2.3 用公式法求解一元二次方程(1课时)

3 用公式法求解一元二次方程

一、基本目标

1．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．

2．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．

二、重难点目标

【教学重点】

求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．

【教学难点】

一元二次方程求根公式的推导．

环节1 自学提纲、生成问题

【5 min 阅读】

阅读教材P41～P44的内容，完成下面练习．

【3 min 反馈】

1．用配方法解下列方程：

(1)x 2－5x ＝0；x 1＝0，x 2＝5.

(2)2x 2－4x －1＝0.x 1＝1＋62，x 2＝1－62

. 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定．

(1)式子x ＝－b ±b 2－4ac 2a

叫做一元二次方程的求根公式. (2)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(3)对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)：当b 2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac <0时，方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判别，我们把b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示．

3．不解方程，判定方程根的情况．

(1)16x 2＋8x ＝－3； (2)9x 2＋6x ＋1＝0；

(3)2x 2－9x ＋8＝0； (4)x 2－7x －18＝0.

解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根．

(3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．

教师点拨：将方程化为一般形式，再用判别式进行判断一元二次方程根的情况． 环节2 合作探究，解决问题

活动1 小组讨论(师生互学)

【例1】用公式法解下列方程：

(1)x 2－5x －3＝0； (2)3x 2＋8x ＋1＝0；

(3)2x (x －1)－7x ＝2.

【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？

【解答】(1)a ＝1，b ＝－5，c ＝－3，则Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(－3)＝37>0.

方程有两个不相等的实数根x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－5)±372×1

， 即x 1＝5＋372，x 2＝5－372

. (2)a ＝3，b ＝8，c ＝1，则Δ＝b 2－4ac ＝82－4×3×1＝52>0.

方程有两个不相等的实数根x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝8±522×3

， 即x 1＝4＋133，x 2＝4－133

. (3)原方程整理，得2x 2－9x －2＝0.其中a ＝2，b ＝－9，c ＝－2，则Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0.

方程有两个不相等的实数根x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－9)±972×2

， 即x 1＝9＋974，x 2＝9－974

. 【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；(2)求出Δ＝b 2－4ac 的值；(3)当Δ>0时，方程ax 2＋bx ＋c

＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a

；当Δ＝0

时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a

；当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．

活动2 巩固练习(学生独学)

1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B )

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．有一个实数根

D ．没有实数根

2．如果方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，那么m 的取值范围是m ＜－45

. 教师点拨：∵方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，∴Δ＝(－4)2－4×5×(－m )＜0，解得m ＜－45

. 3．用公式法解下列方程：

(1)2x 2－2x ＋1＝0； (2)5x ＋2＝3x 2；

(3)12

x (2x －4)＋4＝7x . 解：(1)原方程没有实数根．

(2)x 1＝2，x 2＝－13

. (3)x 1＝9＋652，x 2＝9－652

. 活动3 拓展延伸(学生对学)

【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是________.

【互动探索】三角形的三边满足什么关系？怎样根据一元二次方程的系数判定根的情况？

【分析】Δ＝(2c )2－4(a ＋b )(a ＋b )＝4c 2－4(a ＋b )2＝4(c ＋a ＋b )(c －a －b )．∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴a ＋b ＞c ，∴c ＋a ＋b ＞0，c －a －b ＜0，∴Δ＜0，故原方程没有实数根．

【答案】没有实数根

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及利用根的判别式“b 2－4ac ”判断方程根的情况．