函数图象及其变换
高中趣味课——函数图象的变换
f(x)→-f(x)：两函数图象关于x轴对称.
f(x)→f(|x|)：两函数图象在x正半轴相同，f(|x|)为偶函数.
f(x)→|f(x)|：将f(x)中x轴下方的图象对称折向x轴上方，既得|f(x)|图象
就是要钻“牛角尖”，就是这么任性！！！
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所以，只需将y=x2的图象向左平移3个单位，再向下平移4
个单位即可！ 方法二：向量
二、伸缩变换
y=f(ωx)(ω>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点的
1 横坐标变为原来的 ,纵坐标不变得到. w
y=kf(x)(k>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点 的纵坐标变为原来的 k 倍，横坐标不变而得到.
三、对称变换
y=f(x)与y=f(-x)的图象关于Leabharlann y轴 对称； x轴 对称；
y=f(x)与y=-f(x)的图象关于
y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于
原点 对称；
y=|f(x)|的图象可将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分以
x轴 为对称轴翻折到 x轴 上方,其余部分不变；
一句话：左加右减，上加下减！
下面我们以f(x)=x2为例来说明平移变换：
例：函数y=x2+6x+5 的图象可由函数y=x2 的图象如何平移得到 ？
方法一：逆向思维--待定系数法：
令y=(x+k)2+b展开得：y=x2+2kx+k2+b，易得k=3，b=-4;
所以：y=x2+6x+5=(x+3)2-4
函数图像的变换
高中数学
函数图象变换
函数图象变换1、平移变换2、对称变换①y＝f（－x）与y＝f（x）关于y轴对称；②y＝－f（x）与y＝f（x）关于x轴对称；③y＝－f（－x）与y＝f（x）关于原点对称；④y＝f－1（x）与y＝f（x）关于直线y＝x对称；⑤y＝|f（x）|的图象可将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．⑥y＝f（|x|）的图象：可将y＝f（x），x≥0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性．三、伸缩变换①y＝Af（x）（A＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每一点的纵坐标伸（A＞1）缩（0＜A＜1）到原来的A倍，横坐标不变而得到．②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a＜1）缩（a＞1）到原来的，纵坐标不变而得到．三、初等函数及图象(大致图象)【高考试题剖析】1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象是（ ）【答案】A2．若函数f（x－1）＝x2－2x＋3（x≤1）则函数f－1（x）的草图是（ ）【解析】f（x－1）＝（x－1）2＋2 ①f（x）＝x2＋2 ②又∵①式中x≤1，∴x－1≤0，故②式中函数自变量x≤0，由②式得：x＝－，即f－1（x）＝－ （x≥2）．【答案】C3．已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋ｄ的图象如图2—6，则（ ）A．b∈（－∞，0）B．b∈（0，1）C．b∈（1，2）D．b∈（2，＋∞）【解析】由题知f（x）＝0有三个根0，1，2．∴f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d＝ax（x－1）（x－2）＝ax3－3ax2＋2ax．∴b＝－3a，∵a＞0，∴b＜0．【答案】A4．若函数y＝f（x）的图象过点（1，0），则它的反函数的图象必经过点_____．【解析】点（1，0）关于直线y＝x的对称点是（0，1）．【答案】（0，1）5．要得到y＝lg（3－x）的图象，只需作y＝lgx关于_____轴对称的图象，再向_____平移3个单位而得到．【解析】由y＝lgx的图象关于y轴对称得y＝lg（－x）的图象，要得y＝lg（3－x）即y＝lg［－（x－3）］的图象，需将y＝lg（－x）的图象向右平移3个单位．【答案】y 右【典型例题精讲】［例1］已知y＝f（x）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f（x）的解析式是（ ）A．B．x2－2|x|＋1C．|x2－1|D．【解析】当f（x）＝时，其图象恰好是上图．【答案】A［例2］画出函数y＝lg|x＋1|的图象．【解】y＝lg|x＋1|．［例3］要将函数y＝的图象通过平移变换得到y＝的图象，需经过怎样的变换？【解】y＝－1，先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位，即可得到y＝的图象．［例4］方程kx＝有两个不相等的实根，求实数k的取值范围．【解】设y1＝kx ①y2＝ ②方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图2—9．易知当OA与半圆相切时， ，故当0≤k＜时，直线与半圆有两个交点，即0≤k＜时，原方程有两个不相等的实根．［例5］作函数f（x）＝x＋的图象．【分析】f（x）＝x＋不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x）的性质进行研究．【解】函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），∵f（－x）＝－f（x），∴f（x）是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，又|f（x）|＝|x＋|＝|x|＋≥2，当且仅当|x|＝1时等号成立，∴当x>0时y≥2；当x<0时，y≤－2；当x∈（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；当x∈［1，＋∞）时函数为增函数，且缓慢递增，又x≠0，y≠0，∴图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象，再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图2—10所示．【评述】（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性．（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用．【综合能力训练】1．f（x）是定义在区间［－c，c］上的奇函数，其图象如图所示．令g（x）＝af（x）＋b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（ ）A．若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称B．若a＝－1，－2<b<0，则方程g（x）＝0有大于2的实根C．若a≠0，b＝2，则方程g（x）＝0有两个实根D．若a≥1，b<2，则方程g（x）＝0有三个实根【解析】将f（x）图象上每点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，再将所得图象向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位，得g（x）＝af（x）＋b的图象．【答案】B2．(2007．全国Ⅱ)把函数y＝ex的图象按向量＝(2，3)平移，得到y＝f(x)的图象，则f(x)＝ ( )(A)e x－3＋2 (B)e x＋3－2 (C)e x－2＋3 (D)e x＋2－3【答案】C3．(2008·菏泽模拟)如图为函数y＝m＋的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是 ( )(A)m<0，n>1 (B)m>O，n>l(C)m>O，0<n<1 (D)m<0，0<n<1【答案】D4．(2008．安庆模拟)函数y＝e－｜x－1｜的图象大致是( )【答案】D5．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0，2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A．95 B．91 C．88D．75【解析】画出图象，补形做出长方形AOBC，共有整点数11×16＝176，而六点（0，10），（3，8），（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（176＋6）×＝91．【答案】B6．将函数y＝logx的图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C，图象C1与C关于原点对称，图象C2与C1关于直线y＝x对称，那么C2对应的函数解析式是_____．【解析】C:y＝log（x－1）；由－y＝log（－x－1）得C1:y＝log2（－x－1）；求C1的反函数得y＝－1－2x．【答案】y＝－1－2x7．若函数y＝｜－x2＋4x－3｜的图象C与直线y＝kx相交于点M（2，1），那么曲线C与该直线有 个交点．【解析】（数形结合法）作y＝｜－x2＋4x－3｜的图象，知其顶点在M（2，1）．过原点与点M（2，1）作直线y＝kx，如图．∴曲线C与直线y＝kx有四个交点．【答案】48．作函数y＝（）|x－1|的图象．【解】（1）y＝故它在区间［1，＋∞）上的图象，可由y＝2－x（x≥0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到；在区间（－∞，1）上的图象，可由y＝2x（x<0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到．9．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（a＋x）＝f（a－x），求证y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．【证明】设p（x0，y0）是y＝f（x）图象上的任一点，则有y0＝f（x0），设点P关于直线x＝a的对称点为p′（x′，y′），则有，即 由y0＝f（x0）y′＝f［a－（a－x′）］＝f（x′）．即点p′（x′，y′）也在y＝f（x）的图象上．∴y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．【评述】本题的结论应熟记．10．画出函数y＝的图象，并利用此图象判定方程＝x＋a有两个不同的实数解时，实数a所满足的条件．【解】图象是抛物线y2＝2x＋1在y≥0上的部分．把y＝x＋a代入y2＝2x＋1，得（x＋a）2＝2x＋1，即x2＋2（a－1）x＋a2－1＝0，由Δ＝0得a＝1，此时直线与抛物线相切．又因抛物线顶点是（－，0），可知当直线过点（－，0）时，即a＝时直线与抛物线有两交点，故当≤a ＜1时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解．。
第7讲函数的图象
第7讲函数的图象一、基础梳理1．作图：描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)；④画出函数的图象．2．图象变换法(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．(3)翻折变换①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象．②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．(4)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)缩(a＜1时)到原来的a倍．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)缩(a＞1时)到原来的1 a.3．识图：对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．4．用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．一条规律对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．两个区别(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．三种方法画函数图象的方法有：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响；(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．题型精讲题型一作函数的图象【例1】分别画出下列函数的图象．(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1 x＋1；(3)y＝10|lg x|.针对训练分别画出下列函数的图象． (1)y ＝x 2－4|x |＋3； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|.题型二 函数图象的识辨【例2】(1)下列函数图象中不正确的是( )．(2)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是(3)设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52针对训练(1)函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )．(2)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )．题型三 函数图象的应用 【例3】(1)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． （2）函数y ＝3x －1x ＋2的图象关于________对称．(3)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的所有根之和为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 针对训练(1)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1](2)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是(3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．高考中函数图象的考查题型由解析式找图像【示例】函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )．二、图象平移问题【示例】若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )．三、图象对称问题【示例】y ＝log 2|x |的图象大致是( )．课时作业7一、选择题1．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )．2．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )．3．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )．4．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．5．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )． A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根二、填空题6．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．7．函数f (x )＝x ＋1x 的图象的对称中心为________．8．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________． 三、解答题9．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．10．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．。
函数图象的四大变换
你会利用图象的直观性来解决问题吗？
函数图象的四大变换
平移
翻折
对称 伸缩
一、知识点及基本方法
1、画函数图象的依据：⑴解析式及定义域；⑵图象变换
2、图象变换类型：常用变换方法有四种，即平移变换、 伸缩变换、对称变换 和翻折变换
(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移
y=f(x)
x
x－h ( h > 0 )
练习2：
已知 f(x)=log2|x|, g(x)=－x2+2，则f(x)g(x)的图象
只能是下图中的( )
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D，
当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
(3)伸缩变换：
y=f(x)
x
ωx (ω>1)
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍 ω
y=f(x)
x
ωx ( 0 < ω < 1)
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1倍 ω
y=f(x)
纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1) 到原来的A倍，横坐标不变
y=f(ω x) y=f(ω x)
y= A f( x)
y
y
y
O
1x -1
-1 O
函数图象变换
y
y = 2|x-1|
把 y = 2|x| 图象向右平移1个单位 得到函数 y = 2|x-1| 的图象. 由图象知函数的对称轴为 x=1 ，
0
x
函数的单调增区间为 [1 ，+∞)， 单调减区间为 (-∞，1].
函数图象的四大变换之
对称变换
1 例6设f(x)= (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=x
∴ y = 2|x| 图象关于y轴对称.
y = 2|x|
0
x
例5.
先作出函数 y = 2|x| 的图象， 解： 2 x ••• x 0) x ( 2 •• x 0) ( | x| y 2 x 1 x 2 ( x 0) ( ) ( x 0) 2 又 y = 2|x| 是偶函数，
f(-x)的解析式及其定义域并分别作出它们的图象。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 称 变 换
图象关于 x轴对称
图象关于
图象关于
原点对称
y轴对称
例7.指数函数 y = 2x 的图象与函数 y = 2-x ，y=-2x ，y = -2-x 的图象的关系：
x 3
(3，4) 3 图象恒过定点 _________.
3 图象是由 y a 3
沿 x 轴向右平移 3 个单位，再
沿 y 轴向上平移 3 个单位所得 .
又 y a 图象过定点 0 ， ， （ 1 ）
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
高考复习函数图象及其变换
高考复习函数图象及其变换．几种函数的图像基本初等函数及图象（大致图像）函数图像一次函数y=kxb二次函数y=axbxc指数函数y=ax对数函数y=logaxy ＝f(x＋h)y＝f(mx＋h)f(x)＋kf(ωx)Af(x)②上下平移：y＝eqo(――→,sup(k＞时上移k个单位),sdo(k＜时下移|k|个单位))f(x)y＝()对称变换①y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于对称②y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于对称③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于对称x轴y轴原点④y＝f(x)与y＝f－(x)的图象关于直线对称⑤y＝f(x)与y＝－f－(－x)的图象关于直线对称⑥y＝f(x)与y＝f(a－x)的图象关于直线对称．y＝xy ＝－xx＝a()翻折变换①作出y＝f(x)的图象将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方其余部分不变得到的图象②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象即得的图象．y＝|f(x)|y＝f(|x|)()伸缩变换①y＝Af(x)(A)的图象可将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标而得到②y＝f(ax)(a)的图象可将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标而得到A不变不变【答案】B【解析】．f(x)＝|x－|的图象为如下图所示中的()．为了得到函数y＝x－－的图象只需把函数y＝x的图象上所有的点()A．向右平移个单位长度再向下平移个单位长度B．向左平移个单位长度再向下平移个单位长度C．向右平移个单位长度再向上平移个单位长度D．向左平移个单位长度再向上平移个单位长度【解析】由y＝x得到y＝x－－需用x－换x用y＋换y即eqblc{rc(avsalco(x′＝x＋,y′＝y－))∴按平移向量(－)平移即向右平移个单位向下平移个单位．【答案】A．函数f(x)＝ax－b的图象如右图所示其中a、b 为常数则下列结论正确的是()A．abB．abC．abD．ab【解析】因图象是递减的故a又图象是将y ＝ax的图象向左平移了故b∴选D【答案】D设奇函数f(x)的定义域为,．若当x∈,时f(x)的图像如图所示则不等式f(x)的解集是【解析】由奇函数的图象关于原点对称画出x∈,的图象可知不等式f(x)的解集是(,)∪(,．【答案】(,)∪(,作出下列各个函数的图像：()y＝－x()y＝logeqf(,)(x＋)()y＝|logeqf(,)(－x)|()作函数y＝x的图象关于x轴对称的图象得到y＝－x的图象再将图象向上平移个单位可得y＝－x的图象．如图()因为y＝logeqf(,)(x＋)＝－log(x＋)＝－log(x＋)－所以可以先将函数y＝logx的图象向左平移个单位可得y＝log(x＋)的图象再作图象关于x轴对称的图象得y＝－log(x＋)的图象最后将图象向下平移个单位得y＝－log(x＋)－的图象即为y＝logeqf(,)(x＋)的图象．如图()作y＝logeqf(,)x的图象关于y轴对称的图象得y＝logeqf(,)(－x)的图象再把x轴下方的部分翻折到x轴上方可得到y＝|logeqf(,)(－x)|的图象．如图作函数图象的一般步骤为：()确定函数的定义域．()化简函数解析式．()讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如最值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．()选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．．采用图象变换法时变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点以显示图象的主要特征处理这类问题的关键是找出基本函数将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链然后依次进行单一变换最终得到所要的函数图象．作出下列函数的图像解作出的图象将的图象向右平移一个单位再向上平移个单位得的图象（）作出的图象保留图象中x≥的部分加上的图象中x的部分关于y轴的对称部分即得的图象其图象依次如下：（）若函数解析式中含绝对值可先通过讨论去绝对值再分段作图（）利用图象变换作图探究提高作出下列函数的大致图像：()y＝eqf(x,|x|)()y＝eqf(x＋,x－)()y ＝|logx－|()y＝|x－|【解析】()y＝eqblc{rc(avsalco(x(x＞),－x(x＜)))利用二次函数的图象作出其图象如图①()先作出y=logx的图象再将其图象向下平移一个单位保留x轴上及x轴上方的部分将x轴下方的图象翻折到x轴上方即得y=|logx|的图象如图③()先作出y=x的图象再将其图象在y轴左边的部分去掉并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象即得y=|x|的图象再将y=|x|的图象向右平移一个单位即得y=|x|的图象如图④eqx(由图象求解析式)如图所示函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成求函数解析式．【思路点拨】分段求函数解析式再合成分段函数形式本题分别设为一次函数和二次函数形式应抓住特殊点(,)(,)(,)(,)和(,)．设左侧射线对应的解析式为y＝kx＋b(x≤)∵点(,)(,)在此射线上．∴eqblc{rc(avsalco(k＋b＝,b＝))⇒eqblc{rc(avsalco(k＝－,b＝))∴左侧射线对应的解析式为y ＝－x＋(x≤)．同理当x≥时右侧射线对应的解析式为y＝x－(x≥)．设抛物线对应的解析式为y＝a(x－)＋(≤x≤a＜)．将点(,)代入得a＋＝∴a＝－∴抛物线对应的解析式为y＝－x＋x－(≤x≤)综上所述所求函数解析式为y＝eqblc{rc(avsalco(－x＋(x＜),－x＋x－(≤x≤),x －(x＞)))由函数图象求其解析式要注意观察各段函数所属的基本函数模型常用待定系数法抓住特殊点从而确定系数．．现有四个函数：()y＝x·sinx()y＝x·cosx()y＝x·|cosx|()y＝x·x的图象(部分)如下但顺序被打乱则图象()()()()对应的函数序号安排正确的一组是( )A．()()()()B．()()()()C．()()()()D．()()()()【解析】题图①对应的是偶函数图象对应()题图②对应的函数是非奇非偶函数对应()题图③对应的函数当x＞时存在函数值为负数对应()故选C【答案】C 例设ab,函数y=(xa)(xb)的图象可能是（）解析当xb时y,xb时y≤故选CC()函数y＝的图象大致为()A如图所示液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中开始时漏斗盛满液体经分钟漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量H是圆锥形漏斗中液面下落的距离则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是()Bf(x)=|xx|a与x轴恰有三个交点则a=解析y=|xx|,y=a 则两函数图象恰有三个不同的交点如图所示当a=时满足条件已知函数f(x)＝|x－x＋|()求函数f(x)的单调区间并指出其增减性()求集合M ＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}．【思路点拨】()画出f(x)的图象根据图象写出单调区间．()画出两个函数的图象令两个图象有四个交点得m的范围得集合M【解析】f(x)＝eqblc{rc(avsalco((x－)－x∈(－∞∪＋∞),－(x－)＋x∈()))作出图象如图所示．()递增区间为,∞)递减区间为(∞,．()由图象可知y=f(x)与y=mx图象有四个不同的交点直线y=mx应介于x轴与切线l之间．函数的图象形象地显示了函数的性质为研究数量关系问题提供了“形”的直观性它是探求解题途径、获得问题结果、检验解答是否正确的重要工具也是运用数形结合思想解题的前提．从图象的左右分布分析函数的定义域从图象的上下分布分析函数的值域从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值从图象的对称性分析函数的奇偶性从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等．．已知x是方程xlgx＝的根x是方程xx＝的根则xx等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】(分)已知函数f(x)＝eqf(ax＋,bx ＋c)(a＞b＞c∈R)是奇函数当x＞时f(x)有最小值其中b∈N*且f()＜eqf(,)()试求函数f(x)的解析式()问函数f(x)图象上是否存在关于点(,)对称的两点？若存在求出点的坐标若不存在说明理由．【思路点拨】()根据下列条件：①f(x)为奇函数②当x＞时f(x)有最小值③b∈N*且f()＜eqf(,)可求abc的值从而可以确定函数f(x)的解析式．()可先假设存在然后根据对称性来解决．【规范解答】()∵f(x)是奇函数∴f(－)＝－f()∴eqf(a＋,－b＋c)＝－eqf(a＋,b＋c)∴c＝－c∴c＝此时f(x)＝eqf(ax＋,bx)显然是奇函数分∵a＞b＞x＞∴f(x)＝eqf(a,b)x＋eqf(,bx)≥eqr(f(a,b))当且仅当x＝eqr(f(,a))时等号成立．于是eqr(f(a,b))＝∴a ＝b分由f()＜eqf(,)得eqf(a＋,b)＜eqf(,)即eqf(b＋,b)＜eqf(,)∴b－b＋＜解得eqf(,)＜b＜又b∈N*∴b＝∴a＝∴f(x)＝x＋eqf(,x)分()设存在一点(xy)在y＝f(x)的图象上并且关于点(,)的对称点(－x－y)也在y＝f(x)的图象上．则eqf(xoal(,)＋,x)＝yeqf((－x)＋,－x)＝－y分消去y 得xeqoal(,)－x－＝∴x＝±eqr()∴y＝f(x)的图象上存在两点(＋eqr()eqr())(－eqr()－eqr())关于点(,)对称分函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性常会放置在一起综合考查．函数f(x)上的某点A(xy)关于点(ab)的对称点为A′(a－x,b－y)利用此关系可求点的坐标或证明函数关于某点的对称问题．．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．．掌握函数作图的两种基本方法：()描点法()图象变换法包括平移变换、对称变换、伸缩变换．理解对数的概念及其运算性质了解对数换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数了解对数的概念理解对数函数的性质会画对数函数的图象了解指数函数与对数函数互为反函数．．对数函数的图象与性质若aa≠xyn∈N则下列各式：①(logax)n＝nlogax②(logax)n＝logaxn③logax＝－logaeqf(,x)④eqr(n,logax)＝eqf(,n)logax⑤eqf(logax,n)＝logaeqr(n,x)⑥logaeqf(x－y,x＋y)＝－logaeqf(x＋y,x－y)其中正确的个数有()A．个B．个C．个D．个【解析】只有③⑤⑥正确故选B已知loga＝mloga＝n则am ＋n＝【解析】因为loga＝mloga＝n所以am＝an＝所以am＋n＝(am)·an ＝×＝计算：(lgeqf(,)－lg)÷－eqf(,)＝－【解析】原式＝－(lg ＋lg)×eqf(,)＝－lg×＝－×＝－若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a且a≠)的反函数且f()＝则f(x)＝logx【解析】因为y＝ax的反函数为y ＝f(x)＝logax又f()＝loga＝所以a＝所以f(x)＝logx已知函数f(x)＝eqf(,r(logf(,)x＋))则函数f(x)的定义域是()A．(－eqf(,))B．(－eqf(,)C．(－eqf(,)＋∞)D．(＋∞)【解析】由logeqf(,)(x＋)＝logeqf(,)得x＋所以－x所以－eqf(,)x所以f(x)的定义域为(－eqf(,))故选A一有关对数及对数函数的运算问题【例】()设函数f(x)＝eqblc{rc(avsalco(f(,)xx≥,f x＋x))则f(log)＝()设a＝b＝则eqf(,a)＋eqf(,b)＝()计算：lg(lg＋lg)＋(lgeqr())＋lgeqf(,)＋lg＋log【解析】()因为log所以f(log)＝f(＋log)＝f(＋log)＝f(＋log)＝(eqf(,))＋log＝(eqf(,))·(eqf(,))log＝eqf(,)×eqf(,)＝eqf(,)()由a＝b＝得a＝logb＝log 再根据换底公式得a＝log＝eqf(,log)b＝log＝eqf(,log)所以eqf(,a)＋eqf(,b)＝log＋log＝log(×)＝()原式＝lg(lg＋)＋(eqr()lg)＋lg(eqf(,)×eqf(,))＋log＝lg·lg＋lg＋lg－＋＝lg(lg＋lg)＋lg＋＝(lg＋lg)＋＝【点评】对数函数的真数与底数应满足的条件是求解有关对数问题时必须予以重视的另外研究对数函数时尽量化为同底．素材()计算：lg＋eqf(,)lg＋lg·lg＋(lg)＝()已知log＝a,b＝则lg＝eqf(a,b＋)(用ab表示)．【解析】()原式＝lg＋lg＋lg(lg＋lg)＋(lg)＝(lg＋lg)＋(lg)＋lg·lg＋(lg)＝lg＋(lg＋lg)＝＋＝【解析】()因为log＝a所以a＝eqf(lg,lg)lg＝eqf(,)alg又b＝所以b＝log＝eqf(lg,lg)＝eqf(－lg,lg)＝eqf(,lg)－lg＝eqf(,b＋)所以lg＝eqf(a,b＋)二对数函数的图象与性质问题【例】已知f(x－)＝logaeqf(x,－x)(a且a≠)．()求f(x)的解析式并判断f(x)的奇偶性()判断函数的单调性()解关于x的方程f(x)＝logaeqf(,x)【分析】先用换元法求解解析式用定义判断奇偶性证明单调性解不等式时注意函数的单调性．【解析】()令x－＝t则x＝t＋所以f(t)＝logaeqf(＋t,－t)又eqf(x,－x)所以x所以t＋即－t故f(x)＝logaeqf(＋x,－x)(－x)．而f(－x)＝logaeqf(－x,＋x)＝loga(eqf(＋x,－x))－＝－logaeqf(＋x,－x)＝－f(x)故f(x)是奇函数．()设－xx则－x－x所以eqf(,－x)eqf(,－x)eqf(＋x,－x)＝－＋eqf(,－x)eqf(＋x,－x)＝－＋eqf(,－x)(ⅰ)当a时logaeqf(＋x,－x)logaeqf(＋x,－x)即f(x)f(x)故f(x)在(－,)上是增函数(ⅱ)当a时logaeqf(＋x,－x)logaeqf(＋x,－x)即f(x)f(x)故f(x)在(－,)上是减函数．()由()可知logaeqf(＋x,－x)＝logaeqf(,x)所以eqblc{rc(avsalco(f(＋x,－x)＝f(,x),－x,x))⇒eqblc{rc(avsalco(x＋x－＝,x))解得x＝eqr()－【点评】解决与对数有关问题首先要看对数函数定义域复合函数y＝logaf(x)的单调区间也是y＝f(x)的单调区间．研究由对数函数与其他函数的复合函数要以这两点为解题的突破口．素材()已知logeqf(,)alogeqf(,)blogeqf(,)c则a,b,c三个数从小到大的排列是cba ()若函数f(x)＝loga(－ax)在(,上是减函数则a的取值范围是(,)【解析】()因为logeqf(,)alogeqf(,)blogeqf(,)c又y＝logeqf(,)x是减函数所以abc而y＝x为增函数所以abc()因为a且a≠所以t＝－ax在(,上为减函数且t所以－a即a又f(x)＝loga(－ax)在(,上是减函数所以y＝logat 是增函数所以a故a即a的取值范围是(,)．三有关对数函数的综合问题【例】(·长沙模拟)设f(x)＝logeqf(,)eqf(－ax,x－)为奇函数a为常数．()求a的值()若对于,上的每一个x的值不等式f(x)(eqf(,))x＋m 恒成立求实数m的取值范围．【解析】()因为f(x)是奇函数所以f(－x)＝－f(x)⇒logeqf(,)eqf(＋ax,－x－)＝－logeqf(,)eqf(－ax,x－)⇔eqf(＋ax,－x－)＝eqf(x－,－ax)⇔－ax＝－x⇒a＝±经检验a＝－(a＝舍去)．()对于,上的每一个x的值不等式f(x)(eqf(,))x＋m恒成立⇔f(x)－(eqf(,))xm恒成立．令g(x)＝f(x)－(eqf(,))x＝logeqf(,)(＋eqf(,x－))－(eqf(,))xg(x)在,上是单调递增函数所以mg()＝－eqf(,)即m的取值范围是(－∞－eqf(,))．素材已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝ax(a且a ≠)的图象关于直线y＝x对称又将y＝g(x)的图象向右平移个单位长度所得图象的解析式为y＝f(x)且y＝f(x)在＋∞)上总有f(x)()求f(x)的表达式()求实数a的取值范围．【解析】()由已知y＝g(x)与y＝ax 互为反函数所以g(x)＝logax(a且a≠)所以f(x)＝loga(x－)．()因为f(x)＝loga(x－)在＋∞)上总有f(x)即loga(x－)所以当a时ax－在＋∞)上恒成立所以a又若a则loga(x－)在＋∞)上不可能恒成立．综上可得a 的取值范围是(,)．备选例题已知x≤且logx≥eqf(,)求函数f(x)＝logeqf(x,)·logeqr()eqf(r(x),)的最大值和最小值．【解析】因为x≤＝所以x≤又logx≥eqf(,)所以x≥eqr()故x∈eqr()．因为f(x)＝logeqf(x,)·logeqr()eqf(r(x),)＝(logx－)(logx－)＝(logx)－logx＋令logx ＝t因为x∈eqr()所以t∈eqf(,)所以y＝t－t＋＝(t－eqf(,))－eqf(,)当t ＝eqf(,)时即logx＝eqf(,)x＝eqr()时f(x)min＝－eqf(,)当t＝即logx＝当x＝时f(x)max＝。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结 高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到； 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象 ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象 如：（i ）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到； ②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii ）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =- 的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由 ()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--= 2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
函数的图像及其变换
的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位 而得到．总之， 对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴 对称； 对称； 对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即 当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离 相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
立足教育 开创未来
► 探究点3 判断、证明函数的单调性 题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围， 使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对 称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数， 则函数 y＝f(2x) )
【解析】 如图所示，不妨设正三角形ABC的边长 为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上 时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周 期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝
函数图像的变换
函数图像的变换函数图像的变换1、平移变换函数y = f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位得到函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位得到函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位得到函数y =f(x)- b 的图像(a ，b>0)。
2、伸缩变换函数 y = f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)得到函数 y = k f(x)的图像;函数 y = f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)得到函数y = f(k x)的图像(k>0，且 k ≠1)。
3、对称变换(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。
(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y =f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。
(3)绝对值问题①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下f(bx)=f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b≠0)(3)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;(4)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b≠0)(5)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;(6)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。
函数图像及其变换
1． f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的 ( )
【解析】 【答案】 B
2. （湖北卷）函数 y e |ln x| | x 1 |的图象大致是
D
（ D
）
（D ）
3．为了得到函数 y＝2 －1 的图象，只需 把函数 y＝2x 的图象上所有的点( ) A．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C ．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
2.函数图象的画法 函数图象的画法有两种常见的方法：一是描点法； 二是图象变换法 描点法：描点法作函数图象是根据函数解析式， 列出函数中x,y的一些对应值表，在坐标系内描出 点，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .作图时， 要与研究函数的性质结合起来
图象变换法：常用变换方法有4种，即平移变换、 翻折变换、伸缩变换和对称变换
y f (2a x)
a 对称的解析式为
④函数 y f ( x) 的图象关于点 (a, 0) 对称的解析式为
y f (2a x)
1 ⑤函数 y f ( x) 和 y f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称 .
【例1】 作出下列函数的大致图象
(1) y ( x 1) 1 (2) y log 2 ( x ) 1 (3) y 2
2.函数图象的画法 函数图象的画法有两种常见的方法：一是描点法； 二是图象变换法 描点法：描点法作函数图象是根据函数解析式， 列出函数中x,y的一些对应值表，在坐标系内描出 点，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .作图时， 要与研究函数的性质结合起来
函数图象的几种常见变换
函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。
函数图象变换的四种方式
函数图象变换的四种方式一，平移变换。
（1）水平平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。
（简记：左加右减，这里的a>0。
）（2）上下平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。
（简记：上加下减，这里的a>0）二，对称变换。
（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。
所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。
(简记：左右翻折)（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。
所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。
(简记：上下翻折)（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。
(简记：旋转180度)三，翻折变换。
（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形（简记：右不动，左对称）（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。
（简记：上不动，下上翻）四，伸缩变换。
(1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。
（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。
高中数学函数图象的变换
函数图象的变换资料编号:20190725一、函数图象的平移变换在平面直角坐标系中,函数图象的平移变换分为上下平移变换和左右平移变换两种.图象变换后,函数的解析式也发生了有规律的变化. （1）上下平移变换将函数的图象沿轴方向向上或向下平移个单位长度,得到函)(x f y =y ()0>b ()0<b b 数的图象,即遵循“上加下减”的原则. b x f y +=)(（2）左右平移将函数的图象沿轴方向向左或向右平移个单位长度,得到函)(x f y =x ()0>a ()0<a a 数的图象,即遵循“左加右减”的原则.)(a x f y +=例1. 将函数的图象向上和向下平移2个单位长度,画出平移后的函数的图象.x y =解:函数,即函数.x y =()()⎩⎨⎧<-≥=00x x x x y 将函数的图象向上平移2个单位长度,得到函数的图象,如图（1）所示;将x y =2+=x y 函数的图象向下平移2个单位长度,得到函数的图象,如图（2）所示.x y =2-=x y图图1图图图2图例2. 将函数的图象向左平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. x y 1=解:将函数的图象向左平移1个单位长度,得到函数的图象,如图（3）所示.x y 1=11+=x y图图3图说明:在图（3）中,反比例函数的图象无限趋近于轴和轴,但不相交.因此把轴和xy 1=x y x 轴叫做双曲线的两条渐近线.所以,函数的图象的两条渐近线分别是轴y x y 1=11+=x y x 和直线.1-=x 例3. 将函数的图象向右平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. 221)(x x f =解:将函数的图象向右平移1个单位长度,得到函数的图象,如图221)(x x f =()2121)(-=x x f （4）所示.图图4图1)2二、函数图象的对称变换在同一平面直角坐标系中,下列函数图象的对称关系为: （1）函数与函数的图象关于轴对称; )(x f y =)(x f y -=x （2）函数与函数的图象关于轴对称;)(x f y =)(x f y -=y（3）函数与函数的图象关于原点对称（即关于原点成中心对称）. )(x f y =)(x f y --=根据以上两个函数图象的对称关系,作出其中一个函数的图象,可以作出相应的另一个函数的图象.例4. 已知函数的图象如图（5）所示,画出函数的大致图象.)(x f y =)1(x f y -=图图5图解:∵ ,∴先作出函数的图象关于轴对称的函数()[]1)1(--=-=x f x f y )(x f y =y 的图象,如图（6）所示,再把函数的图象向右平移1个单位长度,即可得)(x f y -=)(x f y -=到函数的图象,如图（7）所示.)1(x f y -=图图6图图图7图三、函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对函数图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =)(x f y =和的图象.)(x f y =（1）要作出函数的图象,可先作出函数的图象,然后保留轴上及其上方)(x f y =)(x f y =x的图象,把轴下方的图象翻折到轴上方即可;x x （2）要作出函数的图象,可先作出函数的图象,然后保留轴上及其右侧)(x f y =)(x f y =y 的图象,把轴右侧的图象翻折到轴左侧即可.y y 例5. 画出函数的大致图象. 132+-=x x y 解: ()1521512132+-=+-+=+-=x x x x x y 先作出函数然后把函数向左平移1个单位长度,得到函数,5的图象x y -=的图象xy 5-=的图象,再把函数的图象向上平移2个单位长度,即可得到函数15+-=x y 15+-=x y 的大致图象,如图（8）所示.132+-=x x y图图8图说明:在图（8）中,直线和直线是函数的图象的两条渐近线. 1-=x 2=y 132+-=x x y 例6. 作出函数的大致图象.322--=x x y 解:先作出函数的图象,然后把轴下方的图象翻折到轴上方即可得到函数322--=x x y x x 的图象,如图（9）所示.322--=x x y图图9图3说明:事实上,函数为绝对值函数,可化为分段函数:322--=x x y . ()()⎩⎨⎧<<-++-≥-≤--=--=3132313232222x x x x x x x x x y 或例7. 作出函数的大致图象.322--=x x y 解:先作出函数的图象,然后保留其在轴上及其右侧的图象,把轴右侧的图322--=x x y y y 象翻折到轴左侧即可得到函数的图象,如图（10）所示.y 322--=x x y x 3图图9图说明:事实上,.()()⎩⎨⎧<-+≥--=--=03203232222x x x x x x x x y 习题1. 若方程有四个互不相等的实数根,则实数的取值范围是________. m x x =+-342m 提示:根据数形结合思想,构造两个函数:和常数函数,将方程的根的个342+-=x x y m y =数转化为两个函数图象的交点个数问题.习题2. 将函数的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,所()3122-+=x y 得的图象对应的函数解析式为________________.习题3. 画出函数的图象,并根据图象指出函数的值域.1322--+=x x x y。
函数图像的三种变换平移变换
函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。
同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。
沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。
同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。
据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。
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•(3)伸缩变换
•①y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的
纵坐标变为原来的•A 倍，横坐标•不变 而得到；
•②y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的
横坐标变为原来的 倍，纵坐•标不 变
4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]．若当 x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式 f(x)<0的解集是________.
【解析】 由奇函数的图象关于原点对称， 画出x∈[-5,0]的图象，可知不等式f(x)<0的解 集是(-2,0)∪(2,5]．
【答案】 (-2,0)∪(2,5]
函数图象及其变换
•1．几种函数的图像 函数
图像
一次函数 y＝kx＋b
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
图像
函数
指数函数 y＝ax
图像
函数
对数函数 y＝logax
图像
• 基本初等函数及图象（大致图像）
函数 一次函数 y=kx+b
图像
二次函数 y=ax2+bx+c
指数函数 y=ax
对数函数 y=logax
而得到.
•【解析】 •
• 【答案】 B
3．函数f(x)＝a x－b的图象如右图所示，其中 a、b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
【解析】 因图象是递减的，故0<a<1.又图 象是将y＝ax的图象向左平移了，故b<0，∴ 选D. 【答案】 D
⑤y＝f(x)与y＝－f－1(－x)的图象关于直线 _•_y＝__－__x_对称；
⑥y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线 __•x_＝__a_对称．
(4)翻折变换
①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方
的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部 分不变，得到__•y_＝______的图象； ②作出y＝f(x)在|fy(轴x)|上及y轴右边的图象部
•B
•5.f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个交点，则a=•4 . • 解析 y1=|4x-x2|,y2=a，则两函数图象恰有三 个 • 不同的交点. • 如图所示，当a=4时满足条件.
(2)由图象可知y=f(x)y=mx图象有四个不同 的交点，直线y=mx应介于x轴与切线l1之间 ．
【答案】 C
•例2 设a<b,函数 • y=(x-a)2(x-b)的图象可能是
（ •C）
• •解析 当x>b时，y>0,x<b时，y≤0.故选C.
•
(1)函数y＝
()
的图象大致为 •A
•3.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入 • 一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液 • 体，经3分钟漏完.已知圆柱中液面上 • 升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下 落 • 的距离，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的 • 图象只可能是( )
由函数图象求其解析式，要注意观察各段函 数所属的基本函数模型，常用待定系数法， 抓住特殊点，从而确定系数．
1．现有四个函数：(1)y＝x·sin x；(2)y＝ x·cos x；(3)y＝x·|cos x|；(4)y＝x·2x的图象( 部分)如下，但顺序被打乱，则图象 (1)(2)(3)(4)对应的函数序号安排正确的一组 是( )
(1)作函数y＝2x的图象关于x轴对称的图象 得到y＝－2x的图象，再将图象向上平移2个 单位，可得y＝2－2x的图象．如图1；
1.作函数图象的一般步骤为：
(1)确定函数的定义域．
(2)化简函数解析式．
(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶 性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特 殊点(如最值点、与坐标轴的交点、间断点等 )、线(如对称轴、渐近线等)．
(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数 图象．
2．采用图象变换法时，变换后的函数图象 要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以 显示图象的主要特征，处理这类问题的关键 是找出基本函数，将函数的解析式分解为只 有单一变换的函数链，然后依次进行单一变 换，最终得到所要的函数图象．
•
• 作出下列函数的图像.
••思维启迪 首先将简单的复合函数化归为基本初 •等函数，然后由基本初等函数图象变换得到.
•解
•作出
的图象，将
的图象向右平移一
•个单位，再向上平移2个单位得
的图象.
•（3）作出
的图象，保留
图象中
•x≥0的部分，加上
的图象中x>0的部分关于
•y轴的对称部分，即得
的图象.其图象依次
•如下：
•探究提高 •（1）若函数解析式中含绝对值，可先通过讨 论去绝对值，再分段作图. •（2）利用图象变换作图.
•y＝f(x＋h) •y＝f(mx＋h)
•f(x)＋k
•f(ωx) •Af(x)
(3)对称变换
①y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于__•_x___对
称；
轴
②y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于__•_y_轴_对
称； ③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于_•_原__点_对
称；
④y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线 ___•_y_＝__x_对称；
2．已知x1是方程xlg x＝2008的根，x2是方程 x10x＝2008的根，则x1x2等于( )
A．2005
B．2006
C．2007
D．2008
•【解析】 • 【答案】 D
函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性
常会放置在一起综合考查．函数f(x)上的某
点A(x0，y0)关于点(a，b)的对称点为A′(2a－ x0,2b－y0)，利用此关系可求点的坐标或证明 函数关于某点的对称问题．
(3)先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平 移一个单位，保留x轴上及x轴上方的部分，将 x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2x1|的图象，如图③.
(4)先作出y=2x的图象，再将其图象在y轴左边 的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对 称的图象，即得y=2|x|的图象，再将y=2|x|的图 象向右平移一个单位，即得y=2|x-1|的图象，如 图④.
函数的图象形象地显示了函数的性质，为研 究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是 探求解题途径、获得问题结果、检验解答是 否正确的重要工具，也是运用数形结合思想 解题的前提．
从图象的左右分布，分析函数的定义域；从 图象的上下分布，分析函数的值域；从图象 的最高点、最低点，分析函数的最值、极值 ；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从 图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期 性等．
A． (4) (1) (2) (3) C． (1) (4) (2) (3)
B． (1) (4) (3) (2) D． (3) (4) (2) (1)
【解析】 题图①对应的是偶函数图象，对 应(1)；题图②对应的函数是非奇非偶函数，
对应(4)；题图③对应的函数，当x＞0时存
在函数值为负数，对应(2)；故选C.