大学物理-第11章小结与习题课
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圆周运动，它的回转周期 T =
-
1.42 10 - 9 s
-19
，
（真空中磁导率 0 = 4 10 - 7 N · - 2 ，电子质量 me A
=9.11 10 31kg，基本电荷 e = 1.60 10 C ）。
2 m T qB
B H 0 r H 0 H
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
1.一运动电荷q，质量m，以初速度 V0 进入均匀磁场 中，若 V0 与磁场的方向夹角为 ，则
A、其动能改变，动量不变. B、其动能和动量都改变. C、其动能不变，动量改变. D、其动能、动量都不变.
[ C
]
2. 有一个半径为 R 的单匝圆线圈，通以电流 I ，若 将该导线弯成 匝数 N = 2 的平面圆线圈，导线长度 不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感应强 度和线圈的磁矩分别是原来的 （A） 4倍和 1 / 8 ， （B） 4倍和 1 / 2 ， （C） 2倍和 1 / 4 ， （D） 2倍和 1 / 2 。
解：f
qvB ，磁场力之比
F1 q1 1 F2 q2 2
mv R ，故运动轨迹半径之比 qB
R1 m1 q 2 1 2 1 R2 m2 q1 4 1 2
6.一个单位长度上密绕有n匝线圈的长直螺线 管，每匝线圈中通有强度为I的电流，管内充 满相对磁导率为μ r的磁介质，则管内中部附 近磁感应强度B=
B圆形
B、1.00 D、1.22.
设圆直径和正方形的边长都为2R 0 I
2R
[ C ]
0 I 2 20 I 2 B正 4 （ ） 4R 2 2 R
10.有一由n匝细导线绕成的平面正三角形线圈, 边长为a，通有电流I，置于均匀外磁场中，当 线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受 的磁力矩Mm值为多少?
ω q S 2 R 1 a i R T T 2 / f
σ
作矩形有向闭合环路如图所示。从电流分布的对称性 可知，在ab 上各点B的大小和方向相同，而且B的方向 平行于ab，在bc 和fa上各点B的方向与线元垂直，在 de, fe, cd 上各点B=0,应用安培环路定理
1.下列两条处于平面内的无限长载流导线在给定
点P处产生的磁感应强度 B 的大小为
I
P•
I
R P
I
I
0 I
（A）BP=
0 I
（B） BP=
8R
2R
.
2.
1.26×10-5Wb
B 0nI
m B dS
0 nIS
3. 电子在磁场强度 H =2 10 4 A· - 1 匀强磁场中沿着 m
A、
3Na 2 IB
3Na 2 IB
2
B、
C、
4
B
3Na2 IB sin 600
D、
0
磁力矩
M Pm B
[ D
]
11. 顺磁物质的磁导率：
（A）比真空的磁导率略小， （B）比真空的磁导率略大， （C）远小于真空的磁导率， （D）远大于真空的磁导率。
0 r
[
B
]
r > 1
]
7.若一平面载流线圈在磁场中既不受力，也不受力矩 作用，这说明： （A）该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定 与磁场方向平行； （B）该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一 定与磁场方向平行； （C）该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定 与磁场方向垂直； （D）该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一 定与磁场方向垂直。
M p m B
[ A
]
8.如图所示，流出纸面的电流为2I,流进纸 面的电流为I, ，则下述各式中哪一个是正 确的？[ ]
[ D
]
9.有一圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径 和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的 电流，它们在各自中心产生的磁感应强度的大 小之比B1/B2为 A、0.90 ; C、1.11 ;
(2) 载流圆弧 圆心角
B
0 I
2R
0 I B 2 R 2 4R
0 I
3. 长直载流螺线管
5. 环形载流螺线管
0 nI B 0
内 外
0 NI B 2r 0
内 外
b
a
.........
R1、R2 R1 R2 N n 2R1
0 q r B 4 r 3
B dB 微观叠加
4)运动电荷产生的磁场
3.磁场方程
1)磁场高斯定理 S B dS 0
(稳恒磁场,无源)
2)安培环路定理 l B dl 0 I i (稳恒磁场,有旋)
6.载流线圈的磁矩 Pm NISn
4.在磁场中某点放一很小的试验线圈，若线圈的 面积增大一倍，且其中电流也增大一倍，该线圈 所受的最大磁力矩将是原来的 4 倍
解：由磁力矩
M Pm B
M ISB
则其最大磁力矩为
若面积和电流均增大一倍，则由上式可知M将变为 原来的4倍
5.两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线 入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷 之比是1∶2，它们所受的磁场力之比 是 1∶2，运动轨迹半径之比是 1∶2
静电场
E dl 0
比较
?
磁
场
i
B dl 0 I i
磁场没有保守性，它是 非保守场，或有旋场
电场有保守性，它是 保守场，或无旋场
1 E ds qi s 0
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B ds 0
F I3 [
0 r
2 (r x)
0 I1
2 (2r x)
]dx
0 I1
]dx
2 (r x)
r
0 I1
2 (2r x)
r
0 I 2
I3dx
0 I3 I1 I2 [ dx dx] 2 0 r x 2r x 0
O
x
0 I3 2r r 0 I3 [ I1 ln I 2 ln ] [ I1 ln 2 I 2 ln 2] 2 r 2r 2
F BIL sin
(B)Fa Fb Fc (D)Fa Fc Fb
I O c
a I b
B
sin b sin c sin a 0
[ C ]
6.把正方形的线圈用细线挂在通电直导线附近， 两者在同一平面内，其中直导线固定，线圈可 以自由活动，如图所示，当正方形导线圈通以 如图所示的电流时，线圈将： A、发生转动，同时离开导线AB； B、发生转动，同时靠近导线AB； C、靠近导线AB； D、离开导线AB。 F dF Idl B L M p m B [ C
c
d
B 0 nI
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
B0
长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体
内 外
内 外
E 2 0 r r E 2 0 R 2 E 2 0 r
0 I B 2r 0 Ir B 2R 2 0 I B 2r
磁场时，运动方向恰与进入时 的方向相反，那么沿粒
子飞入的方向上磁场的最小宽度L=
2mE /(qB)
。
mv qvB r
1 2 E mv 2
2
mv R qB
mv R 2mE / qB qB
9. 在安培环路定理
L B dl 0 I i
；
中， Ii 是指 环路所包围的各种稳恒电流的代数和
/4
方法二: 在稳恒磁场中，一个与磁场方向垂直放置的闭 合线圈所受的合力为零。 与直线电流ab所受的力大小相等，方向相反。
F 2BIR
方向沿Y轴方向
1.
s
s
D
3.如图所示，一半径为R的均匀带电 无限长直圆筒，面电荷密度为σ 。该 σ R 圆筒以角速度ω 绕其轴线匀速旋转。 ω 试求圆筒内部的磁感强度。 解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向 的电流密度i（即单位长度的电流为i ），
B 是指 环路上的磁感应强度
；
它是由 环路内外全部电流所产生磁场的叠加 决定的。
10. 如图，一根载流导线被弯成半径为 R 的 1 / 4 圆弧，放 在磁感应强度为 B 的均匀磁场中，则载流导线 a b 所受磁 场的作用力的大小为
2BIR ，方向 沿 Y 轴正向 。
Y a
450 450 R
b
0
X
B
解：载流导线MN上任一点处的 磁感强度大小为：
B 2 (r x)
I3dx
0 I1
2 (2r x)
0 I 2
O
x
MN上电流元I3dx所受磁力
dF I 3 Bdx I 3[ 2 (r x)
0 I1
2 (2r x)
0 I1
]dx
dF I 3 Bdx I 3[
o r nI
,
磁场强度H=
nI
.
7.将流过强度为I=1000 A电流的直导线置于匀强磁场 中，且垂直磁力线。若磁感应强度B=1T，磁场作用在 长度为L=1 m的一段导线上的力F为
1000N
.
F BIL
8.质量为m、电量为q的粒子具有动能E，垂直磁力线
方向飞入磁感应强度为B的匀强电场中，当该粒子越出
I
n S
4.电磁相互作用 1)磁场对载流导线的安培力
f l Idl B
2)磁场对载流线圈的作用力矩 M Pm B
3)磁场对运动电荷的洛仑兹力 F q B
本章一些重要的结论
1. 直电流的磁场
2
I
0 I B (cos 1 cos 2 ) 4a
•无限长载流直导线
0 I B 2a
1
B
0 I •半无限长载流直导线 B 4a
•直导线延长线上
a
P
B0
2. 圆电流轴线上某点的磁场
大小： B
0 IR 2
2( R 2 x 2 )3 2
I
R
x
P x
方向： 右手螺旋法则
(1) 载流圆环圆心处的 B 圆心角 2
第11章 稳恒磁场总结 与习题课
一. 主要内容回顾
1.磁通量
m s B dS
2.磁场的计算 1)毕奥---萨伐尔定理
0 Iwk.baidu.coml r dB 4 r3
2)电流产生磁场 0 Idl r B r3 4
3)安培环路定理
B Bi 场叠加 l B dl 0 I i
e
R i b c d
B dl I
0
可得
ω
Bab 0iab
B 0i 0 R
a f e
σ
R i b c d
圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小
B 0 R
方向平行于轴线向右
5.如图所示，载有电流Il和I2的长直导线ab和cd 相互平行，相距为3r，今有载有电流I3的导线 MN=r；水平放置，且其两端MN分别与Il、I2 的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN 所受的磁力大小和方向
B
0 NI
2R
pm NIR
2
[
B
]
B
0 I
2R
R 2r
B1
0 I
2R
, B2 2
0 I
2r
.
B2 R 2 4 B1 r
2 r 2 I . Pm R I , Pm
2
Pm NIS
Pm r2 1 2 2 Pm R 2
3.如图所示的回路ABCD，曲线部分BC和AD分别 为半径为R1和R2的同心圆的一部分，张角为θ ，
而直线部分沿半径方向，若回路中通有电流I，
则圆心O处的磁感应强度为[ ]
R1 B A θ O C D R2
[ C
]
5.如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中,有 一圆形载流导线，a、b、c是其上三个长度相等 的电流元，则它们所受安培力大小的关系
( A)Fa Fb Fc (C)Fb Fc Fa
Y a
dF
b
方法一:取 dl
dF IBdl
方向如图设其与 X 轴的夹角为
45 45 R
0
0
θ
dFx dF cos , dFy dF sin
X
0
Fx dFx 0
Fy dFy
3 / 4
3 / 4
dF sin
/4
IB sin Rd 2BIR
-
1.42 10 - 9 s
-19
，
（真空中磁导率 0 = 4 10 - 7 N · - 2 ，电子质量 me A
=9.11 10 31kg，基本电荷 e = 1.60 10 C ）。
2 m T qB
B H 0 r H 0 H
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
1.一运动电荷q，质量m，以初速度 V0 进入均匀磁场 中，若 V0 与磁场的方向夹角为 ，则
A、其动能改变，动量不变. B、其动能和动量都改变. C、其动能不变，动量改变. D、其动能、动量都不变.
[ C
]
2. 有一个半径为 R 的单匝圆线圈，通以电流 I ，若 将该导线弯成 匝数 N = 2 的平面圆线圈，导线长度 不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感应强 度和线圈的磁矩分别是原来的 （A） 4倍和 1 / 8 ， （B） 4倍和 1 / 2 ， （C） 2倍和 1 / 4 ， （D） 2倍和 1 / 2 。
解：f
qvB ，磁场力之比
F1 q1 1 F2 q2 2
mv R ，故运动轨迹半径之比 qB
R1 m1 q 2 1 2 1 R2 m2 q1 4 1 2
6.一个单位长度上密绕有n匝线圈的长直螺线 管，每匝线圈中通有强度为I的电流，管内充 满相对磁导率为μ r的磁介质，则管内中部附 近磁感应强度B=
B圆形
B、1.00 D、1.22.
设圆直径和正方形的边长都为2R 0 I
2R
[ C ]
0 I 2 20 I 2 B正 4 （ ） 4R 2 2 R
10.有一由n匝细导线绕成的平面正三角形线圈, 边长为a，通有电流I，置于均匀外磁场中，当 线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受 的磁力矩Mm值为多少?
ω q S 2 R 1 a i R T T 2 / f
σ
作矩形有向闭合环路如图所示。从电流分布的对称性 可知，在ab 上各点B的大小和方向相同，而且B的方向 平行于ab，在bc 和fa上各点B的方向与线元垂直，在 de, fe, cd 上各点B=0,应用安培环路定理
1.下列两条处于平面内的无限长载流导线在给定
点P处产生的磁感应强度 B 的大小为
I
P•
I
R P
I
I
0 I
（A）BP=
0 I
（B） BP=
8R
2R
.
2.
1.26×10-5Wb
B 0nI
m B dS
0 nIS
3. 电子在磁场强度 H =2 10 4 A· - 1 匀强磁场中沿着 m
A、
3Na 2 IB
3Na 2 IB
2
B、
C、
4
B
3Na2 IB sin 600
D、
0
磁力矩
M Pm B
[ D
]
11. 顺磁物质的磁导率：
（A）比真空的磁导率略小， （B）比真空的磁导率略大， （C）远小于真空的磁导率， （D）远大于真空的磁导率。
0 r
[
B
]
r > 1
]
7.若一平面载流线圈在磁场中既不受力，也不受力矩 作用，这说明： （A）该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定 与磁场方向平行； （B）该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一 定与磁场方向平行； （C）该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定 与磁场方向垂直； （D）该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一 定与磁场方向垂直。
M p m B
[ A
]
8.如图所示，流出纸面的电流为2I,流进纸 面的电流为I, ，则下述各式中哪一个是正 确的？[ ]
[ D
]
9.有一圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径 和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的 电流，它们在各自中心产生的磁感应强度的大 小之比B1/B2为 A、0.90 ; C、1.11 ;
(2) 载流圆弧 圆心角
B
0 I
2R
0 I B 2 R 2 4R
0 I
3. 长直载流螺线管
5. 环形载流螺线管
0 nI B 0
内 外
0 NI B 2r 0
内 外
b
a
.........
R1、R2 R1 R2 N n 2R1
0 q r B 4 r 3
B dB 微观叠加
4)运动电荷产生的磁场
3.磁场方程
1)磁场高斯定理 S B dS 0
(稳恒磁场,无源)
2)安培环路定理 l B dl 0 I i (稳恒磁场,有旋)
6.载流线圈的磁矩 Pm NISn
4.在磁场中某点放一很小的试验线圈，若线圈的 面积增大一倍，且其中电流也增大一倍，该线圈 所受的最大磁力矩将是原来的 4 倍
解：由磁力矩
M Pm B
M ISB
则其最大磁力矩为
若面积和电流均增大一倍，则由上式可知M将变为 原来的4倍
5.两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线 入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷 之比是1∶2，它们所受的磁场力之比 是 1∶2，运动轨迹半径之比是 1∶2
静电场
E dl 0
比较
?
磁
场
i
B dl 0 I i
磁场没有保守性，它是 非保守场，或有旋场
电场有保守性，它是 保守场，或无旋场
1 E ds qi s 0
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B ds 0
F I3 [
0 r
2 (r x)
0 I1
2 (2r x)
]dx
0 I1
]dx
2 (r x)
r
0 I1
2 (2r x)
r
0 I 2
I3dx
0 I3 I1 I2 [ dx dx] 2 0 r x 2r x 0
O
x
0 I3 2r r 0 I3 [ I1 ln I 2 ln ] [ I1 ln 2 I 2 ln 2] 2 r 2r 2
F BIL sin
(B)Fa Fb Fc (D)Fa Fc Fb
I O c
a I b
B
sin b sin c sin a 0
[ C ]
6.把正方形的线圈用细线挂在通电直导线附近， 两者在同一平面内，其中直导线固定，线圈可 以自由活动，如图所示，当正方形导线圈通以 如图所示的电流时，线圈将： A、发生转动，同时离开导线AB； B、发生转动，同时靠近导线AB； C、靠近导线AB； D、离开导线AB。 F dF Idl B L M p m B [ C
c
d
B 0 nI
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
B0
长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体
内 外
内 外
E 2 0 r r E 2 0 R 2 E 2 0 r
0 I B 2r 0 Ir B 2R 2 0 I B 2r
磁场时，运动方向恰与进入时 的方向相反，那么沿粒
子飞入的方向上磁场的最小宽度L=
2mE /(qB)
。
mv qvB r
1 2 E mv 2
2
mv R qB
mv R 2mE / qB qB
9. 在安培环路定理
L B dl 0 I i
；
中， Ii 是指 环路所包围的各种稳恒电流的代数和
/4
方法二: 在稳恒磁场中，一个与磁场方向垂直放置的闭 合线圈所受的合力为零。 与直线电流ab所受的力大小相等，方向相反。
F 2BIR
方向沿Y轴方向
1.
s
s
D
3.如图所示，一半径为R的均匀带电 无限长直圆筒，面电荷密度为σ 。该 σ R 圆筒以角速度ω 绕其轴线匀速旋转。 ω 试求圆筒内部的磁感强度。 解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向 的电流密度i（即单位长度的电流为i ），
B 是指 环路上的磁感应强度
；
它是由 环路内外全部电流所产生磁场的叠加 决定的。
10. 如图，一根载流导线被弯成半径为 R 的 1 / 4 圆弧，放 在磁感应强度为 B 的均匀磁场中，则载流导线 a b 所受磁 场的作用力的大小为
2BIR ，方向 沿 Y 轴正向 。
Y a
450 450 R
b
0
X
B
解：载流导线MN上任一点处的 磁感强度大小为：
B 2 (r x)
I3dx
0 I1
2 (2r x)
0 I 2
O
x
MN上电流元I3dx所受磁力
dF I 3 Bdx I 3[ 2 (r x)
0 I1
2 (2r x)
0 I1
]dx
dF I 3 Bdx I 3[
o r nI
,
磁场强度H=
nI
.
7.将流过强度为I=1000 A电流的直导线置于匀强磁场 中，且垂直磁力线。若磁感应强度B=1T，磁场作用在 长度为L=1 m的一段导线上的力F为
1000N
.
F BIL
8.质量为m、电量为q的粒子具有动能E，垂直磁力线
方向飞入磁感应强度为B的匀强电场中，当该粒子越出
I
n S
4.电磁相互作用 1)磁场对载流导线的安培力
f l Idl B
2)磁场对载流线圈的作用力矩 M Pm B
3)磁场对运动电荷的洛仑兹力 F q B
本章一些重要的结论
1. 直电流的磁场
2
I
0 I B (cos 1 cos 2 ) 4a
•无限长载流直导线
0 I B 2a
1
B
0 I •半无限长载流直导线 B 4a
•直导线延长线上
a
P
B0
2. 圆电流轴线上某点的磁场
大小： B
0 IR 2
2( R 2 x 2 )3 2
I
R
x
P x
方向： 右手螺旋法则
(1) 载流圆环圆心处的 B 圆心角 2
第11章 稳恒磁场总结 与习题课
一. 主要内容回顾
1.磁通量
m s B dS
2.磁场的计算 1)毕奥---萨伐尔定理
0 Iwk.baidu.coml r dB 4 r3
2)电流产生磁场 0 Idl r B r3 4
3)安培环路定理
B Bi 场叠加 l B dl 0 I i
e
R i b c d
B dl I
0
可得
ω
Bab 0iab
B 0i 0 R
a f e
σ
R i b c d
圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小
B 0 R
方向平行于轴线向右
5.如图所示，载有电流Il和I2的长直导线ab和cd 相互平行，相距为3r，今有载有电流I3的导线 MN=r；水平放置，且其两端MN分别与Il、I2 的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN 所受的磁力大小和方向
B
0 NI
2R
pm NIR
2
[
B
]
B
0 I
2R
R 2r
B1
0 I
2R
, B2 2
0 I
2r
.
B2 R 2 4 B1 r
2 r 2 I . Pm R I , Pm
2
Pm NIS
Pm r2 1 2 2 Pm R 2
3.如图所示的回路ABCD，曲线部分BC和AD分别 为半径为R1和R2的同心圆的一部分，张角为θ ，
而直线部分沿半径方向，若回路中通有电流I，
则圆心O处的磁感应强度为[ ]
R1 B A θ O C D R2
[ C
]
5.如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中,有 一圆形载流导线，a、b、c是其上三个长度相等 的电流元，则它们所受安培力大小的关系
( A)Fa Fb Fc (C)Fb Fc Fa
Y a
dF
b
方法一:取 dl
dF IBdl
方向如图设其与 X 轴的夹角为
45 45 R
0
0
θ
dFx dF cos , dFy dF sin
X
0
Fx dFx 0
Fy dFy
3 / 4
3 / 4
dF sin
/4
IB sin Rd 2BIR