高等数学教材第七章答案

高等数学教材第七章答案
第七章：多元函数微分学
1. 习题一答案：
1.1 题目：求函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解答：首先计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

根据偏导数的定义，我们将 $y$ 视为常数，对 $z$ 对 $x$ 进行求偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y
$$
接下来计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

同样，我们将 $x$ 视为常数，对 $z$ 对 $y$ 进行求偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x
$$
所以，函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$。

1.2 题目：计算函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。

解答：根据全微分的定义，我们有：
$$
df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy
$$
首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

对 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =
3y^2
$$
代入点 $(1, 1)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 3$ 和
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$。

此时，$dx$ 和 $dy$ 都等于 $1$。

代入公式 $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$：
$$
df = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 6
$$
所以，在点 $(1, 1)$ 处，函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 的全微分为 $df = 6$。

2. 习题二答案：
2.1 题目：计算函数 $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$ 的二阶偏导数。

解答：首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial
f}{\partial y}$。

对 $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}
$$
接下来对 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial
y}$ 再次求偏导数：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{2(y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^2},
\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{2(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2}
$$
最后计算混合偏导数 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ 和
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{-4xy}{(x^2 + y^2)^2},
\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{-4xy}{(x^2 + y^2)^2}
$$
由于 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2
f}{\partial x \partial y}$，所以函数 $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$ 的二阶偏导数是相等的。

3. 习题三答案：
3.1 题目：求函数 $z = x^3 + 3xy^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的方向导数沿着向量 $\mathbf{v} = (1, 1)$ 的值。

解答：方向导数的定义为：
$$
\frac{\partial z}{\partial \mathbf{v}} = \nabla z \cdot \mathbf{v}
$$
其中，$\nabla z$ 表示函数 $z$ 的梯度向量，$\mathbf{v}$ 表示给定的向量。

首先计算 $\nabla z$，即函数 $z = x^3 + 3xy^2$ 的梯度向量。

对$z$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + 3y^2, \quad \frac{\partial
z}{\partial y} = 6xy
$$
代入点 $(1, 2)$，得到 $\frac{\partial z}{\partial x} = 9$ 和
$\frac{\partial z}{\partial y} = 12$。

向量 $\mathbf{v} = (1, 1)$，所以 $\mathbf{v}$ 的长度为
$|\mathbf{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。

根据方向导数的定义，代入上述计算结果：
$$
\frac{\partial z}{\partial \mathbf{v}} = \nabla z \cdot \mathbf{v} = (9, 12) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) =
\frac{21}{\sqrt{2}}
$$
所以，在点 $(1, 2)$ 处，函数 $z = x^3 + 3xy^2$ 沿着向量
$\mathbf{v} = (1, 1)$ 的方向导数的值为 $\frac{21}{\sqrt{2}}$。