1
) k
j1
2/17
取 ra2 1 / 2
k 1 j
(1
2ra2 )
k j
ra2 (
12/17
C-N 格式矩阵形式
[(1 ra2 )I ra2 C ]uk1
[(1
ra 2
2 )I
ra 2
C ]uk
(fk
f k1 )
2
2
H [(1 ra2 )I ra2 C ]1[(1 ra2 )I ra2 C ]
2
2
特征值
j
(1 (1
ra2 ) ra2 )
ra 2 ra 2
cos( cos(
( j 1,2,, n)
|
uk1 j
|
(1
2ra2 ) |
ukj
|
ra2 (|
uk j1
|
|
uk j1
|)
(1 2ra2 ) || uk || 2ra2 || uk ||
|
uk1 j
|||
uk
||
|| uk1 ||C || uk || 此时差分格式稳定
6/17
设齐次方程 A(k ) k1 B(k ) k
显格式 隐格式
1
[u
k j
1
u
k j
]
a2 h2
x2u
k j
1
[u
k j
1
u
k j
]
a2 h2
u2 k1 xj
C-N格式
1
[u
k j
1
u
k j
]
a2 2h2
2 x
(u
k j
1
u
k j
)
15/17
数值计算实验 显格式: input T:=1 error = 7.9443e-006 k = 200
k j1
) k
j1
k 1 j
1 2
(
k j1
) k
j1
设初始层上,仅有
0 j0
,其它点处无误差
在各计算层上,误差传播得到控制
3/17
取 ra2 1
k 1 j
(1
2ra2 )
k j
ra2 (
k j1
) k
j1
k 1 j
k j
(
k j1
) k
j1
设初始层上,仅有
0 j0
,其它点处无误差
在各计算层上,误差传播没有得到控制
4/17
无穷大范数定义 ||
uk
||
max
1 jn
|
u
k j
|
双层差分格式
n
n
u (k ) k1 jm m
u (k ) k
jm m
f
k j
m1
m1
记矩阵
A(k )
( ) (k ) jm nn
B(k)
( ) (k ) jm nn
双层格式的矩阵形式 A(k )uk1 B(k )uk f k
双层差分格式初值稳定概念:
A(k ) k1 B(k ) k 任意解都满足 || k || M || k0 ||
其中 M 与 无关. k > k0
5/17
简单显式差分格式
uk1 j
(1
2ra
2
Leabharlann Baidu)u
k j
ra
2
(
uk j1
u
k j1
)
u0j ( x j )
u0k unk1 0
稳定性分析,设 ra2 1 / 2
j
/
2(n
1))
|
(H) 1
C-N 格式是无条件稳定的.
14/17
数值实验题 用三种差分格式求 初边值问题数值解
ut uxx , 0 x 1, t 0
u( x,0) sinx, 0 x 1
u(0, t) u(1, t) 0, t 0
并与准确解比较 u( x, t) exp( 2t)sin x
(H ) 1 M1
7/17
定理 若 H = A-1B 为正规矩阵,即 HH* = H*H,
则条件 (H ) 1 M1
是双层差分格式按欧氏范数稳定的充分条件 注：欧氏范数(或离散L2范数)
n
|| uk ||0 [h (ukj )2 ]1/ 2 j 1
8/17
简单显式差分格式矩阵形式
uk1 [(1 2ra2 )I ra2C ]uk f k 过渡矩阵 H [(1 2ra2 )I ra2C ]
1 2ra2 ra2
ra 2
1 2ra2 ra2
ra 2
1
2ra
2
nn
特征值
j
(1
1
2ra2 )
2ra2[1
2ra2 cos(
j
cos( )]
j
n
1
)
n1
1 4ra2 sin2 j
2(n 1)
9/17
过渡矩阵的谱半径
(H)
max
|1
max
1 jn
4ra
|
2
j(H
j j
/(n /(n
1)) 1))
1 2ra2 sin2 ( j / 2(n 1)) 1 2ra2 sin2 ( j / 2(n 1))
13/17
过渡矩阵的谱半径
(
H
)
max
1 jn
|
j
(
H
)
|
1 2ra2 sin2 ( j / 2(n 1))
max
1 jn
|
1
2ra 2
sin2 (
sin 2
)
| j
|
1 jn
2(n 1)
| (ra2 ) |
(ra2 )
| n |
| 1 |
ra 2
极值点满足
ra2 1 2
1 4ra2 sin2 4ra2 sin2 n 1
2(n 1)
2(n 1)
(ra2 ) 1 2sin2 cos 1
2(n 1)
n1
显式差分格式稳定充分条件. h2 / 2a2
系数矩阵可逆
k1 [ A(k ) ]1 B(k ) k
记 H (k ) [ A(k ) ]1 B(k ) 称之为过渡矩阵
k1 H (k ) k 常系数差分格式 k1 H k
H 的谱半径:
(
H
)
max
1 jn
|
j
(
H
)
|
定理: 双层差分格式稳定的必要条件是,存在与 无
关的常数 M1 ,使得
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简单隐式差分格式矩阵形式
[(1 2ra2 )I ra2C ]uhk1 uhk
f k1 h
过渡矩阵 H [(1 2ra 2 )I ra 2C ]1
特征值
1 2ra ra
1
ra
1 2ra ra
ra 1 2ra
j
(H)
[1
[(1 2ra2 )
2ra(1 cos
《偏微分方程数值解法》 7
——抛物型方程差分法2
差分格式稳定性概念 显、隐格式稳定性分析 稳定性分析的矩阵方法
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抛物型方程
u a2 t
2u x 2
f (x,t)
t
简单显式差分格式
x
uk1 j
ukj
a2 h2
u2 k
xj
f
k j
r / h2
uk1 j
(1
2ra 2 )ukj
ra
2