中立型Logistic差分方程的Flip分支

中立型Logistic差分方程的Flip分支梁璐莎;陈斯养【摘要】讨论了中立型时滞Logistic差分方程稳定性以及Flip分支存在性;应用Jury判据和特征值理论给出正平衡态局部渐进稳定的充分条件;以种群的内禀增长率为分支参数,运用中心流形定理和分支理论得到了方程Flip分支的存在条件与分支方向;通过举例及数值计算验证了定理条件和结论的一致性.【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(034)001【总页数】7页(P41-47)【关键词】中立型;时滞;稳定性;Flip分支【作者】梁璐莎;陈斯养【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言在生物数学中，Logistic模型是描述单种群密度变化的经典模型[1]，考虑到时滞对种群密度的影响，文献[2-5]对具有时滞的Logistic模型解的渐进性态、产生Hopf分支的条件以及实际应用情况做了详细的讨论.在实际情况中，并不是一个线性函数，Smith[6]讨论了形如模型解的渐进性态.Gopalsamy[7]提出了如下中立型Logistic模型文献[8-12]对其解的渐进性态做了进一步的讨论.在生态数学中，对于生命长、世代重叠并且数量很大的种群常近似采用微分方程模型，文献[13-20]讨论了多个具有时滞的连续性泛函微分方程解的渐近性态；对于生命短、世代不重叠或是生命长、世代重叠但其数量较少的种群经常采用差分方程模型.本文主要研究了具有时滞的连续中立型微分方程对应的中立型Logistic差分方程x(n+1)-x(n)=rx(n)(1-a1x(n)-a2(x(n+1-τ)-x(n-τ)))(1)当τ=1,2时正平衡态的存在唯一性和局部渐进稳定性，分支的存在性及其方向和稳定性等问题，其中r表示种群的内禀增长率，a1、a2表示种群在第n代、第n-τ代种群的密度制约系数,r、a1、a2∈R+.特别地，当a2=0时，(1)式即为经典的Logistic模型.1 正平衡态稳定性与分支存在的条件本节讨论模型(1)在τ=1,2两种情况下正平衡态的稳定性以及分支存在的条件.1.1 τ=1时正平衡态稳定性与分支存在条件将(1)写作(2)令对(2)做无量纲变化后其等价为y(n+1)=by(n)(1-y(n)+ay(n-1))(3)设y*是方程(3)的平衡态，其满足方程y*=by*(1-y*+ay*)，解得y*则y*是正平衡态的充要条件是0<a<1.经计算可知(3)在y*处线性近似系统为y(n+1)-y*(4)所以(4)对应的特征方程为(5)下面应用Jury判据[21]给出模型(3)正平衡态局部渐近稳定的条件.定理1 模型(3)的正平衡态y*局部渐进稳定，当且仅当证明：若模型(3)满足如下三个条件，则正平衡态y*局部渐进稳定.(Η1)p(1)>0; (Η2)(-1)2p(-1)>0；对条件(Η1)：计算后得p(1)=b-1>0恒成立；对条件(Η2)：化简后可得如下结论：对条件(Η3)：计算可得对(Η2)和(Η3)求交集可得定理中所给结论，证毕.定理2 在模型(3)中，若则(3)的正平衡态y*局部渐进稳定；若则(3)存在一个λ=-1的特征根，且不存在λ=1和一对位于单位圆环上共轭的特征根；若则(3)的正平衡态y*不稳定，模型产生Flip分支.证明由定理1可知，若的正平衡态y*局部渐进稳定；若特征方程(5)等价于即方程有两个单实根λ1=-1和证毕.1.2 τ=2时正平衡态稳定性与分支存在条件当τ=2时，(1)式为令则(6)与如下方程(7)等价y(n+1)=by(n)[1-y(n)-ay(n-1)+ay(n-2)](7)设是方程(7)的平衡态，则其满足等式解得即也是(7)的正平衡态.经计算(7)式在处的线性近似系统为(8)则(8)的特征方程为p(λ)=λ3-(2-b)λ2-(a-ab)λ-(ab-a)=0(9)根据文献[21]，得到模型(7)正平衡态局部渐近稳定的条件.定理3 模型(7)的正平衡态局部渐进稳定，当且仅当满足以下条件之一：当时，当时，当时，证明：根据文献[21]，若模型(7)满足如下三个条件：(Η1)|-2+b-ab+a|<1-a+ab;(Η2)|a-ab|<1;(Η3)|1-(ab-a)2|>a(b-1)2则正平衡态局部渐进稳定.对条件(Η1)：化简后得到如下条件(i)和(ii)：(i)当时,当时,1<b恒成立；对条件(Η2)：计算后可得：对条件(Η3)：化简后得到如下条件：对(Η1)和(Η2)化简后的结果求交集得：当时，当时，再将如上条件与(Η3)化简后结果进一步求交集可得定理结论，证毕.以下对定理3中(1)的情况给出产生分支的条件，情况(2)，(3)的分支条件可同理给定理4 在模型(7)中，若当时，(7)的正平衡态局部渐进稳定；当时，(7)存在一个λ=-1的特征根，且不存在λ=1和一对位于单位圆环上共轭的特征根；当时，(7)的正平衡态不稳定，模型产生Flip分支.证明由定理3可知，若时，当时，(7)的正平衡态局部渐进稳定；若特征方程(9)等价于方程(9)存在λ=-1的特征根，将λ=1代入，可得恒成立，即(9)不可能有λ=1的特征根.令对应的故g(λ)=0有两个实根，即特征方程(9)不存在一对位于单位圆环上共轭的特征根，证毕.2 分支的方向以及稳定性和规范形本节选取种群的内禀增长率r做无量纲变化后对应的参数b作为分支参数，利用分支理论和中心流形定理讨论模型(3)和(7)Flip分支的方向和稳定性，应用文献[22]中的投影方法计算其中心流形.2.1 τ=1时分支的方向以及稳定性和规范形τ=1时，将(3)式做如下变化：(10)(10)式在平衡态E(y*,y*)的临界Jacobi矩阵由定理2可知D0存在λ=-1的特征根.矩阵D0和满足且其特征向量分别为：为使其特征向量<p,q>=1，取为了应用文献[22]中的投影法计算中心流形，现将系统(3)化为如下形式(11)其中是光滑函数且在平衡态E(y*,y*)的Taylor展开式为B(x,y)和C(x,y,z)在坐标下的分量分别为：i=1,2,...,n.映射(11)经坐标变化可变换成限制规范性形式：η→-η+cη3+O(η4)，其中临界规范性系数c决定反转分支的非退化性，且可以预测周期2环的分支方向，系数c由下面公式给出：(12)根据以上理论，经计算得B(x,y)=(-2bx1y1+ab(x1y2+x2y1),0)T，C(x,y,z)=0将p,q代入上式可得则求得其中(13)根据文献[22]，可得如下定理：定理5 当b=b0时，模型(3)在正平衡态y*产生Flip分支；若c>0，则模型(3)从正平衡态y*分支出唯一稳定的超临界Flip分支；若c<0,则模型(3)从正平衡态分支出唯一不稳定的亚临界Flip分支.根据定理5，由(13)式可知，当0<a<1时，c恒大于0，即模型(2)从正平衡态y*分支出唯一稳定的超临界Flip分支.2.2 τ=2时正平衡态稳定性与分支存在条件将(7)式做如下变化：(14)映射(14)式在平衡态的临界Jacobi矩阵为由定理4可知D1存在λ=-1的特征根.矩阵D1和满足且其特征向量分别为：q～(1,-1,1)T，p～(-1,3-b,ab-a)T，为使其特征向量<p,q>=1，取如下应用文献[22]中的投影法计算中心流形，将系统(7)写为如下形式其中g1=bx1(1-x1-ax2+ax3)-(2-b)x1-(a-ab)x2-(ab-1)x3.类似2.1中计算可得B(x,y)=(-2bx1y1-ab(x1y2+x2y1)+ab(x1y3+x3y1),0,0)T，C(x,y,z)=0将p,q代入上式可得经计算可得其中(14)根据文献[22]，可给出如下定理6.定理6 当b=b1时，模型(6)在正平衡态产生Flip分支；若c>0，则模型(6)从正平衡态分支出唯一稳定的超临界Flip分支;若c<0,则模型.(6)从正平衡态分支出唯一不稳定的亚临界Flip分支.根据定理6，由(14)式可知，当时，c>0，即模型(6)从正平衡态分支出唯一稳定的超临界Flip分支；当时，c<0，即模型(6)从正平衡态分支出唯一不稳定的亚临界Flip分支.3 数值模拟下面通过两个举例，运用Matlab软件绘出模型解的图形，验证以上结论与条件的可实现性，并说明该模型动力学行为的复杂性.例1 τ=1时，最大Lyapunov指数图以及取a=0.124 5,b0=2.557 1时，模型(3)随b变化的分支图(图1)，取b=2.507 1<b0时模型(3)在E(0.686 6,0.686 6)处局部渐进稳定图(图2)以及取b=2.567 1>b0的周期解图(图3)如下所示：图1 随b变化的最大Lyapunov指数图和分支图(τ=1) 图2 b=2.507 1<b0稳定图(τ=1)Fig.1 The maximum Lyapunov exponent and bifurcation Fig.2 Stability solution map (b=2.507 1 map vs.the parameter b <b0)(τ=1)图3 b=2.567 1>b0周期解图(τ=1) 图4 随b变化的Lyapunov指数图和分支图(τ=2)Fig.3 Period solution map (b=2.5671> b0)(τ=1) Fig.4 The maximum Lyapunov exponent and bifurcation map vs.the parameter b例2 τ=2时，最大Lyapunov指数图以及取a=0.124 5,b1=3.663 1时，模型(7)对应随b变化的分支图(图4)，b=3.662 6<b1时模型(7)在E(0.727,0.727,0.727)处局部渐进稳定图(图5)以及b=2.5671>b1的周期解图(图6).图5 稳定图(b=3.662 6<b1)(τ=2) 图6 周期解图(b=3.7131>b1)(τ=2)Fig.5 Stability solution map (b=3.662 6 <b1)(τ=2) Fig.6 Period solution map (b=3.713 1> b1)(τ=2)4 结论本文应用Jury判据、分支理论及中心流形投影等理论给出了Logistic中立型差分方程解的稳定性及Flip分支的存在性以及稳定性条件.通过数值模拟验证了所得结论的正确性，并且包含了经典Logistic差分模型的结论(当a2=0时).在对方程参数做了细微的改动后，模型的性状发生了巨大的变化进而出现混沌，可知模型的动力学行为的复杂性.参考文献:【相关文献】[1] 陈兰荪，宋新宇，路征一.数学生态学模型与研究方法[M].成都:四川科学技术出版社,2008.[2] CUSHING J M.Integrodifferential equations and delay models in populationdynamics[M].New York:Springer-Verlag,1977.[3] MURRAY J D.Mathematical Biology[M].New York:Springer-Verlag,1989.[4] OKUBO A.Diffusion and ecological problems:mathematical models[M].NewYork:Springer-Verlag,1980.[5] WRIGHT E M.A nonlinear difference-differential equation[J].J.Reine Angew.Math,1955 (194):66-87.[6] SMITH F E.Population dynamics in Daphnia magna and a new model for population growth[J].Ecology,1963 (44):651-663.[7] GOPALSAMY K,ZHANG B G.On a neutral logistic equation [J].Dynamics and Stability of Systems，1988 (2):183-195.[8] FREEDMAN H I,Kuang Y.Stability switches in linear scalar neutral delayequations[J].Funkcialaj Ekvacioj，1991 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