第3章 动态规划+LCS

Step1: 分解问题，刻画最优解的结构
分解问题的经验：走一步看看
要确定是否为公共元素，必须进行比较操作。 不妨比较 X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最后一个元素
Step1: 分解问题，刻画最优解的结构
原问题：从序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}中找一最长公 共子序列Z={z1,z2,…,zk} 。 引入记号 Zk-1 ={z1,z2,…,zk-1}， Xm-1={x1,x2,…,xm-1}， Yn-1={y1,y2,…,yn-1}
c[i-1][j-1]

c[i-1][j] c[i][j]
围观我们要求的，c数组！！
y1 … …
c[i][j-1]
yn
c[0][n 1] c[0][n] c[0][0] c[0][1] x1 c[1][0] c[1][1] c[1][n 1] c[1][n] c c[m 1][n 1] c[m 1][n] xm c[ m][0] c[ m][1] c [ m ][ n 1] c [ m ][n]
(7,6)
CS(7,6)
x7=B≠y6=A (6,6) x6=y6=A (5,5)
(7,5) CS(6,6) CS(5,5)
CS(7,5)
CS(6,4)
x7=y5=B (6,4)
递归程序的雏形已经形成，成功就在彼岸！！？？？
(7,6)

子问题的进一步分解
x7=B≠y6=A
(6,6) x6=y6=A (5,5) x5=D≠y5=B (4,5) (5,4) x5=D≠ y4=A (4,4) (5,3) (7,5) x7=y5=B (6,4)
Z按照如下方式获得： (1)若xm=yn，令zk=xm=yn，则Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个最长公共子序 列。 (2)若xm≠yn，则Z是 Xm-1与Y 或 X与Yn-1 的一个最长公共子序列。

原问题的分解示意图

(i,j)：对应于处理以下数据的子问题
Xi={x1,x2,…,xi}， Yj={y1,y2,…,yj}
(m,n)
Zk=xm=yn

xm≠yn

(m-1,n-1)
(m-1,n) (m,n-1)

层层剥笋，子问 题逐渐变小! i=m,m-1,…,0 j=n,n-1,…,0
什么时候不用继续分解呢？？？
i=0 或 j=0

原问题的分解举例
1 2 3 4 5 A B C B D 1 2 3 B D C 4 5 A B 6 7 A B 6 A
X A B b C B D A B
Y i/ j 1 2 3 4 5 6 7
B D C 1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 2 2 2 3 1 2 2 2 2
A B 4 5 1 2 3 2 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1
A 6 1 3 2 3 2 1 2
构造出一个最优解
理解：Z中的元素在X中能依次被找到。
最长公共子序列

问题的理解

ห้องสมุดไป่ตู้
子序列 举例：Z={B，C，B，A}， X={A，B，C，B，D，A，B} Z中元素在X中所对应的的递增下标序列为 {2，3，4，6} 问： {B，B，C，A}是 X的子序列吗？
最长公共子序列

问题的理解

公共子序列： Z既是X的子序列，又是Y的子序列！ Z={B，C，B，A}， X={A，B，C，B，D，A，B} {2，3，4，6} ≠ {1，3，5，6} Y={B，D，C，A，B ，A }
void LCS(int i，int j，char *x，int **b) //打印出Xi,Yj的一个最长公共子序列
{
if (i ==0 || j==0) return; if (b[i][j]== 1){ LCS(i-1，j-1，x，b); cout<<x[i]; } else if (b[i][j]== 2) LCS(i-1，j，x，b); else LCS(i，j-1，x，b); }
回顾

动态规划的求解步骤

分解问题，刻画最优解的结构

经验：考虑最后一步或者第一步



递归地定义最优值计算式 将子问题分层，以自底向上的方式计算出最优值 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解
注：构造最优解需先求最优值！！
最长公共子序列

问题
给定2个序列X和Y，找出一个最长公共子序列。 X={x1,x2,…,xm} Y={y1,y2,…,yn}
第3章 动态规划 3.2 最长公共子序列
回顾

动态规划的思想

与分治法类似

原问题分解成若干个子问题 子问题的解合并得到原问题的解

与分治法不同：子问题往往不是互相独立的。 为了避免子问题的重复求解，将子问题划分至 多个层次，以自底向上的方式逐层求解，从而 获得最终结果。
回顾

两个基本要素

int i，j; //第0行，第0列 for (j = 0; j<= m; j++) c[0][j] = 0; for (i = 1; i <= n; i++) c[i][0] = 0; //下面逐行求解 for (i = 1; i <= m; i++) for (j = 1; j <= n; j++) { if (x[i]==y[j]) c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) c[i][j]=c[i-1][j]; else c[i][j]=c[i][j-1]; }
小结
1 回顾动态规划
2 最长公共子序列问题的求解 （1）分解问题，得出最优解的结构特征 （2）递归定义最优值的计算式 （3）以自底向上的方式求得最优值 （4）构造最优解
思考
•对于最长公共子序列问题，如何证明其最优子结构性 质？ •如何用程序求解最长公共子序列问题的一个最优解？
最优子结构性质
原问题：从序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}中找一最长公共 子序列Z={z1,z2,…,zk} 。令 Zk-1 ={z1,z2,…,zk-1}， Xm-1={x1,x2,…,xm-1}， Yn-1={y1,y2,…,yn-1}， Z按照如下方式获得： (1)若xm=yn，令zk=xm=yn，则Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列 之一。 (2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。 (3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。 由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀 的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结 构性质。
构造一个最优解
c[i-1][j-1]
1
c[i-1][j]
2
c[i][j-1]
3
c[i][j]
if (x[i]==y[j]) { c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1;} else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=2;} else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3; } }
…
Step3:自底向上计算最优值

如何自底向上得到最优值？ 问题分层 顶：c[m][n] 大i值，大j值 小i值，小j值 底：0行0列
c[i-1][j-1] c[i][j-1]
c[i-1][j] c[i][j]
c数组的值 i：行号；j：列号 （1）逐行求 （2）每行中自左往右求
自底向上求最优值举例
(6,6) x6=y6=A
(7,6) x7=B≠y6=A (7,5) x7=y5=B
i xi j yj
(5,5)
(6,4)
原问题和子问题相似，只是所涉及的序列不同。 直观感觉：直接使用递归程序实现该过程！！
void CS(int i,int j) /*该函数用于求子(i,j)问题的最优解 Xi={x1,x2,…,xi}， Yj={y1,y2,…,yj} */

问题的理解

子序列 公共子序列 最长公共子序列
最长公共子序列

问题的理解

子序列 定义： 称序列 Z={z1,z2,…,zk}为X={x1,x2,…,xm} 的子序列，是指存在一个严格递增下标序列
{i1 , i2 ,, ik }
z1
满足
zj
zk || x ik
|| || x i1 x i j

问题回顾：最长公共子序列

问题
给定2个序列X和Y，找出一个最长公共子序列。 X={x1,x2,…,xm} Y={y1,y2,…,yn} 最优解——最长公共子序列 最优值——最长公共子序列的长度

举例
X={A，B，C，B，D，A，B} Y={B，D，C，A，B，A} m=7 n=6
找 {B,C,A,B}, {B,C, B,A}……中的一个序列 最优值为4
A B 4 5 0 1 1 2 2 2 3 3 0 1 2 2 3 3 3 4
A 6 0 1 2 2 3 3 4 4
该计算过程如何用 程序实现呢？
A B c C B D A B
void LCSLength (int m，int n，char *x，char *y，int **c) { //该函数用于求长度分别为m,n的序列X与Y的最 长公共子序列
}
Step4:构造一个最优解
X A B c C B D A B Y B D C i/ j 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 A B 4 5 0 1 1 2 2 2 3 3 0 1 2 2 3 3 3 4 A 6 0 1 2 2 3 3 4 4
子问题重叠！！ 递归实现会重复计算(5,3) 老实按动态规划继续吧！
x6=y4=A
(5,3)
喔喔，又出现 (5,3)了哦！

回顾动态规划

问题分解+最优解（最长公共子序列）结构 接下来 最优值（最长公共子序列的长度）之间的关系 自底向上求出最优值 之后：再想办法构造一个最优解


Step2: 递归定义最优值
最优子结构性质 原问题的最优解包含子问题的最优解

矩阵连乘 A1…A6的最优计算次序 (A1(A2A3))((A4A5)A6) 包含 A1…A3 A4…A6 等子问题的最优计算次序

重叠的子问题

子问题之间共享了一些更小规模的子问题 递归算法求解时，子问题的求解过程间相互独立，所 共享的更小规模子问题被反复计算
X={A,B,C,B,D,A,B}
Y={B,D, C,A,B,A}
m=7 n=6 最终目标：c[m][n]=4
例的结果
c[i-1][j-1] c[i][j-1] c[i-1][j]
X
c[i][j]
Y B D C i/ j 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7
最长公共子序列

问题的理解
最长公共子序列：最长的公共子序列！ X={A，B，C，B，D，A，B} Y={B，D，C，A，B，A} 它们的公共子序列有： 长度为1的：{A},{B}, {C} ,{D} 长度为2的： {A,A}, {A,B}, {B,A} ,{B,B} …… 长度为3的： {A,B,A}, {B,B,A}, {B, A,B}…… 长度为4的： {B,C,A,B}, {B,C, B,A}…… 那么，还有长度为5的吗？？？？
c[i][j]：子问题(i,j)的最优值 Xi={x1,x2,…,xi}， Yj={y1,y2,…,yj} c[m][n]即为原问题的最优值
(m,n)
Zk=xm=yn
xm≠yn (m-1,n) (m,n-1)
(m-1,n-1)
c[m 1][n 1] 1 xm yn c[m][n] max{c[m][n 1], c[m 1][n]} xm yn
什么情况不用这样绕迷宫呢？？？
m=0 或 n=0
Step2: 递归定义最优值
c[i][j]：子问题的(i,j)的最优值 Xi={x1,x2,…,xi}， Yj={y1,y2,…,yj} i=m,…,0 j=n,…,0
0 c[i ][ j ] c[i 1][ j 1] 1 max{c[i ][ j 1], c[i 1][ j ]} i 0或j 0 i, j 0; xi y j i, j 0; xi y j