统计学常用分布及其分位数完整版

统计学常用分布及其分

位数

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§ 常用的分布及其分位数

1. 卡平方分布

卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的

分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，

Z=∑i

i X 2 的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～

2χ(n)，它的分布密度 p(z )=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的⎪⎭

⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1， ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。2χ分布是非对称分布，具有可加性，

即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。

证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互

独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令

Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，

Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n

+ X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且

X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n

Y X 的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度 P(z)=)()(221n n

n ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+n n z 。 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30

时，t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )，

则Z=m

Y n X

的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由

度的次序有关，当Z ～F (n , m )时，Z

1～F (m ,n )。 4. t 分布与F 分布的关系

若X ～t(n )，则Y=X 2～F(1,n )。

证：X ～t(n )，X 的分布密度

p(x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π2121+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+n n x 。 Y=X 2的分布函数F Y (y ) =P{Y

当y ≤0时，F Y (y)=0，p Y (y )=0； 当y >0时，F Y (y ) =P{-y

=2x d x p y )(0⎰， Y=X 2的分布密度p Y (y )=21)(121221212n y n y n n n n ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•，

与第一自由度等于1、第二自由度等于n 的F 分布的分布

密度相同，因此Y=X 2～F(1,n )。

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从

各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：

4. 常用分布的分位数

1）分位数的定义

分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：

当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数α满足0 <α

<1

时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα，上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ，

双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=α的数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=α的数λ2。

因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x 1-α；

F(λ1)=α，1-F(λ2)=α，所以双侧α分位数λ1就是α分位数x α，双侧α分位数λ2就是α分位数xα。

2）标准正态分布的α分位数记作uα，α分位数记作u ，α分位数记作u α。

α

(uα)=α，

当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F

0,1

(uα)=α，

P{X

0,1

(uα)=α。

P{X

0,1

根据标准正态分布密度曲线的对称性，

当α=时，uα=0；

当α<时，uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出 u 1-α，然后得到uα=-u1-α。

(uα)=论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< uα}= F

0,1

α，

P{X< u1-α}= F

(u1-α)=1-α，

0,1

(u1-α)=α，

P{X> u1-α}=1- F

0,1

故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。

例如，u =-u =，

u =-u =，

u =-u =，

u =-u =，

u =-u =。

又因为P{|X|< uα}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是uα和-uα。

标准正态分布常用的上侧α分位数有：

α=，u =；

α=，u =；

α=，u =；

α=，u =；

α=，u =。

χα(n)。

3）卡平方分布的α分位数记作2

χα(n)>0，当X～2χ(n)时，P{X<2χα(n)}=α。

2

χ(4)=，2χ(4)=，

例如，2

χ(4)=，2χ(4)=，

2

χ(4)=，2χ(4)=。

2

4）t分布的α分位数记作tα(n)。

当X～t(n)时，P{X

tα(n)=-t1-α(n)，论述同uα=-u1-α。

例如，t(4)=，t (4)=，

t (4)=，t (4)=，

t (4)=，t (4)=。