角(基础)知识讲解
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
七年级上册角的知识点讲解
七年级上册角的知识点讲解角是数学中一个基本的概念，广泛应用于几何学、三角函数、图形运算等领域。
在初中数学中，学生们需要学习三种角度的度量方法，以及三角函数的基本概念和公式，下面我们将详细介绍七年级上册角的知识点。
一、度量角的方法1.弧度制度量角弧度制是一种计算角度的方法，它常用于数学和物理学中。
一个角的弧度数等于其对应弧长与圆周长之比，即弧度制公式为：$$θ = \frac{l}{r}$$其中，θ代表角度，l为对应的弧长，r为圆的半径。
在弧度制中，一个完整的圆对应的弧长为$2πr$，所以一个完整的角的弧度数为$2π$ 。
2.度制度量角度制度量角是广泛使用的角度计量方法，常用于日常生活和一些工程应用。
在度制中，一个完整的圆角对应 $360°$ 的角度。
因此，如果要将一个弧度转换为度数，我们只需将其乘以$180/π$ 即可。
二、三角函数三角函数是数学中一个重要的分支，它关注的是三角形中的关系。
在初中数学中，学生们需要掌握正弦、余弦和正切这三种基本三角函数的概念及其应用。
1. 正弦函数正弦函数（sin函数）表示直角三角形中，对于某个角度$\theta$, 直角对边与斜边的比值。
即：$$sin(\theta) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$其中，opposite代表直角对边，hypotenuse代表斜边。
在计算角度度量时，我们通常使用度制。
例如，sin(30°) = 0.5。
2. 余弦函数余弦函数（cos函数）表示直角三角形中，对于某个角度θ, 直角毗邻边与斜边的比值。
即：$$cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$其中，adjacent代表直角毗邻边，hypotenuse代表斜边。
同样的，在计算角度度量时，我们使用度制。
例如，cos(60°) = 0.5。
3. 正切函数正切函数（tan函数）表示直角三角形中，对于某个角度θ, 直角对边与直角毗邻边的比值。
与三角形有关的角(基础) 知识讲解
与三角形有关的角（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，因为1l ∥3l （已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又1l ∥2l （已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB ，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC 的三个内角剪下，拼成以C 为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A ，得CD ∥AB ，有∠2＝∠B ；在图5－2中过A 作MN ∥BC 有∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠A=50°，E是△ABC内一点，∠BEC=150°，∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，则∠BDC的度数为多少？【答案】100°.解：∵△ABC中∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵△BCE中∠E=150°，∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，∵∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠ECB）=50°+30°=80°，∴∠BDC=180°﹣80°=100°．类型二、三角形的外角3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段于点E,在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）.A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B.【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°.类型三、三角形的内角外角综合4.已知如图∠xOy=90°，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，当点A，B分别在射线Ox，Oy上移动时，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而变化，请求出变化范围．【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【答案与解析】解：∠C的大小保持不变．理由：∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB）=45°+∠OAB，即∠ABE=45°+∠CAB，又∵∠ABE=∠C+∠CAB，∴∠C=45°，故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是180°”是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG．理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB．∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°．又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°．又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°．∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。
角的知识点(实用15篇)
角的知识点（实用15篇）角的知识点第1篇1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补。
角的知识点第2篇（一）反思教学目标：1、在教学中我创设形象生动、愉悦和教学情境（摆小棒），激发学生的学习兴趣，为学习新课奠定基础。
2、从直观入手，透过多媒体演示找出主题图中的角，引导学生说出生活中见到的角。
从事物中抽象出角，让学生观察讨论抽象出角的基本特征，完成知识的独立建构过程，体现学生的主体地位。
3、透过学生折角和摸角，加深对角的特征的认识，让学生在玩中学，在学中乐，真正参与教学活动，让学生在合作交流中构建自己的认知体系，同时获得用心的情感体验；透过辨认不同方向的角，让学生对角的认识更加全面4、观看电脑演示，全班学生用手势决定所给的图是不是角，掀起学生的学习热潮。
5、用铅笔把图形中的角画出来，从而透过练习，强化学生对角特征的掌握。
（二）反思教学重难点：一节课是否上得成功，主要是看能否到达教学目标，其次是看重难突出了吗？能在课堂教学中帮孩子解决难点吗？因为教学就是为了帮学生解惑。
我这节课的难点是：1、透过比较操作体会角大小跟角两边张开的大小有关。
2、用重叠法角的大小与边的长短无关。
但我在课堂上没有很好的帮孩子解决问题，末能突破第二个难点，因为我采取剪短角的边长和延长角的边长的长度，引导学生不够到位，效果不显著。
因此在今后教学中就应让学生透过用两或三个不同颜色表示长度不同边长的角，再用重叠法透过学生直观比较，就很容易观察到角的大小与边的长短无关。
苏教版七年级上册数学[角(基础)知识点整理及重点题型梳理]
![苏教版七年级上册数学[角(基础)知识点整理及重点题型梳理]](https://img.taocdn.com/s3/m/e2862ab3cc22bcd126ff0cad.png)
苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算；2. 掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法；3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算；6．了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题．【要点梳理】要点一、角的概念及表示1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC ＝12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角、补角、对顶角1.余角与补角（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线. （2）性质：对顶角相等．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的是 ( )A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．举一反三：【变式】写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).【答案】解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)图中共有7个角．类型二、角度制的换算2. 把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″．(2)130300.560'⎛⎫'''=⨯=⎪⎝⎭，112.512.50.2160⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭°≈°所以45°12′30″≈45.21°．【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】 (1)26.29°＝26°＋0.29°＝26°＋0.29×60′＝26°＋17.4′＝26°＋17′＋0.4×60″＝26°17′＋24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°＋24′＋36×160'⎛⎫⎪⎝⎭＝33°＋24′＋0.6′＝33°＋24.6′＝33°＋24.6×160⎛⎫⎪⎝⎭°＝33.41°【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算.类型三、角的比较与运算3.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．【答案与解析】解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．举一反三：【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．【答案】作法：如图，(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．4. 如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数．【答案与解析】解：因为OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又因为OB是∠AOD的平分线，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是∠AOC的平分线，则①∠AOB＝∠BOC＝12∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．【角 397364 角的有关计算例3】举一反三：【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80︒，求：∠MON.【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOC.(角平分线的定义)∴∠MON=∠MOB＋∠BON=12∠AOB＋12∠BOC=12(∠AOB＋∠BOC)=12∠AOC=12×80︒=40︒ .即∠MON=40︒.类型四、余角、补角、对顶角5.（2016春•曹县校级月考）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．【思路点拨】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．【答案与解析】解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有180﹣x=2（90﹣x）+40，解得x=40．答：这个角的度数是40°．【总结升华】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A． B．C．D．【答案】C．解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2=90°，即选项C中，∠1与∠2互为余角．类型五、方位角及钟表上有关角问题6.（2015•浦东新区三模）已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A，B的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．7.计算： 4时15分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如下图，设4时15分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，时针转过的角度为：30°×4＋0.5°×15，分针转过的角度为：6°×15，所以∠α＝30°×4＋0.5°×15-6°×15＝37.5°．解法二：如上图，∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．即4时15分时针与分针的夹角为37.5°．【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．。
圆心角--知识讲解(基础)
圆心角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角的概念；2.掌握弧、弦和圆心角定理及其推论，并能解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.BAO要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2．1°的弧的定义1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相，，，等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角的概念1.判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.【思路点拨】根据圆心角的定义进行判断．【答案与解析】解：①不是，因为顶点在圆内非圆心的位置;②不是，因为顶点在圆外，没有在圆心;③不是，因为顶点在圆上，而不是在圆心;④是，满足圆心角定义.【总结升华】掌握与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角等.类型二、圆心角定理及推论2.（2016台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若则的度数为何？（）=150°∠A=65°∠D=60°A．25B．40C．50D．55，，，，，，，．【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【答案】B【解析】解：连接OB、OC，∵OA=OB=OC=OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A=65°∠D=60°∴∠1=180°﹣2∠A=180﹣2×65°=50°∠2=180°﹣2∠D=180﹣2×60°=60°∵=150°∴∠AOD=150°∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°则=40°故选B【总结升华】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．举一反三：【变式】如图，AB是⊙O的直径，BC CD DE，∠COD＝35°，求∠AOE的度数．【答案】解：∵BC CD DE，∠COD＝35°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°，∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75°．3.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知AD=BC，AD⊥CB．（1）求证：AB=CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．【答案与解析】（1）证明：如图，∵AD=BC，∴∴=﹣，=﹣，即=∴AB=CD；（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF=FD，BG=CG．∵AD=BC，∴AF=CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF．设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，解得x=3．则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．【总结升华】本题考查了勾股定理，垂径定理以及圆心角、弧、弦间的关系．注意过圆心作弦的垂线是圆中常见的辅助线．B D.举一反三：【变式】已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【答案与解析】证法一：如图①，∵AB＝CD，∴AB C D．∴AB BD CD，即AD BC，∴AD＝BC．证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD．∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，即∠AOD＝∠BOC，∴AD＝BC．4.如图所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:AE B F【思路点拨】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【答案与解析】证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴AE BF.【总结升华】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弦对等弧求解．举一反三：【变式】如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA.求证：AC AE.COAE B【答案】证明：连接OE，∵BE∥OA，∴∠B=∠COA，∠E=∠AOE，∵OE=OB，∴∠B=∠E，∴∠COA=∠AOE，∴AC AE.。
二年级认识角的知识点(一)
二年级认识角的知识点(一)二年级认识角知识点一：什么是角？•角是由两条射线共同起点的图形部分。
•角的起点称为顶点，两条射线称为边。
知识点二：角的度量•角的度量单位是度（°）。
•一个完整的圆共有360°，所以一个直角等于90°。
•角的大小可以通过量角器或者直尺进行测量。
知识点三：角的分类•根据大小不同，角可以分为锐角、钝角和直角。
–锐角：小于90°的角。
–钝角：大于90°小于180°的角。
–直角：等于90°的角。
知识点四：角的记法•以英文字母表示角的顶点，顶点字母放在中间，两个边上的点按照字母的顺序书写。
•例如，ABC表示以点B为顶点的角，边BA和边BC是角的两条边。
知识点五：角的比较•角的大小可以通过比较角的度数来进行。
•比较角度大小时，可以利用角度的性质和几何关系进行判断。
知识点六：角的运算•角可以进行加法和减法运算。
•例如，两个角的度数相加或相减得到一个新的角。
知识点七：角的构造•可以使用直尺和量角器进行角的构造。
•构造角的过程中，需要确定角的顶点和两条边的长度。
知识点八：实际生活中的角•角存在于我们生活中的各个方面，比如：门的开启角度、日出日落的角度等。
•了解角的概念和度量方法，有助于我们观察和理解周围事物。
以上是关于二年级认识角的一些相关知识点的详解。
通过学习这些知识点，学生可以掌握角的基本概念、度量方法以及构造运算等内容。
在实际生活中，角处处可见，理解角的概念有助于我们更好地观察和理解世界。
知识点九：角的性质•对于任意一个角，它的两个边可以延长，但是角的顶点不能变。
•对于顶点固定的角，改变边的长度或角的度数，角的形状也会发生变化。
•对于顶点固定的角，不同的边之间可以相互交换位置，但是角的大小不变。
知识点十：角的衡量•角的度数越大，角的开口程度也就越大；角的度数越小，角的开口程度也就越小。
•相同大小的角，可以通过旋转和移动，重合在一起。
七年级数学角知识点
七年级数学角知识点数学是一门抽象而又具有逻辑思维的学科，而角是数学中的一个基础概念。
在学习数学的过程中，角的概念、性质、分类等都是七年级学生必须掌握的知识点。
本文将从以下几个方面介绍七年级数学角知识点。
一、角的概念角是由两条射线共同围成的图形部分，其中两条射线称为角的边，公共端点称为角的顶点。
角通常用字母表示，如∠ABC。
二、角的度量角的度量是指一个角所包含的弧长在圆的周长中所占的比例。
圆周角的度量为360度，而直角的度量为90度，这些是七年级学生需要掌握的角的度量。
三、角的性质(1) 对顶角：若两个角的顶点相同，且两个角的的边是相对的，那么这两个角叫做对顶角，它们是相等的。
(2) 邻补角：邻补角是指两个角的和等于90度，它们共享一条边。
(3) 垂直角：垂直角是指两条相交直线所构成的角，它们的度量相等，均为90度。
四、角的分类(1) 锐角：度量小于90度的角称为锐角。
(2) 直角：度量等于90度的角称为直角。
(3) 钝角：度量大于90度小于180度的角称为钝角。
五、角的运算角的运算包括加法、减法、乘法和除法。
(1) 加法：两个角的和等于它们的辐射线的夹角。
(2) 减法：将一个角减去另一个角的度数就是这两个角的差。
(3) 乘法：角的乘法是指对角度数乘以一个数字。
(4) 除法：角的除法是指将一个角的度数除以一个数字。
总结：数学角知识点是中学数学的基础知识之一，学生必须牢固掌握。
本文从角的概念、性质、分类、度量和运算等几个方面详细介绍了七年级数学角知识点，希望能够对同学们的学习有所帮助。
角的概念及基础计算-讲义(教师版)
角的概念及基础计算一、课堂目标1．理解角的概念及表示方法．2．掌握角的度量及类比线段的大小比较学习角的大小比较．3．会对度、分、秒进行换算，会进行角的四则运算．4．理解角平分线的意义，会进行简单的角的和差计算．【备注】【目标解读】a.关联知识：几何初步是初中第一次接触几何知识，是小学学习过的几何内容的延续，是初中后续学习几何知识的基础．b.本讲解读：本讲重点内容是会角的换算，能进行简单的角的计算．本讲的难点是角的四则运算及角的简单计算．c.能力素养：培养学生空间观念、几何直观、推理能力．二、知识引入观察日常生活的图片，会发现生活中处处都能见到和角相关的图形．【备注】【教学建议】学生在小学对于角的概念就已经有粗浅的认识，教学中可再次举一些生活中实例帮助学生进一步理解．简单过度后，开始本讲和角有关内容的学习．三、知识讲解1. 角的概念及计算角的概念看完视频，我们来总结一下．角的概念注意静的角度动的角度1．角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．2．角的两条边是射线，是无限延伸的．3．射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．常见的几种角：锐角大于而小于的角叫做锐角．直角的角，即射线绕点旋转，当终边与始边垂直时所成的角．钝角大于而小于的角叫做钝角平角的角，即射线绕点旋转，当终边在始边的反向延长线上时所成的角．周角的角，即射线绕点旋转，当终边与始边重合时所成的角．【备注】【教学建议】1．要强调，如无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都指小于平角的角．2．不可以说直线是平角，直线是一条线，平角是射线绕它的端点旋转180°后形成的图形．同样不可以说周角是射线．角的表示方法（）利用三个大写字母来表示，如图：（）利用一个大写字母来表示，如图：（）用数字来表示角，如图：（）用小写的希腊字母来表示角，如图：【备注】【教学建议】提醒学生注意：①用三个大写字母表示时，表示顶点的字母必须写在中间．其他两个字母可以调换位置，如图也可记为，但不能写成或等．②用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③当在一个顶点处有两个或两个以上的角时，其中的任一个角都不能用一个大写英文字母表示．④在角的内部靠近顶点处画弧线，用单独的个数字来表示．⑤用同一个数字或小写的希腊字母不能表示超过一个以上的角．经典例题1A.B.C.D. 1. A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】【标注】下列语句正确的是（ ）．由两条射线组成的图形叫角把一个角放到一个放大倍的放大镜下观看，角的度数也扩大倍角的两边是射线，所以角不可以度量角的大小与所画角的两边的长短无关，只与两条边张开的角度有关【答案】D由两条射线组成，且得有公共端点，错；把一个角放到放大镜下观看，长度会变，但角度不变，错；角的大小度量只需要关注两条边张开的角度，可以度量，错；角的大小与所画角的两边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，对．故选 D .【知识点】角的表示方法。
36角(基础)知识讲解
角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1 图2要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角和补角1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
七年级数学角知识点讲解
七年级数学角知识点讲解在初中数学中，角是一个比较重要的概念，也是很多数学知识点的基础。
本文将为大家详细讲解七年级数学中的角知识点。
1. 角的基础概念角是由两条射线共同固定一个端点而形成的图形。
其中，这个端点称为顶点，两条射线分别为角的两条边。
2. 角的分类按角的大小可以将角分为：（1）锐角：其度数在0度到90度之间。
（2）直角：其度数为90度。
（3）钝角：其度数在90度到180度之间。
（4）平角：其度数为180度。
按角的位置可以将角分为：（1）内角：位于图形内部的角，其两条边位于图形的两边。
（2）外角：位于图形外部的角，其两条边中的一条与图形的一边共线。
3. 角的度数计算角的度数计算有两种方式，一种是通过测量器测量，另一种是通过计算公式计算。
计算公式如下：（1）一周的度数是360度。
（2）一个直角角度是90度。
（3）一个平角角度是180度。
（4）一个钝角度数是180度减去这个角度的补角。
（5）一个锐角度数是90度减去这个角度的余角。
4. 角图形的性质（1）共线定理：如果一条直线上有两个角，那么这两个角的度数之和等于180度。
（2）垂直定理：如果两条直线相交，且形成了四个角，如果其中两个角是相互垂直的，那么这两个角中必有一个是直角。
（3）同旁内角定理：如果两条平行线被一条横线交叉，那么这两条平行线上同旁的内角互相等于。
（4）同旁外角定理：如果两条平行线被一条横线交叉，那么这两条平行线上同旁的内角互相补角。
通过以上的角知识点讲解，相信大家已经对初中数学中的角有了一定的了解。
在学习角的过程中，要注意理论和实践相结合，多做练习题，加深对角的理解和掌握。
角基础知识讲解.docx
角基础知识讲解要点一、角的概念1. 角的定义：定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.如图1所示，角的顶点是点0,边是射线0A 、0B.定义二：一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是如的内部. 如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边, 终止位置OB 是角的终边.要点诠释：(1) 两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的人小与角的两边的长短无关.(2) 平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条XL 线时，所 形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，0B 和0A 重合时，所形成的角叫做周角.BOA 平角图1 2.角的表示法：角的几何符号用‘ 表示，角的表示法通常有以下四种：表示方法图示™ 记法 适用范围(1)用三个大写字母表示 0 B 乙A0B 或 LB0A 任何情况祁适 用，表示顶点的 字母写在中间(2)用一个大 写字母表示 O乙0 以某一点为顶点的角只有一个 时，可以用顶点表示用 (3)用阿拉 伯数字表示Z.1 任何情况都适用(4)用希腊字母表示乙a 任何情况都适用要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母. 3. 角的画法(1) 用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角.(2) 用量角器可以画出任意给定度数的角.4(B) 周角图2(3)利用尺规作图可以画一•个角等于已知角.耍点二、角的比较与运算1 .角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的丄为1分，60记作“ 1’ ”，1’的丄为1秒，记作“1〃”.这种以度、分、秒为单位的和的度量制，叫做角度制.601 周角= 360° , 1 平角= 180° , 1° =60’，1’ =60" . ______________________________________________ 要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算.2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有三种.方法1：目测法方法2：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.方法3：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.如比较ZAOB和ZA' O/ B'的大小：如下图，由图（1）可得ZAOBVZA' O' B'；由图（2）可得ZAOB=ZA r O' B‘ ；山图（3）可得ZAOB>ZA Z O'B‘ .⑴⑵⑶类型一、角的概念及表示1.下列语句止确的是（）A.两条直线相交，组成的图形叫做角.B.两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角.C.两条具有公共端点的射线组成的图形叫做饬.D.过同一点的两条射线纟IL成的图形叫做角.举一反三：判断下列说法是否止确（1）两条射线纽成的图形叫做角（）-（2）平角是一条直线（）（3）周介是一条射线（）2.写出图中（1）能用一个字母表示的角；（2）以B为顶点的角；（3）图中共有几个角（小于180°）.类型二、角度制的换算3.（1）把25. 72°分别用度、分、秒表示⑵把45° 12’ 30"化成度类型三、角的比较与运算已知ZAOB（如图所示），画一个角筹于这个角.作法：（1）以点0为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA、0B于点C、D；（2）画一条射线O' A',以点0’为圆心，0C长为半径画弧，交0’ A'于点C'；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧交于点D':⑷过点D'作射线O' B',则ZA' O' B‘ =ZAOB.4.不用量角器，比较图1和图2中角的大小.（用">”连接）5.计算下列各题：(1) 152° 49’ 12" +20. 18°(3)70° 56' -26°31’(4)90° -32°51’18"(2)82° -36°42’ 15"达标测试1.下面四个图形中，能用Zl, ZAOB, Z0三种方法表示同一个角的图形是（）2..关于平角、周角的说法正确的是（）.A.平角是一条直线.B.周角是一条射线C.反向延长射线0A,就成一个平角.D.两个锐角的和不一定小于平角3.把一个平角16等分，则每份（用度、分、秒表示）为_________ ____ .4.判断正误，对的打“ V ”，错的打“ X ”。
第三单元《角的初步认识》(单元解读)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角相关的实际问题，如角的度量、比较和应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，使用量角器测量不同物体上的角度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
在小组讨论中，学生们的思维非常活跃，他们能够从不同的角度提出角的实际应用。这部分的成果分享让我看到了学生们的创造力和思考能力。但同时，我也注意到有些学生在这个过程中比较沉默，我应该在以后的课堂中鼓励他们更多地参与到讨论中来，增强他们的自信心。
总的来说，今天的课堂教学有成功之处，也有需要改进的地方。我会在课后认真反思，根据学生的反馈和学习情况，调整教学方法，力求让每位学生都能在角的初步认识这一章节中学有所获，为后续的几何学习打下坚实的基础。
在新课讲授中，通过案例分析，学生们能够将抽象的角的概念与具体的事物联系起来，这有助于他们更好地理解角的应用。然而，我也观察到在重点难点解析时，部分学生在角的度量上遇到了难题。这让我意识到，除了课堂讲解，还需要设计更多的实践活动，让学生动手操作，以提高他们对量角器的使用熟练度。
实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现得相当积极。他们通过实际操作，加深了对角度大小的直观感受。不过，我也发现有些小组在讨论时偏离了主题，这说明在小组活动中，我需要提供更明确的指导和监督，确保讨论的方向和深度。
2.发展学生量感和空间观念，掌握角的度量方法，能够准确测量和比较角的大小。
3.培养学生逻辑思维和问题解决能力，运用角的性质解决实际问题，建立角的和差、倍数关系等概念。
4.增强学生几何图形构造能力，学会使用工具绘制和构造不同度数的角，提高动手操作和实践能力。
二年级语文角的初步认识知识点
二年级语文角的初步认识知识点本单元主要让学生通过观察和操作，初步认识角。
角是一种最基本的几何图形，认识角是进一步认识其他几何图形的基础。
你会整理二年级语文角的初步认识知识点吗?这里给大家分享一些二年级语文角的初步认识知识点，欢迎阅读!二年级语文角的初步认识知识点一、认识角1、角的特征：一个顶点，两条边(直的)2、角的大小：与两条边叉开的大小有关，与两条边的长短无关。
3、角的画法：(1)定顶点。
(2)由这一点引一条直线。
(3)画另一条边(直角时，用直角边对准画好的一条边后，沿着另一条直角边，画线)二、角的分类：1、认识直角：直角的特点，2、认识锐角和钝角：锐角比直角小，钝角比直角大。
3、会用三角尺来判断直角、锐角和钝角：吧三角尺上直角的顶点与被比较角的顶点重叠在一起，再将三角尺上直角的一条边与被比角的一条边重合，最后比较三角尺上直角的另一条边与被比角的另一条边，线上为直角，内为锐角，外为钝角。
4、画直角、锐角和钝角。
二年级语文角的初步认识教案导学目标：1、结合生活情境及操作活动，使学生初步认识角，会判断角，知道角的各部分名称。
2、通过学习了解角的大小与边张开的大小有关，与边的长短没有关系3、初步学会用直尺画角。
4、培养学生动手操作能力及体会到数学来源于实践的思想和团结合作的精神。
导学重点：初步认识角，知道角的各部分名称，学会用直尺画角。
导学难点：初步认识到角的大小与两条边张开的大小有关，与边的长短无关。
教具和学具：教具：电子白板、一个三角板、一个活动角学具：三角板、活动角导学过程：一、创设情境师：小兔请我们二(2)班的同学参观他们的新房子，你们愿意去吗?生：愿意师：房子是哪些图形组成的?生：三角形、长方形、正方形屏幕显示：从房子中拉出三角形、长方形、正方形，然后分别闪现长方形、正方形、三角形中的一个角引入：小朋友们，刚才闪动的图形是什么?你认识它吗?今天这节课我们就和角交朋友板书课题：认识角[设计理念：用情景引入，创设生动的小白兔的家，帮小白兔找一找它的家是由哪些图形组成的?让学生在轻松的情境中学习，而且富有童趣，能充分调动学生的兴趣和学习积极性]二、预学1、角不仅藏在图形里面，还藏在校园里面，你还能从校园的图形中找出一些角吗?(出示校园主题图)先让学生说说那里有角，课件再演示。
角的基础知识
角的基础知识一、基础知识1、与)3600(︒<≤︒αα终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ{}z k k ∈+=,2|απββ 2、终边落在个坐标轴上角的集合（1）终边在x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,180| ββ (2) 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ(3) 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ （4）终边在x 正半轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,360| ββ （5）终边在x 负半轴上的角的集合：{}Z k k ∈︒+⨯=,180360| ββ （6）终边在y 正半轴上的角的集合：{}Z k k ∈︒+⨯=,90360| ββ （7）终边在y 负半轴上的角的集合：{}Z k k ∈︒+⨯=,270360| ββ 或{}Z k k ∈︒-⨯=,90360| ββ3、象限角：终边落在第几象限就是第几象限的角。
（1）终边落在第一象限的角的集合：{}z k k k ∈︒+︒⋅<<︒⋅,90360360|ββ（2）终边落在第二象限的角的集合：{}z k k k ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅,180********|ββ（3）终边落在第三象限的角的集合：{}z k k k ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅,270360180360|ββ（4）终边落在第四象限的角的集合：{}z k k k ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅,360360270360|ββ 或{}z k k k ∈︒⋅<<︒-︒⋅,36090360|ββ 4、其它特殊角的集合（1）终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ（2）终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|ββ （3）若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：z k k ∈-⋅=,360βα(4)若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k(5)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180(6)角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk。
数学线和角知识点(二)
引言：在数学中，线和角是基础且重要的概念。
在前文中已经介绍了数学线和角的一些基本知识点，本文将进一步深入探讨数学线和角的一些高级知识点。
本文将分为五个大点进行讨论，并每个大点分别阐述了若干个小点，以便更好地理解和掌握这些数学知识。
一、线的类型1.直线：直线是最基本的线段，它由无数个点组成，永远是直的且没有弯曲。
2.射线：射线有一个起点，从起点出发，只有一个方向，没有终点。
3.线段：线段有两个端点，是有限长度的线。
二、线的性质1.平行线：如果两条线在同一个平面内，且不相交，那么它们是平行线。
平行线有许多重要的性质，如平行线的特点和性质、平行线的判定方法等。
2.垂直线：如果两条线的夹角为90度，那么它们是垂直线。
垂直线也有许多性质，如垂直线的特点和性质、垂直线的判定方法等。
三、角的类型1.钝角：钝角是大于90度小于180度的角。
2.直角：直角是等于90度的角，也是最常见的角度。
3.锐角：锐角是小于90度的角。
4.平角：平角是等于180度的角，是一条直线。
四、角的性质1.垂直角：如果两条相交线的相邻角互为补角，那么这两条相交线是垂直的。
垂直角有许多重要的性质和判定方法。
2.对顶角：对顶角是两组相交线对应的角。
3.共顶点角：两条直线以一个点为顶点的相邻角。
4.互补角和补角：如果两个角的和等于90度，那么它们是互补角；如果两个角的和等于180度，那么它们是补角。
五、角的测量和计算1.角度的测量单位：角度的测量通常使用度（°）作为单位，一周等于360度。
也可以使用弧度作为单位进行测量。
2.角度的加减法：角度的加减法遵循一些基本规则，如同号相加、异号相减等。
3.角度的倍数关系：一个角的大小可以是另一个角大小的倍数。
通过倍数关系，可以进行角度的换算和计算。
结论：通过本文的介绍，我们了解了线和角的一些高级知识点，包括线的类型和性质、角的类型和性质以及角的测量和计算方法。
这些知识点对于数学的学习和应用起到了重要的作用。
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角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1． 角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB ．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1 图2要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的是 ( )A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．举一反三：【变式】判断下列说法是否正确：(1)两条射线组成的图形叫做角 ( )(2)平角是一条直线 ( )(3)周角是一条射线 ( )【答案】(1)× (2)× (3)×2. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B 为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).【答案与解析】解：(1)能用一个字母表示的角∠A 、∠C ．(2)以B 为顶点的角∠ABE 、∠ABC 、∠CBE ．(3)图中共有7个角．【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； (2)一般数角时不包括平角和大于平角的角．类型二、角度制的换算3. (1)把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″． (2)130300.560'⎛⎫'''=⨯= ⎪⎝⎭，112.512.50.2160⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭°≈° 所以45°12′30″≈45.21°．【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】 (1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°+24′+36×160'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝33°+24′+0.6′ ＝33°+24.6′＝33°+24.6×160⎛⎫⎪⎝⎭°＝33.41° 类型三、角的比较与运算4.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．【答案与解析】解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．举一反三：【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．【答案】作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．5. 如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数．【答案与解析】解：因为OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又OB是∠AOD的平分线，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是∠AOC的平分线，则①∠AOB＝∠BOC＝12∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．【高清课堂：角 397364 角的有关计算例3】举一反三：【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80︒，求：∠MON.【答案】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOC.(角平分线的定义)∴∠MON=∠MOB+∠BON=12∠AOB+12∠BOC=12(∠AOB+∠BOC)=12∠AOC=12×80︒=40︒ .即∠MON=40︒.类型四、方位角6. A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是( ) ．A．南偏东60° B．南偏西60°C．南偏东30° D．南偏西30°【答案】D【解析】依题意画出示意图．由图可知，图中∠1即表示从A看B的北偏东30°，∠2是从B看A的方位角．由此可确定从B看A是南偏西30°．【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从B看A正好是一对对立的观察过程，其方向是一种“相反”的对应关系．方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来．举一反三：【变式】小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，此时小王家在小军家的________方向．【答案】北偏西30°类型五、钟表上有关夹角问题7.计算： 4时15分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如图（1），设4时15分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，时针转过的角度为：30°×4+0.5°×15，分针转过的角度为：6°×15，所以∠α＝30°×4+0.5°×15-6°×15＝37.5°．解法二：如图（1），∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．即4时15分时针与分针的夹角为37.5°【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．举一反三：【变式】2时48分时针与分针的夹角．【答案】解法1：如图(2)，设2时48分时针与分针的夹角为∠α，所以∠α＝360°-(48×6°-2×30°-48×0.5°)＝360°-204°＝156°解法2：如图(2)∠BOD＝30°×4＝120°，∠COD＝2×6°＝12°，∠AOB＝48×0.5°＝24°，所以∠AOC＝∠BOD+∠COD+∠AOB＝156°．即2时48分时针与分针的夹角为156°．。