高阶差分方程
高阶差分方程
• 第一种情况（不同的实根）：当a12＞4a2时， b1和b2为不同的实根。在这种情况下，b1t 和b2t线性无关，余函数可以简单地写成b1t 和b2t的线性组合，即yc=A1b1t+A2b2t。
2013-7-25
经济管理学院财务与投资系 刘亚娟
2013-7-25 经济管理学院财务与投资系 刘亚娟 2
• 因此，yt的二阶差分可以转换为包含两期时滞的 项的和。因为像Δ2yt和Δyt这样的表达式写起来很 麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含 变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方程 为包含三期时滞的方程；等等。 • 我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再 在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控 制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性 差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作 考察。
• 所以，yc A1 (1) A2 (5) A1 A2 (5) • 因此，方程的通解为
t t t
y A A (5) 3t
c 1 2
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t
• (3)该方程的特别积分为： y
p
8 2 2 4t 2t
• 该方程的特征方程为：b2-2b+1=0，所以特 征根为： b 2 4 4 1 2 1 b
1 1 2 1 2
1
1
• 联立方程求解A1＝5和A2=3，最后把它代入 通解中可得特解：
y 5 (2) 3(8) 2
t
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t
t
• （2）该方程的特别积分为：
差分方程的阶数
差分方程的阶数差分方程的阶数一、引言差分方程是离散时间系统的重要数学模型，它可以描述许多实际问题，如物理、工程、经济等领域中的动态过程。
在差分方程中，阶数是一个重要的概念，它决定了方程解的形式和求解方法。
本文将从阶数的定义、求解方法和应用等方面进行详细介绍。
二、阶数的定义1. 一阶差分方程一阶差分方程是指未知函数只含有一次时间导数的差分方程，即形如：y(n+1) = f(n, y(n))其中n表示时间步长，y(n)表示未知函数在第n个时间步长处的取值，f(n, y(n))表示已知函数关系。
由于该方程只含有一次时间导数，因此称为一阶差分方程。
2. 二阶差分方程二阶差分方程是指未知函数含有二次时间导数的差分方程，即形如：y(n+2) = f(n, y(n), y'(n), y''(n))其中y'(n)和y''(n)分别表示未知函数在第n个时间步长处的一次和二次时间导数。
由于该方程含有二次时间导数，因此称为二阶差分方程。
3. 高阶差分方程高阶差分方程是指未知函数含有高次时间导数的差分方程，即形如：y(n+k) = f(n, y(n), y'(n), ..., y^(k-1)(n))其中k为正整数，y^(k-1)(n)表示未知函数在第n个时间步长处的(k-1)次时间导数。
由于该方程含有高次时间导数，因此称为高阶差分方程。
三、求解方法1. 一阶差分方程对于一阶差分方程y(n+1) = f(n, y(n))，可以采用欧拉公式或泰勒公式进行逼近求解。
具体来说，可以将y(n+1)和y(n)在第n个时间步长处展开成泰勒级数：y(n+1) = y(n) + h*y'(n) + O(h^2)其中h表示时间步长。
将上式代入一阶差分方程中得到：y(n+1) = y(n) + h*f(n, y(n)) + O(h^2)将O(h^2)忽略不计，则得到欧拉逼近公式：y(n+1) ≈ y(n) + h*f(n, y(n))该公式可以用于迭代求解一阶差分方程的近似解。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
第三讲 ARMA模型
3
2
1 55 60 65 70 75 80 85 90 95
12
（1）数据量不大时，如70或80数据，取M=[n/4]。 （2）数据量较大时，如300个数据，可取M=[n/10]。 （3）数据量很大时，如成千上万，可取M=根号n 此例有45个数据，最大滞后期取12即可。可得相关图如下：
从偏自相关函数来看，相邻两项的相关性很强（指的是滞后一期）。 13 而自相关函数则不同。
35
以下是常见的AR和MA模型的ACF和PACF的表现形式：
图 9.2.2 ACF 模型 1： ARMA(p,q)模型的 ACF 与 PACF 理论模式 PACF
X t 0.7 X t 1 t
0.8
0.8
ACF1
0.6
0.6
PACF 1
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
20
注意：用自相关研究时间序列季节性时，得先消除趋势性。 对于季节性，也可采用差分，此时叫季节差分。 对于季度数据，就用genr sy=y-y(-4)，对月度数据，就用genr iy=yy(-12) 第三，对逐期差分后的数据iy再做一阶季节差分 输入：genr sy=iy-iy(-4)， SY 先看sy的图形： 400
)2
2 = 1- 2
可见，只要|α|<1，则yt方差保持恒定不变。
25
为了对AR(1)的均值和方差有更感性的认识，可模拟 AR(1)数据生成过程，使用的AR(1)过程为
yt 1 0.5 yt t , t ~N (0, 2 ), 2 =0.5
分别生成两组观测值，容量n=30和n=1000，二序列 （模拟图如下）均值和方差分别为：
差分公式和迭代基本原理
差分公式和迭代基本原理
差分公式是一种数学工具，用于计算函数或序列中相邻元素之间的差异。
它基于迭代基本原理，通过对相邻元素之差进行迭代计算，得出一系列差异值。
差分公式主要分为一阶差分和高阶差分两种。
一阶差分公式：
对于一个函数或序列 f(n)，一阶差分公式可以表示为：Δf(n) = f(n+1) - f(n)。
通过该公式，我们可以得到函数或序列相邻元素的差异值，即一阶差分。
高阶差分公式：
对于一个函数或序列 f(n)，高阶差分公式可以表示为：Δ^kf(n) = Δ(Δ^(k-1)f(n))。
其中，k为差分的阶数。
通过该公式，我们可以得到函数或序列相邻元素的差异值的差异值，即高阶差分。
迭代基本原理指的是通过不断地迭代使用差分公式，从已知的初始值开始，逐步计算出更多的差异值。
具体的迭代过程可以通过以下步骤描述：
1. 给定初始值 f(0)，设置迭代起始点。
2. 根据差分公式，计算相邻元素的差异值Δf(n)。
3. 根据计算得到的差异值，更新函数或序列的值：f(n+1) = f(n) + Δf(n)。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，不断迭代计算下一个差异值和更新函
数或序列的值。
5. 按需求终止迭代，得到所需的差分结果。
通过迭代基本原理和差分公式，我们可以在数学和计算领域中进行各种差分运算，如差分方程的求解、差分逼近等。
差分公式和迭代基本原理在数字信号处理、数值计算等领域有广泛应用。
《高阶差分方程式》课件
04
高阶差分方程式的应用实例
金融领域的应用实例
股票价格预测
高阶差分方程式可以用于描述股 票价格的动态变化，通过历史数 据来预测未来的股票价格走势。
风险评估
在金融领域，高阶差分方程式可 以用于评估投资组合的风险，通 过分析资产价格的变动规律来预 测未来的市场波动。
期货价格建模
在期货市场中，高阶差分方程式 可以用于建立期货价格模型，以 预测未来期货价格的变化趋势。
数值分析法求解高阶差分方程式
数值分析法是一种基于数值计算的方法，通过将高阶差分方程式转化为数值求解问题，利用数值计算的方法得到近似解。常 用的数值分析法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析法的优点是适用范围广，可以求解各种类型的高阶差分方程式。然而，数值分析法的精度和稳定性取决于所选择的 数值方法和计算步长，需要进行合理的选择和控制。
解释
高阶差分方程式在数学、物理、工程等领域有广泛应用，用于描述各种动态系统的行为。
高阶差分方程式的形式
线性形式
如果差分方程中不含有 (y) 的非线性项，则称为 线性差分方程。例如：(y_{n+1} - 2y_n + y_{n1} = 0)。
非线性形式
如果差分方程中含有 (y) 的非线性项，则称为非 线性差分方程。例如：(y_{n+1}^2 - y_n^2 = 0) 。
物理学中的应用
高阶差分方程式在物理学中的波动方程、热传导方程等领域有广泛应用，为解决实际问 题提供了有效工具。
工程学中的应用
在工程学中，高阶差分方程式被用于描述信号处理、图像处理等领域的问题，推动了相 关领域的科技进步。
高阶差分方程式未来的研究方向
01
高效算法研究
求解差分方程的通解
求解差分方程的通解差分方程是微分方程的一种离散形式，是一种常见的数学模型。
在实际问题的建模过程中，差分方程可以用来描述离散的变化规律，求解差分方程的通解可以帮助我们了解系统的整体行为。
差分方程的通解指的是能够满足给定差分方程的所有解的集合。
与微分方程不同，差分方程的解是离散的，它们在连续的时间点上定义。
为了求解差分方程的通解，我们需要找到一般解和特解两部分。
我们来看一下一阶线性差分方程的通解求解方法。
一阶线性差分方程的一般形式为：$$y_{n+1} = a \cdot y_n + b$$其中，$a$和$b$是常数，$y_n$表示第$n$个时间点上的解。
为了求解这个差分方程的通解，我们可以使用递推法。
假设我们已经找到了一个特解$y_p$，它满足差分方程。
我们可以将特解代入差分方程中，然后求解出特解的递推关系式。
这个递推关系式可以用来逐步计算出所有时间点上的解。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设我们要求解差分方程$y_{n+1} = 2 \cdot y_n + 1$的通解。
我们猜测一个特解$y_p = k$，其中$k$是一个常数。
将特解代入差分方程中，得到$k = 2k + 1$。
解这个方程可以得到$k = -1$。
所以我们得到了一个特解$y_p = -1$。
接下来，我们可以使用递推法来求解通解。
根据递推法，我们可以得到递推关系式$y_{n+1} = 2 \cdot y_n + 1$。
我们可以从初始条件$y_0 = c$开始，逐步计算出所有时间点上的解。
通过递推关系式，我们可以得到$y_1 = 2 \cdot c + 1$，$y_2 = 2 \cdot (2 \cdot c + 1) + 1$，依此类推。
所以，差分方程$y_{n+1} = 2 \cdot y_n + 1$的通解可以表示为$y_n = -1 + 2^n \cdot (c + 1)$，其中$c$是一个常数。
以上就是求解一阶线性差分方程通解的一般方法。
高阶差分方程
第六章 高阶差分方程在离散时间分析中可能出现这种情况：t 期的经济变量，比如y t ，不仅取决于y t-1，而且取决于y t-2。
这样便引出了二阶差分方程。
严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2y t ，但不含高于二阶差分的方程。
Δ2y t读作y t 的二阶差分。
而符号Δ2是符号d 2y ／dt 2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下：Δ2y t =Δ(Δy t )=Δ(y t+1-y t )=(y t+2-y t+1)-(y t+1-y t )=y t+2-2y t+1+y t因此，y t 的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。
因为像Δ2y t 和Δy t 这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。
类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。
我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。
为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。
但对常数项和可变项两种形式，均作考察。
具有常系数和常数项的二阶线性差分方程一类简单的二阶差分方程的形式为：y t+2+a 1y t+1+a 2y=c 6.1 读者应注意到，此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a 1，a 2）和常数项c 的差分方程。
二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成：y t ＝y c +y p 。
特别积分是1,12121-≠+++=a a a a y c p6.22,1,21211-≠-=++=a a a a yt cp6.2’ 2,1,21212-=-=+=a a a t yc p6.2’’ 为求出余函数，我们必须集讨论简化方程y t+2+a 1y t+1+a 2y ＝0 6.3 解一阶差分方程的经验告诉我们，Ab t 式在这种方程的通解中起非常重要的作用。
因此，我们先试探形式为y t ＝Ab t 的解，它自然意味着y t+1＝Ab t+1，等等。
差分方程的阶数
差分方程的阶数差分方程是描述离散时间系统动力学行为的数学模型。
它是微分方程的离散形式，通过差分算子来逼近微分算子。
差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。
1. 一阶差分方程一阶差分方程是指方程中最高阶差分项为一阶差分项的差分方程。
一阶差分方程的一般形式为：y[n+1] = f(y[n])，其中y[n]表示第n 个时刻的状态值，y[n+1]表示下一个时刻的状态值，f是关于y[n]的函数。
一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态。
2. 二阶差分方程二阶差分方程是指方程中最高阶差分项为二阶差分项的差分方程。
二阶差分方程的一般形式为：y[n+2] = f(y[n], y[n+1])，其中y[n]和y[n+1]分别表示第n个时刻和第n+1个时刻的状态值，y[n+2]表示下两个时刻的状态值，f是关于y[n]和y[n+1]的函数。
二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态。
3. 高阶差分方程高阶差分方程是指方程中最高阶差分项为高于二阶的差分项的差分方程。
高阶差分方程的一般形式为：y[n+k] = f(y[n], y[n+1], ...,y[n+k-1])，其中y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]分别表示第n个时刻、第n+1个时刻、...、第n+k-1个时刻的状态值，y[n+k]表示下k个时刻的状态值，f是关于y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]的函数。
高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。
差分方程的阶数决定了系统动力学的复杂性。
一阶差分方程描述了简单的状态转移，而高阶差分方程可以描述更复杂的状态转移规律。
通过研究差分方程的阶数，可以深入理解系统的动力学行为，为系统的建模和分析提供有力的工具。
差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。
一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态，二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态，高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。
高阶常系数线性差分方程的解的研究
及定理 １ 知 ， 可
（ ， 肿 ｎ ｒｅｉ１＝ｎ０ｃｓ ｎ ＋ ，７－０） ｎ。ｎ Ｊ ｎ
去ｎ 们 ｅｅ： ｉ 』 （ Ｌｎ －） ｓ ｅ ， ｎ ｎ ４． ｎ
帆 是 方 程 （ ） 的解 。 ６
因此，得到 ２ 个实数解 』
ｃ ， ￣ ｏａ，２ ｃｓ ， 。０ ｎ ｃ ｎｒ 。０， ｚ ｓ ｉ ｒ ｓ ｊ ］ …， ｓ ， ，ｉＯ，２ ｓ ， ， ｉ０ ｎ ｓ ｊ ｒ ｉ０ …， ｎ １ｒ ｎ ｎ ； ｎＪ ｚ
（＋ｎｃ２ ＋４ ｃ ＋６ ７ｎ Ｃ ｃ＋ｎ （＋ 。 （＋ ） １ ２ ３３ ｃ ）詈 ｃ ｃＳ ） ｓ ｉ
其中 Ｃ ， ， ３Ｃ ， ， ， 为任意实数。 １Ｃ２Ｃ ， ４Ｃ５Ｃ６Ｃ７
参考文 献 ：
【健 ｌ 士银． 一阶常系数差分 方程 的特解公式【】 Ｊ 沈阳工程 学院学报， ０ ， ） １９ ． ． ２ ８（ ： —３ ０ １９
其中口 ＋ ｌ ２＋… ＋ ，＝ｋ。 ， ｌ
引进 算子 ，
（） ４
Ｅｙ ＝ Ｙ ，Ｅ２ ＝Ｅ（ ｙ ） 肘ｌ ｙ Ｅ ＝Ｅ（， １ ＝） ＋ ） ＋） ， ２… ． ，Ｅｋ Ｙ ＋ ｙ Ｅｋ ｎ Ｙ＋ ｙ ｎ ，
且 ｔ ＝ Ｙ ｙ 。
则 方程 （） 可 以写 成 １
其中：用 Ｉ表示恒 等算子 ，即 ｔ ＝ Ｙ ｙ 。
在解常差分方程时常用到以下算子 的有 关引理 ：
引理 １ （ ，（ １ ｙ Ｅ一 ）Ｅ一 ） ＝（ ，（ ， ｙ Ｅ一 ）Ｅ一 ）
证明：
（ ） 一 １ ｙ 一 （ ）
＝
Ｅ 一九Ｅ 一九Ｅ ＋ ｊ 、 ｎ ２ ＩＩ ｊ ｌ Ｉ ｙ ２
若 ａｌ ＝１，即 为单根 。此时 ，
高阶差分方程式
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
架構
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18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
問題解
圖18.2
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18.1 二階線性差分方程式： 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例5 範例
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18.1 二階線性差分方程式： 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
失業率U的分析 失業率 的分析
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18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
收斂與休爾定理
範例4 範例
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
範例5 範例
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
範例4 範例
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
差分方程的概念与定义
差分方程的概念与定义差分方程是一种描述离散时间变量之间关系的数学方程，它在许多领域中发挥着重要作用，如物理学、经济学、生物学和工程学等。
差分方程的研究不仅有助于了解系统的动态行为，还可以预测未来的趋势和进行系统的控制和优化。
差分方程的定义可以理解为，给定一个递推序列{x_n}，其中n表示时间的离散变量，差分方程描述了序列中相邻两个时间点的关系。
一般来说，差分方程可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)其中x_{n+1}表示下一个时间点的值，f(n,x_n)是一个给定的函数，描述了当前时间点和上一个时间点之间的关系。
这个函数可以是线性的、非线性的、离散的或连续的，具体取决于问题的特性和所研究系统的动态行为。
差分方程有两种常见的形式：一阶差分方程和高阶差分方程。
一阶差分方程是指只涉及到一个变量的差分方程，通常可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前一个时间点的值计算而得。
高阶差分方程涉及到多个变量，可以表示为：x_{n+k}=f(n,x_n,x_{n-1},...,x_{n-k+1})这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前面k个时间点的值计算而得。
高阶差分方程通常用于描述更复杂的系统，其中多个变量之间存在相互作用和依赖关系。
差分方程的解可以通过迭代和递推来获得。
给定一个初始条件x_0，根据差分方程的定义，我们可以通过递推计算出序列中的其他时间点的值。
这种递推计算可以用来分析系统的长期行为和稳定性，预测未来的发展趋势，并进行系统的控制和优化。
差分方程是离散时间系统的重要数学工具，它可以描述和分析许多实际问题。
例如，在经济学中，差分方程可以用来描述经济变量之间的关系，如消费、投资和就业等。
在物理学中，差分方程可以用来描述粒子在离散时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，差分方程可以用来描述种群数量的变化和生物进化等现象。
总之，差分方程的概念与定义为我们研究和理解离散时间系统的动态行为提供了重要的数学工具。
差分方程求通解
差分方程求通解在数学领域中，差分方程是一类描述离散变化的方程。
它们已经得到了广泛的应用，尤其在动力系统、经济学和生物学等领域。
本文将探讨差分方程的通解求解方法，以及如何应用这些方法解决实际问题。
首先，我们需要了解差分方程的定义。
差分方程描述的是离散时间点上的变量之间的关系。
与微分方程相似，差分方程也可以分为一阶和高阶差分方程。
一阶差分方程表示为：$$y_{n+1} = f(n, y_n)$$其中$y_n$是变量的序列，$f(n, y_n)$表示$n$和$y_n$的函数关系。
高阶差分方程可以通过引入更多的变量来表示，例如二阶差分方程可以写为：$$y_{n+2} = f(n, y_n, y_{n+1})$$对于给定的初始条件，差分方程可以得到唯一的解。
解差分方程的通用方法之一是使用递推公式。
递推公式将差分方程的下一个时间点的变量表示为上一个时间点的变量的函数。
通过逐步迭代计算，我们可以找到整个变量序列的通解。
这种方法在一些简单的差分方程中非常有效。
另一种常用的求解差分方程的方法是特征根法。
对于一阶差分方程，我们可以通过代入试验解的形式来求解差分方程的通解。
而对于高阶差分方程，我们可以利用特征方程和特征根的性质来求解。
通过特征方程的根的不同情况，我们可以得到差分方程的不同解的形式。
除了上述方法，差分方程的通解还可以通过求解递推方程所对应的代数方程来获得。
这种方法比较直接，但对于一些复杂的差分方程可能比较困难。
在实际问题中，差分方程的应用非常广泛。
在经济学中，差分方程可以用来描述价格变动、经济增长和市场供需等问题。
在生物学中，差分方程可以用来模拟种群演化和化学反应等现象。
在工程领域，差分方程可以用来优化控制策略和预测系统行为。
总之，差分方程的求解方法是数学领域中重要且实用的技术。
通过使用递推公式、特征根法和代数方程方法，我们可以得到差分方程的通解。
这些方法不仅在理论研究中有重要意义，也在实际问题中有广泛应用。
《高阶差分方程式》PPT课件
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例5
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例5
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
圖形摘要結論
範例1
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
範例2
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
模型
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
範例1
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18.4 推論變數項與高階方程式
圖18.1
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18.1 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例8
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差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,
高数 差分方程
高数差分方程1. 差分方程的概念差分方程是一种数学表达式，用于描述数列中相邻项之间的关系。
它通过将连续的变量按照某个固定的差值进行离散化，从而将微分方程转化为离散的数学问题。
差分方程广泛应用于控制系统、金融模型、生物学、物理学等领域。
差分方程一般形式为：y[n] = f(y[n-1], y[n-2], ..., y[n-k])其中 y[n] 代表第 n 项的值，k 是差分方程的阶数。
2. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程是指阶数为1 的差分方程。
一般形式为：y[n] = a * y[n-1] + b其中 a 和 b 是常数，y[n-1] 是第 n-1 项的值。
例如，给定一个一阶线性差分方程 y[n] = 2 * y[n-1] + 3，已知初始条件 y[0] = 1，我们可以通过递推求解该差分方程。
首先代入初始条件，得到 y[1] = 2 * y[0] + 3 = 2 * 1 + 3 = 5。
然后再代入 y[1]，得到 y[2] = 2 * y[1] + 3 = 2 * 5 + 3 = 13。
继续进行递推，我们可以得到 y[3]、y[4]、y[5] 等等。
3. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程是指阶数为2 的差分方程。
一般形式为：y[n] = a * y[n-1] + b * y[n-2] + c其中 a、b 和 c 是常数，y[n-1] 和 y[n-2] 分别是第 n-1、n-2 项的值。
同样以一个例子来说明，给定一个二阶线性差分方程 y[n]= 2 * y[n-1] + 3 * y[n-2] + 1，已知初始条件 y[0] = 1 和 y[1] = 2。
首先代入初始条件，得到 y[2] = 2 * y[1] + 3 * y[0] + 1 = 2 *2 +3 * 1 + 1 = 9。
然后再代入 y[1] 和 y[2]，得到 y[3] = 2 * y[2] + 3 * y[1] + 1= 2 * 9 + 3 * 2 + 1 = 24。
高阶差分方程的解
(ix ) 0 < R < 1 ⇒ b1b2 = αγ < 1 收敛 ( xi ) R ≥ 1 ⇒ b1b2 = αγ ≥ 1 发散
１７．２ Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ乘数加速互作用模型 –稳定性 条件
n
稳定性条件
收敛 iff αγ < 1
n
Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ模型有关参数ｇａｍｍａ、ａｌｐｈａ的关系
( vi ) 0 < b < 1 ⇒ 0 < γ ≤ 1; b1b2 = αγ < 1 收敛 (v) b > 1 ⇒ 0 < γ < 1; b1b2 = αγ > 1 发散
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１７．２ Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ乘数加速互作用模型 –稳定性 – 重根
n
稳定性分析 –重根
n
参数ａｌｐｈａ、ｇａｍｍａ分布
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１７．３ 离散时间条件下的通货膨胀与失业
n
n
模型 –微分方程／差分方程 •ｐ –通货膨胀率 价格水平增长率 •ｐｉ –预期通货膨胀率 •Ｕ –失业率 pt = α − T − βU t + hπ t •ｍ –名义货币增长率 ∆π t +1 = π t +1 − π t = j ( pt − π t ) •Ｔ –劳动生产增长率 ∆U t +1 = U t +1 − U t = −k ( m − pt +1 ) 关于实际通货膨胀率的差分方程
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１７．３ 离散时间条件下的通货膨胀与失业 –通货膨 胀率分析
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2
2
• 因此，余函数变成： yc=A1b1t+A2b2t=A1(h+vi)t+A2(h-vi)t
• 上式表明，解释yc并不容易。但幸运的是， 由于棣莫弗定理，此余函数很容易化为三 角函数，而三角函数我们已知如何解释。 具体如下。
a2）和常数项c的差分方程。 • 二阶差分方程的通解是由余函数和特别积
分构成：yt＝yc+yp。
• 特别积分是
y
p
1
c
a1
a2
,
a1
a2
1
y p
2
c
a1
t, a1
a2
1, a1
2
y
p
c 2
t2
,
a1
a2
1, a1
2
• 为求出余函数，我们必须集讨论简化方程
4 41 2 1
2
2
•
所以，
y c
A1(1)t
A2
t
(1)t
A1
A2
t
• 因此，方程的通解为
y c
A1
A2 t
4t2
• 第三种情况（复数根）：当a12＜4a2时，b1
和b2为一对共轭复数根。具体地，根的形式
为h±vi，其中
a a a 4 2
h 1,v
2
1
• 与微分方程特征根的三种情况一样，差分方程的 特征根也有三种情况：两个不相等的实数根、两 个相等的实数根和一对共轭复数根。
• 第一种情况（不同的实根）：当a12＞4a2时， b1和b2为不同的实根。在这种情况下，b1t和 b2t线性无关，余函数可以简单地写成b1t和 b2t的线性组合，即yc=A1b1t+A2b2t。
• A一4t事bt实像，A3可bt一以样很，容确易实得可到以验作证为：简只化需方将程的解这 y便t=可A4以tb看t[到和该yt+方1=程A4（是t一+1个）恒bt等+1等式]。代因入此简，化重方实程根， 情况下的余函数为：yc=A3bt+A4tbt
• 例：求下列方程的通解
•
（1）y 10 y 16 y 14
2
2
•
所以，
y c
A1(2)t
A2 (8)t
• 因此，方程的通解为若给定y0=10和y1=36， 可求出该方程的特解：
• 令t=0和t=1则：按照初始条件，
y 0
A1(2)0
A2 (8)0
2
A1
A2
2
y 1
A1(2)1
A2(8)1
2
2A1 8A2
2
• 令y0=10和y1=36，则
• 第重表二根示种：为情 如b（况 不＝（ 同b重 实1＝实根b2根时））的＝：形-a当式1／，a122则。＝两现4a部在2时分若，将将特合余征并函根为数为 一项：A1b1t+A2b2t＝（A1+A2）bt≡A3bt。
• 此式无效，因为现在缺一个常数。
• 为了补上缺失的部分（我们回顾一下，这部分应 与方项法线A3b。性t项这无线样关性这是无个很关新明）的显，项的还可，需取因要为A4以t我b变t们形量永式t远。乘不它bt能这与给个A3老bt A3bt项加上一个常系数而得到A4tbt。
第6章 高阶差分方程
2020/3/1
经济管理学院财务与投资系 刘亚娟
1
• 在离散时间分析中可能出现这种情况：t期的经济 变量，比如yt，不仅取决于yt-1，而且取决于yt-2。 这样便引出了二阶差分方程。
• 严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2yt， 但不含高于二阶差分的方程。 Δ2yt读作yt的二阶 差分。而符号Δ2是符号d2y／dt2在离散时间情况 下的对应物，表示“取二阶差分”如下：
• Δ2yt=Δ(Δyt)=Δ(yt+1-yt)
•
=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)
•
=yt+2-2yt+1+yt
• 因此，yt的二阶差分可以转换为包含两期时滞的 项的和。因为像Δ2yt和Δyt这样的表达式写起来 很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包 含变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方 程为包含三期时滞的方程；等等。阶微分方程的特 征方程具有可比性。它具有两个特征根：
24
a a a , 1
1
2
b b1 2
2
• 对解Abt中的b而言，上述每个根都是可接受的。 事实上，b1和b2均应在齐次差分方程的通解中出 现，恰如在微分方程中的情况一样，此通解必然 包括两个线性无关的部分，每一部分都有自己的 任意乘积常数。
6
36 4 5 6 4 1,5
2
2
• 所以，yc A1(1)t A2(5)t A1 A2(5)t
• 因此，方程的通解为
y c
A1
A2 (5)t
3t
•
(3)该方程的特别积分为： y
p
8 2
t
2
4
t
2
• 该方程的特征方程为：b2-2b+1=0，所以特
征根为：b1 b2 2
• yt+2+a1yt+1+a2y＝0 • 解一阶差分方程的经验告诉我们，Abt式在这种方
程的通解中起非常重要的作用。因此，我们先试 探形式为yt＝Abt的解，它自然意味着yt+1＝Abt+1， 等等。我们的任务便是确定A和b的值。
• 将试探解代入简化方程，方程变成
• Abt+2+a1Abt+1+a2Abt＝0 • 或在消去（非零）共同因子Abt后，有b2+a1b+a2＝
t2
t 1
t
；
• （2）y 6 y 5 y 12
；
t2
t 1
t
• （3）y 2 y y 8
t2
t 1
t
• 解：（1）该方程的特别积分为：
y 14 2 p 110 16
• 该方程的特征方程为：b2-10b+16=0，所以
特征根为：
b1
,
b2
10
100 4 16 10 6 2,8
• 我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再 在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控 制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性 差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作 考察。
具有常系数和常数项的二阶线性差 分方程
• 一类简单的二阶差分方程的形式为：
• yt+2+a1yt+1+a2y=c • 此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a1，
• A1+A2+2=10
• 2A1+8A2+2=36
• 联立方程求解A1＝5和A2=3，最后把它代入 通解中可得特解：
y 5(2)t 3(8)t 2 t
• （2）该方程的特别积分为：y 12 t 3t p 26
• 该方程的特征方程为：b2-6b+5=0，所以特
征根为：
b1,b2