人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习突破圆锥曲线中的相交弦问题

突破圆锥曲线中的相交弦问题

山东省利津县第一实验学校 刘素梅 257400

关于圆锥曲线中的相交弦有三种常见的表现形式，即两弦相交成直角、两相交弦倾斜角互补、三弦组成特殊的三角形。下面分类举例，阐述常用的求解策略. 一、两弦相交成直角

例1.已知直线1:+=kx y l 与双曲线12:2

2

=-y x C 的右支交于不同的两点A 、B 。（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。

解析：（1）将直线l 的方程1+=kx y 代入双曲线C 的方程122

2

=-y x 后，整理得

①

依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A 、B ，设

；

则022

≠-k ,有:()()

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧

>-=>--=+>--=∆022********

2122122k x x k k x x k k

解不等式组得k 的取值范围为（－2，2-）。

（2）假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ，0），则FA ⊥FB ，所以122

11-=--=c

x y c x y k k FB FA ，即

又

，

代入前式整理得

将2

2,222

21221-=--

=+k x x k k x x 及26=c 代入，化简得062252

=-+k k 解得56

6±=k 。

又()

2,2566--∈-=k k 与不合,舍去.所以5

6

6+=k 符合题意. 注：用斜率的关系是解决两直线垂直的有力武器，不可忽视。

例2.设点A 和B 为抛物线px y 42

=()0>p 上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥

AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解析：依题意，设

，则p

y x p y x 4,42

2

2211== 又OA ⊥OB ，得02121=+y y x x 即

044212

2

21=+y y p

p y y ,化简得22116p y y -=。 而2121214y y p x x y y k PA

+=--=，所以直线AB 的方程为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=-p y x y y p y y 44212

11.

令y ＝0，并将代入得，即直线AB 与x 轴交于定点Q （4p ，0）。又OM ⊥AB ，由平面几何知识得：动点M 的轨迹是以线段OQ 为直径，以点（2p ，0

）为圆心的圆，其方程为.

注：利用平面几何知识将两弦垂直与以线段为直径的圆相互转化也是常用的策略。 二、两相交弦倾斜角互补

例3.过抛物线px y 22

=()0>p 上一定点P （

，作两条直线分别交抛

物线于A （）、B （）。（1）求该抛物线上纵坐标为

2

p

的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求

y y y 2

1+的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数。

解析：（1）当2p y =时，8p x =。又抛物线px y 22

=的准线方程为2p x -=，由抛物线定义得所求距离为8

528p

p p =⎪⎭⎫ ⎝⎛--.

（2）由，相减得()()() x x p y y y y -=+-112

故() x x y y p

x x y y k PA ≠+=

--=

11112,同理可得()

x x y y p k AB ≠+=222. 由PA 与PB 倾斜角互补知，所以2,22

1

21-=+-=+

y y y y y y 由22

21212,2px y px y ==，故()212121212x x y y p

x x y y k AB ≠+=

--=

。 将 y y y 221-=+,代入得

y p

k AB

-=，所以直线AB 的斜率是非零常数。

注：将两相交弦倾斜角互补转化为斜率互为相反数，利用等量关系列式求解。

例4. 如图1，已知A ，B ，C 是长轴为4的椭圆上三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，且，。（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使直线CP 、CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，是否总存在实数

？请给出证明。

图1

解析：（1）以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图直角坐标系，则A （2，0），椭

圆方程可设为

()20142

2

2<<=+b b y x .而O 为椭圆中心，由对称性知OB OC =

又，所以AC ⊥BC.又，所以|OC|＝|AC|，

所以△AOC 为等腰直角三角形，所以点C 坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得3

4

2

=

b ，则椭圆方程为14

342

2=+y x . （2）由直线CP 、CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，设直线CP 的斜率为k ，则直线CQ 的斜率为－k ，直线CP 的方程为

，直线CQ 的方程为。由

椭圆方程与直线CP 的方程联立，消去y 得

①

因为C （1，1）在椭圆上，所以x ＝1是方程①的一个根，于是2

2311

63k k k x p +--=

同理2

2311

63k k k x Q +-+=,这样，3

1=--=Q p Q p PQ x x y y k . 又B （－1，－1），所以3

1

=AB k ，即AB PQ k k =。

所以PQ ∥AB ，存在实数使。

注：利用斜率互为相反数关系，整体替换，可简化解题过程。 三、三弦组成特殊的三角形

例5. 已知F 是抛物线x y 42

=的焦点，P 1，P 2是抛物线上的两点，且△P 1FP 2是正三角形，求该三角形的边长.

解析：由于抛物线与正三角形都是轴对称图形，必有x P P ⊥21轴。若设

，则

。又△P 1FP 2是正三角形，所以直线P 1F 的倾斜角为30°.而F （1，0）,则直

线P 1F 的方程是

与抛物线x y 42

=联立，消去x 得04342=--y y 解得324+±=y .

故三角形的边长为。

注：上例紧紧抓住了特殊三角形中的特殊角，再利用三角函数知识来求解效果显著。