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具有连续变量的高阶非线性中立型时滞差分方程的振动性姓名 (学号)[摘要] 该文用分析的方法研究了一类具有连续变量的高阶非线性中立型时滞差分方程()0))(()()()()(=-+--∆στt x f t q t x t p t x d解的振动性, 得到了该方程振动的若干充分条件. 关键词: 中立型差分方程, 非线性, 连续变量, 振动性.Oscillation for a Class of Higher Order Nonlinear Neutral DelayDifference Equations with Continuous ArgumentsnameAbstract: Using the method of analysis ,we investigate the oscillation of solutions for a class of higher order nonlinear neutral delay difference equation with continuous arguments()0))(()()()()(=-+--∆στt x f t q t x t p t x d.Some sufficient conditions for oscillatory of the equation are obtained.Key words: neutral difference equation, nonlinear, continuous arguments ,oscillation.随着计算机科学, 数值分析, 生物数学及边缘科学的不断发展, 在科学研究和社会实践中提出了很多由时滞差分方程描述的具体数学模型, 特别是在种群动力学、经济学及高速计算机电路的无损传输等问题中差分方程有着更为广泛的应用. 所以系统的开展对差分方程解序列的各种属性的定性研究, 不仅有其重要的理论意义, 而且有其实际应用价值. 因而对时滞差分方程定性理论的研究吸引了大批学者的广泛兴趣和高度关注[1~10]. 近几年来, 关于具有离散变量的差分方程振动性研究成果比较丰富[1~5], 而关于具有连续变量的差分方程的定性理论的研究虽然也有一些结果[6~10], 但所研究的方程多为低阶的或线性的。

如熊万民、王志成在文献[6]中给出了一类连续变量的一阶非线性差分方程0))(()()()(=-+-+στt y f t p t y t y振动的几个充分条件；刘召爽等[7]及毕平[8]在相应文献中给出了一类具有多个时滞的连续变量的一阶中立型差分方程()0))(,()()()(1=-+--∆∑=i ni i t x t h t x t p t x στ振动的几个充分条件；黄梅，申建华在文献[9]中给出了一类具有连续变量的二阶线性中立型差分方程[])()()()(2στ-=--∆t x t p t cx t x 有界解振动的几个充分条件；孙书荣等在文献[10]中给出了一类具有连续变量的多时滞二阶线性中立型差分方程[]0)()()()()(12=-+--∆∑=li iit x t p t x t c t x στ振动的几个充分条件。

而对具有连续变量的高阶非线性差分方程的振动性的研究在已知的文献中还未见有任何结果。

本文用不同于文献[9]的方法研究下面一类更为广泛的具有连续变量的高阶非线性中立型时滞差分方程()0))(()()()()(=-+--∆στt x f t q t x t p t x d（+∞<≤<t t 00）（1）解的振动性，得到了该方程振动的几个充分条件。

这里0>τ是步长：)()()(t x t x t x -+=∆τ，())()(1t x t x m m-∆∆=∆；1≥d 为奇数，0≥σ是给定的整数，)),,([)(),(0++∞∈R t C t q t p ，{}+∞<<=+x x 0|R，),()(R R C x f ∈, 0)(>x xf (0≠x )，且函数)(x f 单调非减。

如通常一样, 某函数)(t x 称为方程(1)的解, 如果)()(t t x φ=, ()R ),,[0∞+-∈σφt C , 当0t t ≥时, )(t x 满足方程(1). 方程(1)的解)(t x 称为振动的, 如果其既不最终为正也不最终为负; 否则, 称为非振动的. 方程(1)称为振动的, 如果方程(1)所有解都是振动的.为了方便, 在本文中假设关于t 的不等式（如未指出的）是对一切充分大的实数t 成立的.1 几个基本引理为了证明本文的主要结论, 先介绍几个引理.引理1 假设1≥m 是整数, {})(τn t z +是实数列, 如果{})(τn t z m +∆最终定号(即当n 充分大后恒有0)(>+∆τn t z m 或恒有0)(<+∆τn t z m ), 则{})(τn t z i+∆最终严格单调且定号(1,,2,1,0-=m i ).证明 因为{})(τn t z m +∆最终定号, 所以{})(1τn t z m +∆-最终严格单调, 从而最终定号, 由此又可知{})(2τn t z m +∆-最终严格单调且定号, 依此方式推下去即得.引理2[5]假设1≥m 是整数, {})(τn t z +是实数列, 那末10如果0)(inf lim >+∆+∞→τn t z m n , 则+∞=+∆+∞→)(lim τn t z in (1,,1,0-=m i ).20 如果0)(sup lim <+∆+∞→τn t z m n , 则-∞=+∆+∞→)(lim τn t z in (1,,1,0-=m i ).引理3 如果1≥d 为奇数, {})(τn t z +是正实数列且有界, {})(τn t z d +∆最终为负, 则最终有)()(n z n z d ∆≥∆.2 主要结果及证明定理1 设方程(1)满足条件: 10 1)(0≤<t p ; 20存在常数0>λ, 使得λ>→uu f u )(lim, 对0t t ≥有λτ1)(sup lim >++∞→n t q nn ; 则方程(1)是振动的.证明 反证法. 设方程(1)具有非振动解)(t x , 不失一般性, 可设)(t x 是最终正解(关于)(t x 是最终负解的情形类似可证). 即0)(,0)(>->σt x t x 。

令)()()()(τ--=t x t p t x t z ,则方程（1）可改写为0))(()()(=-+∆σt x f t q t z d ,(2)注意到条件10,则0)(>t z . 事实上, )(t z 显然不能为零，若0)(<t z ：则0)(<+τn t z ，由0)(>-σt y 得()0)()()(<--=∆σt y f t q t z d, 因此{})(τn t z i+∆关于n 单调且定号(d i ,,2,1,0 =).由引理4, 知0)(<+∆τn t z , 于是存在自然数1n , 使得当1n n ≥时，有0)()(1<+≤+ττn t z n t z , 即有)()()()(1τττττ-++++≤+n t x n t p n t z n t x )()(1τττ-+++≤n t x n t z (1n n ≥),即)()()(1ττττn t z n t x n t x +≤-+-+，由此推得)()()(111ττττn t x n t iz i n t x +++≤++, 令+∞→i , 则-∞→++)(1ττi n t x , 这与0)(>t x 矛盾！.故必有0)(>t z . 由于{})(τn t z i+∆单调且定号(d i ,,2,1,0 =), 设T n t z n =++∞→)(lim τ(T 是有限的或无限的), 则0≥T , 下面分两种情况加以证明.首先, 当+∞≤<T 0时, 则一定存在常数0>M , 使得0)()(>≥+>+M n t z n t x ττ(2n n ≥),())()()(στττ-++-=+∆n t x f n t q n t z d()Mf n t q )(τ+-≤(32n n n =+≥σ),对上式两边的n 从3n 到1-n 求和, 得()∑-=--+-+∆≤+∆13113)()()(n n i d d i t q Mf n t z n t z τττ, 由20的第2个式子知, +∞=+∑+∞=3)(n i i t q τ, 因而得-∞→+∆-)(1τn t z d (+∞→n ). 另一方面, 由于0)(>+τn t z , 0)(<+∆τn t z d , 由引理3的证明知, 0)(1>+∆-τn t z d , 矛盾！其次, 当0=T 时, 即0)(lim =++∞→τn t z n , 注意到)}({τn t z +最终为正且严格单调, 所以)}({τn t z +有界且最终严格单调减少, 由引理3有)()(ττn t z n t z d+∆≥+∆. 由20可分别得出, 存在自然数1N , 当1N n ≥时, )())((τλτn t z n t z f +>+; 存在{})(τn t q +的子列{})(τjn t q +, 满足0)(1<+-τλj n t q . 于是存在J (1N n J >), 当J j ≥时())()()()(σττττ-++-=+∆≤+∆j j j dj n t x f n t q n t z n t z())()(σττ-++-≤j j n t z f n t q ())()(ττj j n t z f n t q ++-≤，即())()()()1(τλτττj j j j n t z n t q n t z n t z ++-+≤++ []0)(1)(<+-+=τλτj j n t q n t z ,这与)(t z 最终为正矛盾！以上两个矛盾说明方程(1)没有最终正解.显然，本文给出了一类具有连续变量的高阶非线性中立型差分方程（1）振动的充分条件，这是到目前为止所有公开文献中尚未涉及的。

参 考 文 献[1] Bi P . Oscillation of Difference Equations with Continuous Variable[J]. Journal of HebeiUniversity (Natural Science Edition ),2003,27(6):549-556.[2] Han Z L,Li X Z. Oscillatory Criteria of Third Order Nonlinear Delay Difference Equations withContinuous Arguments[J]. Journal of Jinan University (Sci. & Tech. ),2003,17(4):334-336. [3] Han Z L,Sun S R. Oscillatory Criteria for A Class of Higher Order Nonlinear Neutral DifferenceEquations with Several Delay Arguments[J]. Mathematics in Practice and Theory ,2004,34(3):90~95.[4] 杨甲山,刘琼.二阶非线性中立型时滞差分方程的正解存在性和振动性[J].湘潭大学自然科学学报,2005,27(4) :16-20.[5] 唐清干,曾玲. 高阶中立型差分方程的振动性及其非振动解的渐近性态[J]. 数学杂志,2000,20(2):207~210.[6] 熊万民,王志成. 具连续变量的中立型差分方程的振动性[J].湖南大学学报,2001,28(1) :8-12.[7] 刘召爽,吴淑慧. 连续变量一阶中立型差分方程的振动性[J].河北师范大学学报,2002,26(2) :113-117.[8] 毕平. 连续变量差分方程的振动性[J]. 河北师范大学学报,2003,27(6):549-556.[9] 黄梅,申建华. 具有连续变量的二阶中立型差分方程[J]. 湖南师范大学自然科学学报,2005,28(3):4-6.[10] 孙书荣,滕厚山,韩振来,李秀珍. 具有连续变量的多时滞二阶中立型差分方程的振动准则[J]. 应用数学与计算数学学报, 2003,17(2):91-96.。