第15课函数的图象与简单变换

第15课函数的图象与简单变换

一、教学目标

1．掌握基本初等函数的图象特征，学会运用函数的图象理解和研究函数的性质；

2．掌握画函数图象的两种基本方法：描点法和图象变换法．

3.掌握图像的四种变换：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换

二、基础知识回顾与梳理

【回顾要求】

（1）用描点法画图的基本步骤？

（2）若函数y＝f(x)的图象如图所示，请说明（1），（2），（3）(4)四个图与原图的关系，并用数学符号表示

【要点解析】

1．数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置．

2．图象的每次变换都针对自变量而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平

移1

2

个单位．其中的x变成x－

1

2

.

3．要理解一个函数的图象自身的对称性和两个不同函数图象对称关系的不同．

4．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：

(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过

函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝1－x2的图象．

5．合理处理识图题与用图题

(1)识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

(2)用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．

6.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合的数学思想方法的运

用．

三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生完成四个小题，并写出主要方法、过程。教师抽查部分学生解答，了解学生的解题情况，使课堂教学有针对性，提高课堂效率。点评要简明扼要，可先提问学

生．

2、诊断练习点评

题1 要得到321x y +=-的图象，只需将2x y =图象上所有的点向 平移 个长

度单位，再向 平移 个 长度单位得到．

【分析与点评】看清函数形式特征．()y f x =→()y f x a =+→()y f x a b =++．

题2第2题改为 若01,a <<函数(5)log x a y +=不经过第_______象限

【分析与点评】提问学生函数log x a y =如何平移可得函数(5)log x a y +=的图象？画出函数的

示意图

题3 偶函数()f x ，x R ∈，满足(4)(1)0f f -==，且在区间[0，3]和(3,)+∞上分别递减

和递增，则不等式()0xf x <的解集为 ．

【分析与点评】（1）对于既给出函数奇偶性又给出函数单调性的问题，如何画出函数示意图？

利用数形结合的思想解题。答案是(,4)(1,0)(1,4)-∞-⋃-⋃．

变式：“偶函数”变为“奇函数”， []0,3改为(]0,3，则不等式()0xf x <的解集

为 ．

题4函数()()

lg 1f x x =-的大致图象是

（1） （2） （3） （4）

【分析与点评】)(x f y =的图象与)(x f y =的图象有何关系？

3、要点归纳

（1）要熟练掌握基本初等函数的图象特征及相互间存在的关系；

（2）掌握奇函数，偶函数的图象特征；

（3）充分利用条件作出示意图。运用数形结合思想可帮助学生解决有关解不等式和方程根

的个数等问题．

四、范例导析

例1将下列变换的结果填在横线上：

(1)将函数3x

y -=的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；

(2)将函数tan y x =的图象向右平移3个单位，得到函数 的图象；

(3)将函数2log (31)y x =-的图象向左平移2个单位，

得到函数 的图象；

(4)将函数3(2)y x =-的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得到函数 的图象．

【教学处理】可提问学生或让学生板书变换过程．对于错误的地方，可让其他学生进行纠正，教师再进行点评。突出重点，注意点，易错点．

【引导分析与精讲建议】

（1）前3小题都是平移变换，必须强调都是针对基本变量x （或y ）进行的。教师可板书一些常见的错误写法，让学生避免以后犯同样的错误．

（2）第4题伸缩变换，强调

()()y f x y af x ==横坐标不变纵坐标变为原来的a 倍；

1()()y f x y f x a ==纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍． 可借助学生较熟悉的三角函数变换帮助理解．

（3）总结上述解答，让学生明白，一个函数()f x 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，应认真总结这些经验．

例2 作出下列函数图象： (1) 221y x x =-+； (2) f (x )＝x 1＋x

； （3）2||y x x =-． 【教学处理】可点名让学生板演，要求写出主要过程（函数变形过程，图象变换过程）。巡视学生解答情况，对有困难的学生进行指导，并鼓励学生相互交流．

【引导分析与精讲建议】1、强调：对所给的函数，必须认真观察其结构特点，联想它们与熟悉的初等函数的关系．

第（1）题既可写成分段函数后作图，也可用对称变换作图；第（3）题注意绝对值符号对函数图象的影响，利用变换作图．

2、 第（2）题为齐次分式函数，体现反比例函数的平移。

3、 对于含绝对值符号的函数，可以利用“零点分区间”法去掉绝对值号，变为分段函数．

4、 形如()cx d f x ax b

+=

+的函数是由反比例函数经过平移变换得到的． 例3已知函数23x y x -=-.(1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间． 【教学处理】应强调对函数解析式变形的重要性：21133x y x x -=

=---，故可有如下变换过程：1y x -=→13y x -=-→113

y x -=+-；指导学生独立思考，尝试解决．教师巡视，了解学生解答情况，再请完成较好的同学板书或回答，关键地方教师要给予点拨，如渐近线．

【引导分析与精讲建议】1、怎样理解所给等价命题的正确性?

2、第(2)中对称中心的坐标直接求不出，那能怎么处理？

3、已知函数的奇偶性，能推导出什么结论？强调定义域关于原点对称。

五、解题反思

1、熟悉奇偶函数的图象特点，灵活运用奇偶函数性质解题．

2、必须对基本的初等函数的图象了然于胸，达到“自动化”的程度，这是画函数图象的基础．复杂函数的图象都要由这些函数的图象通过图象变换得到．