偏微分方程数值解复习题(2011硕士)

偏微分方程数值解期末复习（2011硕士）

一、考题类型

本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为：

填空题20%；计算题80%

二、按章节复习内容

第一章

知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等；

要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶;

第二章

知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等；

要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理;

第四章

知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等；

要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差;

第五章

知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等；

要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差;

第七章

要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式

三 练习题

1、 已知显格式21131(

)22

n n n n u u h f f +++-=-

，试证明格式是相容的，并求它的阶。

P39+P41

2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数之间的关系 课件

3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程

2

2

22

(,),

(,),u u f x y x y x

y

∂∂--

=∀∈Ω∂∂ :01,01

x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件

4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题

5、构建一维热传导方程2

20,(0)u u Lu a

a t x

∂∂=

-=>∂∂的数值差分格式(显隐格式等)。

参考P132-135相关知识点

6、设有逼近热传导方程2

2

(0)u u Lu a

f a const t

x

∂∂≡

-==>∂∂的带权双层格式

()()1

11111112

2(1)2k k

j

j

k k k k k k

j j j j j j u u a

u u u u u u h θθτ

++++-+-+-⎡⎤=

-++--+⎣⎦

其中[0,1]

θ

∈，试求其截断误差。并证明当2

1212h

a θτ=-时，截断误差的阶最

高阶为

2

4

()

O h τ+。 P135+P165+课件

7、传播因子法证明抛物型方程2

2(0)u u Lu a

f a const t x

∂∂≡-==>∂∂的最简显隐和六

点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题

0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0,

u

u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ∂∂⎧+=<≤<<∞>⎪∂∂⎪

⎨

=≤<∞⎪⎪=≤≤⎩

试建立左右偏心差分格式。 P185+课件 9、设有逼近双曲型方程

0u u a

t

x

∂∂+=∂∂的双层加权格式

()()1

1111(1)0k k

j

j

k k k k

j j j j u u a

u u u u h

θθτ

+++---⎡⎤+

-+--=⎣⎦, [0,1]θ∈ 试求其截断误差, 并说明当112

2ar

θ=

-

时截断误差为最高阶22()O h τ+. P194

10、对于两点边值问题(),(,)(),()d

du p qu f x a b dx dx

u a u b αβ⎧-

+=∈⎪⎨⎪==⎩

用等距结点线性元推导有

限元方程. 参考P267+P271相关知识点+课件