【八年级】八年级数学下册63三角形的中位线导学案北师大版

【关键字】八年级

6.3 三角形的中位线

1．掌握中位线的定义以及中位线定理；

2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．

自学指导阅读课本P150~151，完成下列问题.

知识探究

探索一：1.思考：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你是怎么做的？请画出草图.

解：略.

2.如果连结三角形每两边的中点，能得到四个全等的三角形吗？

解：可以.

※定义：连接三角形两边的中点叫做三角形的中位线.

探究二：1.你能猜想出三角形的中位线与第三边有怎样的关系?

解：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

※定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

自学反应

1. 如图，点E、F、H分别是三边上的中点，则有：

（1）△ABC的中位线有EF，HF，HE ；

（2）HF//AB，HF=AE=EB=AB；

（3）HE//BC，HE=BF=CF=BC；

（4）EF//AC，EF=HC=AH=AC.

活动1 小组讨论

例1 如图，DE是△ABC的中位线.求证：DE∥BC，DE=BC.

证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF.

在△ADE和△CFE中，

∵AE=CE,∠1=∠2，DE=FE,

∴△ADE≌△CFE.

∴∠A=∠ECF，AD=CF.

∴CF∥AB.

∵BD=AD,

∴CF=BD.

∴四边形DBCF是平行四边形.

∴DF∥BC，DF=BC.

∴DE∥BC，DE=BC.

例2 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

解：EFGH是平行四边形．

理由：如图，连接AC.

∵EF是△ABC的中位线，

∴EF=AC且EF∥AC.

同理，GH=AC且GH∥AC.

∴EF∥GH且EF=GH.

∴四边形EFGH为平行四边形．

活动2 跟踪训练

1.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(C)

A. B．3 C．6 D．9

2.如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( A )

A．80° B．90° C．100° D．110°

3.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：∠ONM＝∠OMN.

证明：取AD的中点P，连接EP、FP，则EP为△ABD的中位线．

∴EP∥BD，EP＝BD，∴∠PEF＝∠ONM，

同理可知PF为△ADC的中位线，

∴FP∥AC，FP＝AC，

∴∠PFE＝∠OMN，

∵AC＝BD，

∴PE＝PF，

∴∠PEF＝∠PFE，

∴∠ONM＝∠OMN.

在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题．

4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.

证明：取AC的中点F，连接BF.

∵BD＝AB，

∴BF为△ADC的中位线，

∴DC＝2BF.

∵E为AB的中点，AB＝AC，

∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.

∵BC＝CB，

∴△EBC≌△FCB.

∴CE＝BF，

∴CD＝2CE.

恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．

活动3 课堂小结

1.熟记三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线；

2.理解并掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半；

3.能应用三角形中位线的性质解决有关问题.

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