现代控制理论基础

若将传递函数化成严格真有理分式，则 3s 5
G(s) 1 s2 5s 6
按简化公式可得：
0 1 A 6 5
0 B 1
，
C b1 b2 5 3
D 1
一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶
次，则 b0=0, 传递函数为严格真有理分式形式，
即
G(s)
b0 s m b1s m1 bm1s bm s n a1s n1 an1s an
G(s)
2s 1
b0s b1
s3 7s2 14s 8 s3 a1s2 a2s a3
按上式写出能控标准为：
0 1 0 0 1 0
A
0
0
1
0
0
1
a3 a2 a1 8 14 7
0 , B 0
1
C b1 b0 0 1 2 0
1.4.3 由传递函数部分分式法求状态空间表达式
s 1 s 2
s n
(n m)
其中：
ci
lim G(s)(s
si
i )
X
1
(s
)
s
1
1
U (s)
X
2
(
s)
s
1
2
U (s)
X
n
(s)
s
1
n
U (s)
sX 1(s) 1 X1 (s) U (s) sX2 (s) 2X 2(s) U(s) sX n (s) n X n (s) U (s)
x1 1x1 u x 2 2x2 u xn n xn u
Y (s) G(s)U (s) c1 U (s) c2 U (s) cn U (s)
s 1
s 2
s n
c1x1(s) c2 x2 (s) cn xn (s)
y c1x1 c2 x2 cn xn
x1 1
本节主要介绍如何由传递函数的分解构造状态 空间表达式的方法。这种方法称为部分分式法。 下面根据传递函数极点的两种不同情况分别加以 讨论。
1.传递函数无重极点的情况：
G(s)
Y (s) U (s)
b0sm b1sm1 sn a1sn1
bm1s bm an1s an
c1 c2 cn
xn 0
y c1
0 x1 1
u
n xn 1
x1
cn
xn
对角线标准形
各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解 。
注意：若对于m=n时的一般真有理分式。需要将 T-F化为严格真有理分式的形式后再进行变换。
即：
Y (s) G(s) d U (s)
y c1
百度文库nm
式中 bi (i 0,1,m) 是任意，，常系数。同样按以
上方法C阵可以写成
C bm bm1 b0 b0 0 0
此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入 无直接关系。
例：已知系统的传递函数
G(s)
2s 1
(s 1)(s 2)(s 4)
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：将传递函数整理成标准形式
G(s)
sn
a1s n1
b
an1s
an
系统的微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0
A
0
a n
1 0 an1
0
0
,
B
, C 1
0
0
1
0
a1
b
传递函数也可分解成下图所示的结构。
• 选状态变量为：
现代控制理论基础
§1.4 由传递函数求状态空间表达式
根据前面介绍的微分方程与状态空 间表达式之间的变换关系，若已知传递 函数，可首先把传递函数变成微分方程， 然后由微分方程与状态空间表达式的变 换关系。求出状态空间表达式。
1.4.1 与微分方程形式直接对应的变换法
一、传递函数中没有零点时的变换
传递函数为：
0
A
0
an
1 0 an1
0
1
a1
0
,
B
0
1
C bn anb0 bn1 an1b0 b1 a1b0 , D b0
从传递函数的角度分析，这实际上是一种分 子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：
Y(s) Z(s) Y(s) U (s) U (s) Z(s)
式中
传递函数为：
G(s)
b0 s n b1s n1 bn1s bn s n a1s n1 an1s an
微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y b0u (n) b1 u (n1) bn1u bnu
则根据上节公式，可直接写出能控标准形。 即：
能控标准形实现模拟图
例: 已知系统的传递函数：
G(s) s2 2s 1 s2 5s 6
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：由公式写出能控标准形为：
0 1 0 1
0
A a2
a1
6
5
, B 1
C b2 a2b0 b1 a0b0 5 3 , D b0 1
x1
cn
du
xn
例：已知
G(s)
s2 s2
2s 1 5s 6
，求S-E。
解： 先化为真有理式
G(s)
3s 5 s2 5s 6
1
(s
3s 5 2)(s
3)
1
c1 c2 1 s2 s3
Z (s) U (s)
sn
a1s n1
1
an1s
an
Y (s) Z (s)
b0 s n
b1s n1
bn1s
bn
分解式第一部分是系统结构决定的。当选
中间变量z及z的各阶导数为一组变量时,得到的
状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。 显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 bn1s s n a1s n1 an1s
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2,, n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
C bn bn1 b1 , D b0
由此画出的系统计算机模拟图如图所示。
x1
z
1 b
y
x2
z
1 b
y
xn
z (n1)
1 b
y (n1)
对应的状态空间表达式为：
0
A
0
a n
1 0 an1
0
0
,
B
, C b
1
0
a1
1
0 0
其中A阵和B阵为规范形式，这是能控标准 形实现。它的模拟电路图如下图所示：
能控标准形实现的模拟图
二、传递函数中有零点时的变换