一类高阶的差分方程解的稳定性
一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性
Ｇ ｏ ａ ａｙ ｔｔ ａｉｔ ｆ ａｓ ｆ ｉｈｏｄｒｒｔ ｎ ｌ ｉ ｅｅｃ ｕ ｔ ｎ ｌｂ ｌ ｓｍｐｏｉ ｓ ｂｌｙｏ ｃ ｓ ｏ ｇ －ｒｅ ａｉ ａ ｄｆ ｒｎｅ ｑ ａｉ ｃｔ ｉ ａｌ ｈ ｏ ｆ ｅ ｏ
ＨＵｏ ｉ ｅ ｇ，Ｍ Ｉ Ｈａ－ ｎ ｆ ＡＯ － ｎ ，ＺＨＡＮＧ ａ ｇ Ｌｉ ｍｉ ｇ Ｌｉｎ
— —
其他相关结果见文献［ ～５ ． ３ ］
１ 相关定义及 引理
定 义 ｌ 式 （ ） 任一 正 解 ｛ ） 为关 于 三 ２的 ｏ称 ； ｏ 最 终平 凡 的 ， 如果 ｛ ） 最终 等 于 ；； 否则被 称 为非
平凡 的．
ｘ ＿－ｋ ， ，
—
ｑａ －
（） １
Ｚ ｌ… ，Ｏ ０∞ ）ａ ０∞）Ｓ ｉ｛一ｍ，－ｋ． ｓ ， Ｘ ∈（， ，Ｅ［ ， ， ＋ ￣ｍ ｎ１ ｌ ｝
关键词 ：有理差分方程 ；解 的符号 ； 局渐近稳定性 全
中图 分 类 号 ： ７ ０１ ５ 文 献 标 识 码 ：Ａ
的局 近 定 ， ：ｋＺ五 全 渐 稳性 中 ， ＋ ， 武 ｍＥ ，
令
Ａ 一 ｛ ） － ｏ ｌ — ｏ ’ ｉ １ ２… ， 一 ， ， ｍ
显然 ， 每一 个 Ａ 是 式 （） ２ 的解序 列 ｛ ） ｏ 一 的模 ｍ ： ｏ 同余 类 ， ： 故
｛ ） ｌ ． ｛ ， ， ， ） ｏ 一 一 ＡｌＡ２… Ａ ： ｏ
基金项 目： 甘肃省 自然科学 基金 （ Ｚ ０ ２Ｂ ５ １ ） 甘肃 省教 ３Ｓ４－２－ ３ ， ０ 育厅基金（４ ６ －８ Ｏ １Ｂ Ｏ ）
ｚ ＂， ｒ — ， －ｚ ｌ－
令 一 则由 １得 而 ， 式（）
Ｘｎ 一
1差分方程稳定性
则 ① 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线 性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; ② 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线 性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根 时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |＜1 时, 平衡点x*是稳定的.
对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ) 其平衡点x*由代数方程 x = f (x) 解给出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近 似为一阶常系数线性差分方程
xn1 f ( x*)( xn x*) f ( x*),
当 | f ( x*) | 1 时,上述近似线性差分方程与原 非线性差分方程的稳定性相同. 因此 当 | f ( x*) | 1 时, x*是稳定的； 当 | f ( x*) | 1 时, x*是不稳定的.
若有常数a是差分方程(1)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1)的平衡点. 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠ 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当 |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
一类高阶有理差分方程的全局渐进稳定性
㈩
其 中 Ｆ — ｆ（ … １ 一２ … ， ｎｒ ， — ｇ（ ， 一 ２… ， 一 ， — ｈ ｘ 一１ 一２・ ，ｎＰ ， ｘ ， ， ， Ｘ －ｋ Ｇ ） ｘ一 １ ， ） Ｈ （ ｐ， ，・ Ｘ －１ ）
∈ Ｃ（ Ｏ，。） （ 。 ） ｇ ∈ Ｃ（ Ｏ，。）， Ｏ， 。 ） ｈ∈ Ｃ（ Ｏ 。 ） ， Ｏ 。 ） ， Ｚ ｉ∈ ｛ ， ３ … ｝ ０≤ ｒ ≤ （ 。 ， Ｏ，。） ， （ 。 （ 。 ） ， （ ， 。 （ ， 。 ） ｋ， ， １ ２， ， ， ，
．
一
吉 一
＃等 一 ＋ ＋ ＋ ６ ＋ ６ ｎ ６ １ ＋ 易 ｎ ＋
ｎ ＋ ｎ ＋ ６ ＋ ｃ ＋ ｃ ＋
若 ｎ≥ １ ６＜ １ ｃ １ 则有 ｎ— ｎ ６一 ， ，＜ ， ， ， ． （ ）可得 ≥ １ 故 ｃ一 由 ２ ，
收 稿 日期 ： ０ ７ ０ — ３ ２ ０— ７２
Ｖ０＿ Ｎｏ １ ｌ７ ．
Ｍ ａ ． ２０ ｒ ０８
２０ ０ ８年 ３月
一
类高阶有理差分方程 的全局渐进稳定性
牛 文 英 王 小梅 闰卫 平
（ 山西 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
［ 要 ］ 对 一 类 高 阶 有 理 差 分 方 程 的 唯 一 正 解 及 其 全 局 渐 进 稳 定 的 充 分 条 件 进 行 了研 究 ， 摘 并
盘 ｃ ＋ 盘 ＋ ｂ － ｂ Ｉ ｌ －ｃ ａ ． Ｃ － ＋ １ ｂ ２ ｌ －ａ Ｉ Ｃ ｌ －ｂ
１
。ｂ
１
。Ｃ
同 ，ａ， 足余 种 形 ， 得 ｝昙十 理当， 满 其 四情 时也 ＝ ６ ｃ 可 去 ＿
差分方程模型的稳定性分析分析解析
学校代码107221306052104分类号0175.1密级公开. 差分方程模型的稳定性分析 ..... Stability analysis of difference equation model作者姓名 党臭燕 专业名称一…数学与应用数学学科门类 指导教师提交论文日期 成绩评定 ___________________________________ 题目仲、英 ___ 理学 _____王振华二零一六年六月摘要微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。
它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。
而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。
而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。
本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性AbstractDifference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation.Key words: Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability目录摘要 (1)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1、差分方程的定义及其分类 (1)（1）差分算子： (1)2. 差分方程的求解与稳定性判断方法: (2)（1）差分方程的求解： (2)（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法： (4)3. 差分方程模型的应用： (4)3.1 模型：种群模型 (4)3．11 模型的引入与假设 (4)3．12线性差分方程模型的建立与求解 (5)3．13生态模型的平衡点及稳定性分析: (7)总结 (10)参考文献 (11)附录 (12)谢辞 (13)咸阳师范学院2016届本科毕业设计(论文)引言随着科学技术的不断发展，将数学思想融入实际生活解决社会问题变得非常普遍。
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
一类高阶时滞差分方程的有界持久性与全局渐近稳定性
（） ２
初值 一 一 ＋ 一， ｌ 为 任 意正 数 ． ， — ， ０
方 程 （ ）ｋ＝ １ 的特 殊情 况 已被 文 献广 泛地 研究 过 ． 例 如 ， ［ ， ］ 到 了当 Ａ ， ｌ １ 时 文 １２ 得 ０Ａ ∈ （ ， ， ０ｐ ∈ （ ，） ， 程 （ ） ０ ∞） ｐ ， ｌ ０ １ 时 方 １ 的正 平衡 点 是其 一切 正解 的 全局 吸 引子 ； ［ ］ 文 ２ 还证 明 了 ｐ ０
文献标识码 ： Ａ
中 图分 类 号 ： Ｏ１５７ ７ ．
引
言
考虑 下 列 高 阶时滞 差 分方 程
Ｘ＋ ｎｌ 其 中
Ａｏ
：
＋
＋… ＋ “＋
（ ： ０ ｌ２ … ） ｎ ＇，， Ｊ ’ ， ’
… （） １
Ａ ，‘ ［ ， ， ｉＰ ∈ ０ ∞）
（ ｉ＝０ １ ２ … ｋ ｋ∈ （ ， ， ） ， ，，， ； １２ … ）
＝ｐ ｌ＝ １ 方程 （ ） 时 １ 的正 平衡 点 是全 局 渐 近稳定 的 ． 对 Ａ ， ∈ （ ， ， ０＝２ ｐ ＝ １ ２ ０ Ａｌ ｏ ∞） ｐ ， ｌ ／ 时
的一 些 结果 及公 开 问题 ， 可见 文 ［ ，］当 ｐ ３４ ； ｌ＝０时 的一 些结 果 ． 文 ［ ，］ 见 ５６ ．
文 章 编 号 ：ＯＯＯ ８ （ｏ２ １－１８ｏ ｌＯ －８７ ２ｏ ）１１８ －７
一
类 高 阶 时滞 差分 方 程 的有 界 持 久 性
与全局 渐近稳定性 。
李 先 义
（ ． 华 大 学 数 理 部 ， 南衡 阳 ４ １０ ； ． 东 师 范 大 学 数 学 系 ， 海 ２０６ ） １南 湖 ２０ １ ２ 华 上 ０ ０２
关于高阶时滞差分方程的稳定性研究
ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ
ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｆｏｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｅｌａｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；
ｚｒＩ＋１＝—＋Ｂ—４ｘ．－４＋Ｘｎ一七一４＇ｎ＝
及线性方程
‰＋１：—丝垒二４＿＋Ｃｘｎ一七一４，ｎ：０，１，２，．．． Ａ）１．３．１（【Ｌ
，ｌ＇ｚ，…
・上Ｊ
％＋５一ａｘ竹＋ｂｘ。一ｋ＝０，ｎ＝０，１，２，… 的稳定性．其中角，Ｂ４，Ａ，ａ及６为常数，ｋ＞１正整数，得到如下结果．
（１．３．２）
定理１．３．１方程（１．３．２）零解渐近稳定，当且仅当下列条件之一成立： （ａ）ｋ三Ｏ（ｍｏｄ
七兰２（ｍｏｄ ３），０＜Ｄ＜１，口一１＜ｂ＜ｂ（ａ，≯１）；－１＜ａ＜０，一口一ｌ＜（－ｔ）七＋１ｂ＜ ｂ（ａ，≯１），
其中≯，是堕呈ｓ业ｉｎ业ｋＯ＝ｌｏＩ在（翳等，孥）内的解．
一２一
第ｌ章
综述
有理差分方程稳定性研究见文【２７一删．
１．３文章主要内容及结果
第１章综述我们主要介绍了本课题研究背景及国内外发展状况． 第２章我们给出本文所用到的基本概念以及基本引理． 在第３章中我们研究一类有理型时滞差分方程
曲
ｂｉｏｗ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｒａｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒ－
一类高阶线性差分方程的全局稳定性
文章编号 １ ０ ０ ４ ． ６ ４ １ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ． ０ ０ ３ ２ ． ０ ４
一
类高 阶线性差分方程 的全局稳定性
王 琦 ， 张更容 ， 韩 松 ， 李乃 雄
（ １ ． 广 西 科 技 大 学 理学 院 ，广西 柳 州 ５ ４ ５ ０ ０ ６ ；２ ． 广 西 大 学 数 学 与 信 息科 学学 院 ， 广西 南宁 ５ ３ ０ ０ ０ ４ ）
第２ ４卷 第 ２期 ２ ０ １ ３年 ６月
广 西 科 技 大 学 学 报
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ ＧＵＡＮ ＧＸＩ ＵＮＩ ＶＥ ＲＳ ｎＹ ＯＦ Ｓ Ｃ Ｉ ＥＮ ＣＥ ＡＮＤ Ｔ Ｅ ＣＨＮ０Ｌ ０ ＧＹ
Ｖｏ １ ． ２ ４ Ｎｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ｅ ２ ０ １ ３
问题 ．
关键 词 ： 线性差分方程 ； 收敛 ； 有 界 性 中 圈分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ 文献 标 志 码 ： Ａ
０ 引 言
离 散 系统 理 论 在 经济 学 、 自动 控 制 工 程 、 通讯 、 雷达技术 、 生 物 医学 工 程 、 图像 技 术 、 电动 力 学 系 统 及 核 物 理 学 等 学 科 已发 挥 了 巨大 作 用 ， 随之 而来 的是 人 们 对 差 分 方程 理论 的 需 求 ． 而差 分 方 程 模 型 是 应 用 广 泛 的一 类 离 散 数 学 模 型 ， 它在生态学 、 生理学 、 物 理学 、 工程学 、 自动 控 制 与 设 计 、 数 值计 算 及 经 济 学 研 究
其中ｋ ＝ ７ ， ａ ＝ Ｏ ． ４ ， ａ ｌ ＝ ａ ２ ＝ ａ ４ ＝ ａ ￣ ＝ ａ ６ ＝ ０ ， 锄 ０ ． ３ ， ａ Ｔ ＝ ０ ． ５ ．
差分方程稳定性PPT课件
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且 仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定
性
SUCCESS
THANK YOU
2020/9/29
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk
1差分方程稳定性
差分方程的稳定性
xk1 f (xk ) 称为一阶差分方程
xk2 f (xk1, xk )称为二阶差分方程
f为线性函数时，称为线性差分方程
一般的非线性方程，可以线性化近
似解决。
最简单的一阶线性方程
平衡点为
xk 1 axk b
x* b 1 a
如果Xk→X*,则x*成为稳定的平衡点
xk1 axk b,可以做变换
yx b 1 a
化为齐次方程 yk1 ayk 0,
平衡点为 y* 0
所以yk1 (a)k y1 | a | 1 系统稳定
x(k 1) Ax(k) 0, x(k)是n维向量 稳定的充要条件：
A的特征值全小于 1
即 | i | 1
xk1 f (xk ) f (x*) f (x*)(xk x*) xk1 x* f (x*)(xk x*)， 记yk xk x *，则yk1 f (x*) yk 0 x *稳定 | f (x*) | 1
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 (1)的近似线性方程 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 稳定性判断 x*也是(2)的平衡点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二阶时，xk2 a1xk1 a2 xk b 也可以化为齐次方程
若特征方程2 a1 a2 0 两个根为1，2，则xk c11k c2k2 稳定 | 1 | 1，| 2 | 1
一般一阶差分方程 xk1 f (xk ) 平衡点 x* f (x*)
差分方程稳定性
（10）
二阶方程的上述结果可以找到n阶线 形方程，即稳定平衡的条件是特征 方程—— n 次代数方程的根 λ i ( i = 1, 2 ,..., n ) 均有 | λ i |< 1 考虑到高阶方程和方程组的相互转化， 这个条件与（5）、（6）给出的结论是 一致的。
最后讨论一阶非线形差分方程
容易看出，可以用变量代换方法将方程 （1）的平衡点的稳定性问题转换为：
x k +1 + ax k = 0
（2）
的平衡点 x * = 0的稳定性问题。
而对于方程（2），因为其解显然可表为
x k = ( a ) k x 0 , k = 1, 2 ,...
所以立即可知当且仅当
（3）
| a |< 1
（4）
时方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点） 才是稳定的
顺便指出， 顺便指出，
对于 n 维向量 x ( k ) 和 n × n 常数 矩陈 A 构成的方程组
x(k + 1) + Ax(k ) = 0
λi , (i = 1,2,..., n )均有
（5）
其平衡点稳定的< 1
（12）
（12）是（11）的近似线形方程
x*也是（ ）的平衡点。 12
关于线形方程（12）的稳定平衡点 的讨论已由（1）——（4）给出
而当 | f / ( x * ) |≠ 1时方程（11）与（12） 平衡点的稳定性相同， 于是得到当
（13） x 时，对于非线形方程（11）， * 是稳定的；
| f / ( x * ) |< 1
差分方程的稳定性
本节主要是介绍差分方程稳定性的知识 差分方程的平衡点及其稳定性的慨念与微分方程 的有关概念是一致的 ，例如一阶线形常系数差 分方程： （1） x k +1 + ax k = b , k = 0 ,1,... 的平衡点由 解得：
差分方程的相容性收敛性和稳定性课件
相容性的判定方法
通过分析差分方程的形式和系数，可以判断其是否具有相容 性。
判断差分方程是否具有相容性的方法通常包括检查该方程是 否满足一定的数学性质，例如，是否具有一致的形式和系数 。此外，还可以通过求解该差分方程的初始值问题来验证其 相容性。
近似解。
有限元法的优势
有限元法能够处理复杂的几何形 状和边界条件，且能够处理非线 性问题，因此在工程领域应用广
泛。
06
差分方程的实际应用案例
在物理中的应用
1 2
量子力学
差分方程在量子力学中用于描述粒子在势能场中 的行为，例如在求解薛定谔方程时，差分法是一 种常用的数值解法。
热传导方程
在求解一维或二维的热传导方程时，可以使用差 分法将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
3
波动方程
在处理波动问题时，如声波、电磁波等，差分法 可以用来模拟波的传播和干涉现象。
在金融中的应用
股票价格模型
差分方程可以用于描述股 票价格的变动规律，例如 著名的几何布朗运动模型 就是一种差分方程。
期货价格模型
在期货定价理论中，差分 方程被用来描述未来价格 的变化趋势，为投资者提 供决策依据。
图形法
通过绘制差分方程的解的 图像，观察其随时间的演 化趋势。
比较法
通过比较差分方程与已知 稳定或不稳定方程的性质 ，判断其稳定性。
稳定性的应用
控制工程
稳定性是控制系统的重要性能指 标，决定了系统的动态行为。
差分方程的稳定性
Ｙ （ ｋ＋１ ） ＝Ｇ （ ｋ ， Ｙ （ Ｉ ｊ ｝ ）＋ （ ）
一
Ｇ （ ｋ ， （ ｋ ） ）垒 Ｆ （ ｋ ， Ｙ （ ｋ ） ） Ｙ （ ｋ＋１ ） ＝Ｆ（ ｋ ， Ｙ （ ｋ ） ） （ ２ ）
所以方程组（ １ ）的解 （ ｋ ） 的稳定性等价于
零 解 的稳 定性．
ｌ ， （ ｋ ） ＝Ｘ（ ｋ ）一 （ ｋ ） 则方 程组 （ １ ）就化 为
要 条件是 ｒ （ Ａ）≤ １ ， 且 Ｉ Ａ Ｉ ＝１ 的特征 根只对 应
简 单 的初 等 因子． 定理 ３ 若ｒ （ Ａ ） ＞１ ， 则 差分 方程组 （ ４ ） 的 零解 是不稳 定 的．
Ｙ （ ｋ＋１ ） ＝厂 （ Ｙ （ 后 ） ）
定理 ６ ：
６ 。：
（ ６ ）
其中 则还有如下
ｃ。 ＝
ｌ ａ 口 ｏ ａ 口 。 ｎ ｌ ， ６ 。 ＝ ｌ １ 。 ７ ， ０ ｝ ， … ， ａ ０ Ｉ ｌ ６ ： ： 。 ： ｌ ， ｃ ＝ Ｉ ： 。 ｌ ， … ，
考虑常系数线性差分方程组
Ｉ ， （ ｋ＋１ ）＝Ａ ｔ （ ｋ ） 其 中 是 Ｘ ｎ阶 常数矩 阵． （ ４ ）
（ ｋ ）＝ｆ
．
Ｉ ，
ｒ ｇ 。 （ 后 ， （ 后 ） ， …， （ 后 ） ） ］
Ｌ ｘ （ 后 ） ｊ
Ｇ （ ｋ ， Ｘ （ ｋ ） ）＝Ｉ
１ ｒ （ Ａ） ＜ １时 ， 方程组 （ ５ ）的零 解 渐 近 稳
定； ２ ｒ （ Ａ ） ＝１ 时， 且对 应矩 阵 Ａ的模为 １ 的特
征根 只有 简单 的初 等 因子 时 ， 方程组 （ ５ ） 的零 解 是
稳定 的．
2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
u t
n j
t
1 2
2u t 2
n j
t 2
1 6
3u t 3
n j
t 3
(t 4
)
un j 1
u
n j
u x
n
j
x
1 2
2u x2
n
j
x2
1 6
3u x3
u unj
是离散化误差，而
r
u
n j
u
n j
就是舍入误差。根据
收敛性条件，当
lim
t 0
e
n j
0，差分方程收敛于微分方程。而
r
数学
x0
性质讨论，就属于稳定性所要讨论的范围。由此可知，稳定性是讨
论在计算过程中，某一时刻，某一点产生计算误差，随着计算时间
增加，这个误差是否能被抑制的问题。
粗看起来，差分方程相容性要求时，差分方程逼近于微分 方程，似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确 解。事实上，当我们在证明相容性时，已经假定了差分 方程数值解就是微分方程精确解，在对微分方程进行展 开时，截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此， 差分方程相容性并不能保证其收敛性。
(3) 差分方程同样也有两种不同形式的收敛性：有条件收敛 和无条件收敛。
e0j
O(x, t)
(d)
在t=0时，差分方程的初始条件应该是完全准确的，即：
u
0 j
(x j
),e0j
u0
u0j
一类线性差分微分方程解的稳定性
一类线性差分微分方程解的稳定性
李红玉
【期刊名称】《天津工业大学学报》
【年(卷),期】2004(023)002
【摘要】运用Lyapunov第二方法,通过构造特定的Lyapunov泛函,证明了一类具有限变时滞的线性差分微分方程解的一致渐近稳定性.
【总页数】3页(P84-86)
【作者】李红玉
【作者单位】天津工业大学,理学院,天津,300160
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.一类含两个非线性项的三阶拟线性微分方程解的稳定性 [J], 阎承梓
2.一类非线性微分差分方程解的振动性线性化 [J], 朴大雄;闫卫平
3.一类非线性微分—差分方程解的殆指数渐近稳定性 [J], 周明儒; 张宝善
4.一类非线性微分差分方程解的存在唯一性与振动性 [J], 朴大雄
5.一类非线性复微分差分方程解的不存在性 [J], 林书情;陈俊凡
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差分方法稳定性介绍
03
多尺度问题的求解
多尺度问题广泛存在于科学和工程领 域，对差分方法的稳定性提出更高要 求。未来研究中，将更加注重多尺度 问题的求解方法和技术研究。
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差分方法稳定性介绍
• 引言 • 差分方法的基本原理 • 差分方法的稳定性分析 • 差分方法的误差分析 • 提高差分方法稳定性的措施 • 差分方法稳定性的应用案例 • 总结与展望
01
引言
差分方法的概念
差分方法
差分方法是一种数值计算方法，用于求解微分方程的近似解。它通过构造差分 格式来逼近微分方程的导数，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
差分方法的稳定性分析
稳定性定义
数值稳定性
差分方法在数值计算过程中，对于初 始条件和边界条件的小扰动，解的变 化能够保持有界，即不会因计算步数 的增加而无限放大。
渐近稳定性
当计算步数趋于无穷时，差分方法的 解能够收敛到真实解，即误差能够逐 渐减小并趋于零。
稳定性判据
要点一
Lax-Richtmyer稳定性判据
对于线性偏微分方程，如果差分格式能够保持离散能量不 增长，则该格式是稳定的。该判据提供了判断差分格式稳 定性的一个充分条件。
要点二
Courant-Friedrichs-Lewy （CFL…
对于显式差分格式，为了保证计算的稳定性，时间步长与 空间步长之间需要满足一定的关系，即CFL条件。该条件 给出了时间步长的上限。
边界条件的处理
Dirichlet边界条件
直接给出边界上的函数值，处理简单。
Neumann边界条件
给出边界上的法向导数值，需要通过差分 近似进行处理。
Robin边界条件
周期边界条件
一类高阶线性微分方程的算子解法及其解的稳定性
一
， 文利 用 这 一思 想讨 论 ｎ阶线 性 微 分方 程算 子 的 本
般的， 若有 ｎ个 函数 （ （ ） ｉ＝１ ２ ）满足所 要求 的可 微次数 并连 续 ， 入记 号． ， …ｎ 引
ｐ（）＝ ： ｌ ｐ一 “＝∑ （）
ｌ １
ｎ一１
Ｐ（） ｐ ”＝∑ （ （） ｐ（） ＋ ｐ（） ｐ（） ＝： （） 一 ） （？ 一 ） ｐ ｉ
且 （ ）≤ ０， 方 程 （ ） 则 ３ 的解是 稳定 的． （ ） （ ＜０或 （ ３ ） ）一Ｏ （ ｔ ）＞０至少 有一个 成立 ， 方程 （ ） 则 ３ 的解不 稳定 ． 特别地 ， 在方 程 （ ） ３ 中 性依 据． 若 令 ）：
依据公 式 （ ） 算 出 ： １计 Ｐ （ ，２ ） ） ） Ｐ （ …Ｐ （ 从而公 式 （ ） 如下 形式 的分 解式 ． ２有 Ｄ ＋Ｐ （ 一 ｌ ） ＋尸 （ Ｄ 一 … ＋Ｐ 一（ Ｄ ＋Ｐ （ ２ ） ＋ ｌ ） ）
叫 】 ）
叫 ］ ）
［＋ ㈩ ＿ｎ Ｄ （
［ ＋Ｋ Ｇ ）一Ｆ（ ］ Ｄ （ ）
从 而方程
【 Ｇ ＿ｎ 。 ㈤ （
…
叫 圳【＋２ｘ ｎ ２ 。 Ｋ（ Ｇ ＿）
一 ） ＋Ｋ ）一 ） ｒ＝， ） Ｊ （
叫 ］ ）
文 献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ５ ８ ３ （ ０ ０ （ －０ ４ ０ １ ０ —０ ６ ２ １ ） ｌ ５ － 】０ ３
关 键 词 ： 高 阶线 性 微 分 方 程 ； 分 算 子 ； 定 性 微 稳
中图 分 类 号 ： １ ５ ０ ７
用微 分算 子可研 究 四阶线性 微分 方程分解
ｌ １
差分分方程稳定性
考虑到高阶方程和方程组的相互转化，这个条件与(5)(6)给 出的结论一致。
一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性
考察
x k 1 f ( x k ), k 0,1, (1 1)
的平衡点
（ 11） 近 似 为
x ( x 由 x f ( x ) 解 出 ) 的稳定性。
* *
*
为 此 ， （1 1） 的 右 端 在 x 点 作 T a ylo r 展 开 ， 只 取 一 次 项 ，
若 lim x k x ,
* k
则称平衡点 x 是稳定的（渐进稳定);否则称
*
x 是不稳定的（不渐进稳定）。
*
(1)的平衡点的稳定性可转化为
x k 1 a x k 0, k 0,1, (2)
(2)的平衡点 ( x * = 0 ) 的稳定性问题。
方程(2)的解为
xk ( a ) x0 ,
A的 特 征 根 i ( i 1, 2, , n ) 均 有
(6 )
即均在复平面的单位圆内。这个结果可将A转化为对角阵得到。
机动
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二阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定性
考察
x k 2 a1 x k 1 a 2 x k 0,
*
k 0,1,
(7 )
* f ( x ) 1
(1 3)
时，对于非线性方程(11) x * 是稳定的。当
* f ( x ) 1
(1 4 )
*
时，对于非线性方程(11) x 是不稳定的。
机动
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结束
k
k 1, 2,
一类高阶非线性微分方程解的稳定性
一类高阶非线性微分方程解的稳定性
近些年来，研究高阶非线性微分方程解的稳定性受到了许多研究者的关注。
随着科学技术发展，研究高阶非线性微分方程解稳定性问题具有重要的现实意义和深远的理论意义。
高阶非线性微分方程的解的稳定性是指当初始条件满足一定的内在性质时，解和原方程微分方程只有轻微的细微变化后仍然存在的性质。
研究高阶非线性微分方程的稳定性的结论有：
1.如果方程的正则部分满足一定的性质，则解在特定区域内仍然是稳定的；
2.当参数满足一定的性质时，解也可能是稳定的。
因此，研究高阶非线性微分方程解的稳定性是非常必要的，有助于丰富数学理论，证明方程存在唯一性、稳定性，并为具体解决问题提供参考。
同时，研究高阶非线性微分方程解的稳定性有助于发展它们的计算机应用程序，此外，还可以提供对微分方程的实际应用的理论依据，可以更好地了解和解释微分方程的现象。
总之，研究高阶非线性微分方程解的稳定性是非常重要的，它有助于发展它们在应用程序中的使用，有助于解释微分方程的实际现象，也有助于发展微分方程的理论。
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并且 当 ｋ 偶 为
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第３ ７卷 第 ３期
２ １ ０ １年 ９月
文 章 编 号 ：１ ０ — ３ ３ ２ １ ） ３０ ０ ７ ０ ４４ ５ （ ０ １ ０ — ２ １ ０
一
类 高 阶 的 差 分 方 程 解 的 稳 定 性
葛 琦 ， 侯 成 敏
（延 边 大 学 理 学 院 数 学 系 ，吉林 延 吉 １ ３ ０ ３ ０ ２）
／ ｎ ｔ ｎ ： ： ｃｉ ｓｈ ｕ ｏ ， 一 ）一 ＋ Ｈ ， ０ ＋ ｏ）ｓ ｃ ｈ ｔｈ （ ）一 ｕ ｈｔ ａ
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作者 研究 了差 分方 程 一 其 中 是∈ ， ｎ— ｋ 志 １ 。 ＋ ，… ，厂 Ｌ ｇ是 ［ ， － 。 上 非 负 ０ ｑ。 ）
收 稿 日期 ：２ １ — ４ ３ ０ １ ０ —１
作 者 简 介 ：葛 琦 （ ９ ３ ） 女 ， 教 授 ， 究 方 向 为泛 函 分 析 ． １７一 副 研
关 键 词 ：差 分 方 程 ；收 敛性 ；稳 定 性
［
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５ ８
文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｓ ａ ｉｉｙ Ｐｒ ｐ ｒ ｉ ｓ ｏ ａ ｓ ｏ ｉ ｈ ｒ ｔ ｂ ｌｔ ｏ ｅ ｔｅ ｆ ａ Ｃｌ ｓ ｆ Ｈ ｇ ｅ Ｏｒ ｅ ｆ ｅ ｅ ｃ ｕ ｔｏ ｄ ｒ Ｄｉ ｆ ｒ ｎ ｅ Ｅｑ ａ ｉ ｎｓ
（ ｚ
Ｋｅ ｒ ｓ ｉ ｅ ｅ ｃ ｑ ａ ｉ ｎ ；ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｔ ｂｌ ｙ ｙ ｗｏ ｄ ：ｄ ｆ ｒ ｎ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｌ ａ ；ｓａ ｉ ｔ ｆ ｏ ｎ ｉ
０ 引 言
在文 献 ［ ］ ，Ｋａ ｋ ｗ 证 明 了 差 分 方 程 ，．一 １ 中 ｌｏ ｉ ， ＿ ” ∈ Ｚ 在 初 始 条 件 （ 。，７ ∈ ３ ）
摘要 ： 研究 了非 线 性差 分 方程 Ｘ — Ｆ ｎ
１十
Ｘｋ ｎ ＿
（ ， ＋ １ …） 其 中 ∈ ｛，， ， 是 ｎ一 ｋ ， ， ２３ …｝
＋ １ Ｊ ’’ ～ …
，
八 ｚ ＋】 ｇ Ｌ
…
０ ～
［ ， Ｃ ） 连 续 非 负 递 增 函数 ． 明 了方 程 在 初 始条 件 （ ， … ，ｋ ） 磷 下 的解 是 稳 定 的 Ｏ＋ ｏ 上 证 － ， Ｘ ∈ ７ ２ 数 时 ， 敛 到 （。口 ， ， ） 收 “， … ＆ 的解 的初 始 点 的集 合 是 形 如 （。ｙ “， ， ）∈ ［。 ＋ 。 ） ｒ “， 。 × ａ
，
Ａ ｓ ‘ｈ ｔ ｔ Ｗ ｅ ｓ ｕｄ ｅ ｔ ｓ ａ ｌｔ ｏｆ ｔ ｓ ｕ ｉ ： ｔ ｉ ｄ ｈｅ ｔ ｂｉｉｙ ｈｅ ｏｌ ｔｏｎ
。 ｔ ｎｏ ｉ ｅ ｒ ｄｉｆ ｒ ｎｃ ｅ ｆ ｈｅ ｎｌｎ ａ ｆｅ ｅ ｅ ｑ
ｕ ｉ ｎｓ ａｔ。
． ． ． ．
。， ｚ ）∈
［， ∞］ ０＋ 较小 的扰 动下 的正 解是 稳定 的 ， 指 出 收 敛 于第 一象 限 内任 意 有 界解 的初 始 点 （ 并
，
［ ， 。］ ０ ＋ 。 的集合 构成 了唯一 连续递 增 函数 ｈ： ０ ＋ Ｃ ）一 ［ ＋ ｏ ） 使 ＾ 。 ． 文献 ［ ］中 ， ［， × ３ ｏ ３ ， （ ）一 在 ２
， ， ， ） ［ 。 ＋ ∞ ） ［ １ ｌ … ＾１ ∈ “ ， × “， ＋ 。 ） … × ［ １ ＋ ∞ ）（ ≥ ０ ： ０ １ … ， 。 × 口一 ， ｎ ，ｉ ， ， ｋ— １ ， ｒ。 ｅ ｘｓ ｓ ｍｅｕ ｉｕ 。 ｔ ｕ ｕ ｃｅ ｓ ｇ ） ｍ。 ｅ ｖ ｒｅ ｉｔ 。 ｎｑ ｅｃ ｎ ｉ 。 ｓｉ ｒａ ｉ ｎ ｎ ｎ
，
基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ １６ ０ ９ ； 边 大 学 科 研 项 目 （ 大科 合 字 ［ ｏ ｏ第 。 ４ ） １１１４）延 延 ２１］ ０号
２２ ０
延边 大学学报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ７卷
连续 递 增 函数 ． 明了该 方程 在初 始 条件 （ ， 一， 证 。ｚ ｚ ）∈ Ｒ 下 的解是 稳定 的 ， 且 当 ｋ为奇数 时收 并 敛 到 （ 。ａ ， ， “ ， … ａ ）的解 的初 始点 的集 合是 形如 （ ０ｙ “， ｙ ， ｙ ）∈ ［ 。 ＋ 。 ） ［ ＋ ｏ ） … × ［ ｎ ， 。 × “， ｏ × ｎ，
பைடு நூலகம்
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