小结与习题

σ + τ a A + B, στ a AB , kσ a kA,
可逆， 可逆， 若 σ 可逆，则A可逆，且 σ −1 a A−1 . 可逆
4）设 σ (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A, ） 对 ∀ ∈V 若 α 在基下的坐标为 ( x 1 , x 2 , L , x α ， 则σ (α )在基下的坐标 ( y1 , y2 ,L , yn ) 満足
σ 在某组基下的矩阵为准对角形
⇔ V 可分解为一些 σ －子空间的直和 子空间的直和.
σ 在某组基下的矩阵为对角形
⇔ σ 的最小多项式是P上的互素的一次因式的乘积 的最小多项式是 上的互素的一次因式的乘积. 上的互素的一次因式的乘积
A ∈ C n×n 与对角矩阵相似 特别地， 特别地，
⇔ A 的最小多项式没有重根 的最小多项式没有重根.
基本内容 基本题型 例题 小测验
基本内容
一、线性变换及其运算 二、线性变换与矩阵 三、特征值与特征向量 四、线性变换与矩阵的对角化 重点： 重点： 线性变换的矩阵表示及它们对角化的条件和方法. 线性变换的矩阵表示及它们对角化的条件和方法 难点： 难点： 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系
σ ( k1α1 + k2α 2 + L + krα r )
= k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ).
2）线性变换的基本运算律 ） 3）线性空间V上所有线性变换作成的集合关于线性 ）线性空间 上所有线性变换作成的集合关于线性 变换的加法和数量乘法构成一个线性空间L(V)，且 ， 变换的加法和数量乘法构成一个线性空间 若 dim(V)＝n，则 L(V ) ≅ P n×n . ＝ ， σ 的值域σ (V )与核 σ −1 (0)都是 的子空 4）线性变换 都是V的子空 ） 间，且若 V = L(ε 1 , ε 2 ,L , ε n ), 则
ϕ : L(V ) → P n×n , σ a A 作映射 这里A为 下的矩阵. 这里 为 σ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵
则 ϕ 就是L(V )到 P
n×n
的一个同构映射. 的一个同构映射
从而，对任意 σ ,τ ∈ L(V ), ∀k ∈ P 若σ , τ 在基 从而， ， ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵分别为 、B，有 下的矩阵分别为A、 ，
值. 证明： 的属于 证明：A的属于 λ0 的线性无关的特征向量只有
一个. 一个 证：由 X , AX , A2 X ,L , An−1 X 线性无关，有 线性无关，
X , AX , A X ,L , A
2
n −1
线性相关，且 An X 能 X , A X 线性相关，
n
X , AX , A2 X ,L , An−1 X 线性表出 线性表出. 由
⇔ g A ( x ) f ( x ).
g 特别地， 的特征多项式. 特别地， A (λ ) f A ( λ ), f A (λ )为A的特征多项式. 的特征多项式
四、线性变换与矩阵的对角化
基本概念： 基本概念： 不变子空间； 不变子空间；Jordan标准形 标准形 基本结论： 基本结论：
σ
1）设为数域P上n 维线性空间 的线性变换，则 ）设为数域 上 维线性空间V的线性变换 的线性变换，
3）相似矩阵具有相同的特征多项式与最小多项式. ）相似矩阵具有相同的特征多项式与最小多项式 4）Hamilton-Caylay定理： ） 定理： 定理 设V的线性变换 的线性变换 在某组基下的矩阵为A， 在某组基下的矩阵为 ， 的特征多项式, 的特征多项式 f (λ ) = λ E − A 为A的特征多项式, 则
（1） ）
用 T k −1 作用（1）的两端，得 作用（ ）的两端，
a0T k −1ξ + a1T kξ + L + ak −1T 2 k − 2ξ = T k −1 0Biblioteka 由 T kξ = 0, 从而
即有
a0T k −1ξ = 0,
a0 = 0.
于是(1)式为 于是 式为
a1T ξ + L + ak −1T k −1ξ = 0
( )
( )
X = −( k − 1) − k , 又 ε 1 , ε 2 到 α1 ,α 2 的过渡矩阵 k k +1
(
)
T −1 在α1 ,α 2下的矩阵为 X −1 A−1 X , 于是
从而 T
−k
= T
−1
( )
−1
k
在α1 ,α 2下的矩阵为
(
X A X
−1
而 ( A−1 ) k = 0 −1 1 2
σ (ε i ) = α i ,
i = 1,2,L , n
2）同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 反之 ）同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的 反之, 矩阵相似, 则可看作同一线性变换在不同基下的矩阵. 矩阵相似 则可看作同一线性变换在不同基下的矩阵
3）任意取定线性空间V的一组基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n后， ）任意取定线性空间 的一组基
是线性空间V上的线性变换 例1、设T是线性空间 上的线性变换，如果 、 是线性空间 上的线性变换，
T k −1ξ ≠ 0, 但 T kξ = 0, 求证： ξ , T ξ ,L , T k −1ξ ( k > 0) 求证：
线性无关. 线性无关 证：设
a0ξ + a1T ξ + L + ak −1T k −1ξ = 0
n
),
x1 y1 y1 x1 y2 x 2 或 x 2 = A−1 y2 . M M M ＝ A M x y y x n n n n
三、特征值与特征向量
基本概念： 基本概念： 线性变换（矩阵）的特征值与特征向量； 线性变换（矩阵）的特征值与特征向量；特征多项 式与最小多项式；特征子空间 式与最小多项式；特征子空间. 基本结论： 基本结论： 1）线性变换与其在某组基下的矩阵的特征值、特 ）线性变换与其在某组基下的矩阵的特征值、 征向量及特征子空间之间的关系.（ 征向量及特征子空间之间的关系 （略） 2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的. ）属于不同特征值的特征向量是线性无关的
σ (V ) = L (σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) ;
σ 的秩＋ σ 的零度＝n； 的秩＋ 的零度＝ ； σ 是单射 ⇔ σ 是満射 是満射.
二、线性变换与矩阵
基本概念： 基本概念： 线性变换基下的矩阵； 线性变换基下的矩阵；相似矩阵 基本结论： 基本结论： 1）若 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为V的一组基，α1 ,α 2 ,L ,α n 为V中 ） 的一组基， 的一组基 中 任意n个向量， 任意 个向量，则存在唯一的线性变换 σ ，使 个向量
Er 0 . PAQ = 0 0
Er 0 , 2 令 C = 0 0 则 C = C.
而
A = P CQ
−1 −1
−1
−1
= P Q QCQ
−1
−1
−1
= RS .
S = QCQ −1 为幂等阵 为可逆矩阵， 为幂等阵. 这里 R = P Q 为可逆矩阵， 令 ∀ϕ ,ψ ∈ L(V ), 且它们关于基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 的矩阵
( )
2 1 −1 0
若基 α1 = ( − k + 1)ε 1 + kε 2 , α 2 = − kε 1 + ( k + 1)ε 2 下的矩阵. 其中 k ≥ 2, 求 T − k 在 α1 ,α 2 下的矩阵
A = 2 1 , 则 A −1 = 0 − 1 . 解：记 −1 0 1 2
于是T可逆， 于是 可逆，且 T −1 在基 ε 1 , ε 2 下的矩阵为 A−1 . 可逆
σ 在某组基下的矩阵为对角形 ⇔ σ 有n个线性无关的特征向量 ； 个线性无关的特征向量 ⇔ σ 的所有不同特征子空间的维数之和等于 ； 的所有不同特征子空间的维数之和等于n ⇔ σ 可分解为 个一维不变子空间的直和 可分解为n个一维不变子空间的直和 个一维不变子空间的直和.
2） σ 有n个不同特征值 ⇒ σ 可对角化 ） 可对角化. 个不同特征值 3）设σ 为数域 上n 维线性空间 的线性变换，则 ） 为数域P上 维线性空间V的线性变换 的线性变换，
( ) ( )( ) = ( −2 −3 ) ( 0 −1 ) 3 4 1 2 = L = ( − ( k − 1) − k ) k k +1
k
)
k
= X −1 ( A−1 ) k X
= −1 −2 0 −1 2 3 1 2
k −3
k −2
（用数学归纳法验证之） 用数学归纳法验证之）
故 X − 1 ( A −1 ) k X
一、线性变换及其运算
基本概念： 基本概念： 线性变换；可逆线性变换与逆变换； 线性变换；可逆线性变换与逆变换；线性变换的 值域与核；线性变换的秩与零度；线性变换的和、 值域与核；线性变换的秩与零度；线性变换的和、 差、积及数量乘法；线性变换的幂和多项式. 积及数量乘法；线性变换的幂和多项式 基本结论： 基本结论： 1） σ (0) = 0, σ ( −α ) = −σ (α ), ）
f ( A) = An − (a11 + a22 +L+ ann )An−1 +L+ (−1)n A E = 0. f (σ ) = σ n − (a11 + a22 + L + ann )σ n−1 + L + ( −1)n A E = 0.
5）设 g A ( x )是矩阵 的最小多项式， f ( x )以A为根 ） 是矩阵A的最小多项式 的最小多项式， 为根
a1 = 0.
（2） ）
作用(2)， 再用 T k − 2 作用 ，可得 依此类推可得
a0 = a1 = a2 = L = ak −1 = 0.
∴ ξ , T ξ ,L , T k −1ξ 线性无关 线性无关.
为线性空间V的基 的基， 的线性变换 的线性变换T在 例2、设 ε 1 , ε 2 为线性空间 的基，V的线性变换 在 、 基 ε 1 , ε 2下的矩阵为
分别为R、 ， 为可逆变换， 为幂等变换， 分别为 、S， 则 ϕ 为可逆变换，ψ 为幂等变换，且
σ = ϕψ .
阶复矩阵， 是 维列向量 维列向量， 例4、设A为n阶复矩阵，X是n维列向量，向量组 、 为 阶复矩阵
X , AX , A2 X ,L , An−1 X 线性无关， λ0 是A的一个特征 线性无关， 的一个特征
4）若当标准形存在定理.（略） ）若当标准形存在定理 （
基本题型
一、线性变换判定及运算 二、线性变换与矩阵的特征值、特征向量的求法 线性变换与矩阵的特征值、 三、特征多项式与最小多项式的求法 四、线性变换与矩阵的对角化判定、化法及证明 线性变换与矩阵的对角化判定、 五、线性变换的值域与核的求法及有关证明 六、不变子空间与线性空间分解的问题
设 An X = k1 X + k2 AX + k2 A2 X + L + kn An−1 X
A( X , AX , A2 X ,L , An−1 X ) 则
= ( X , AX , A X ,L , A
2 n −1
0 k1 X ) E n −1 K
= −( k − 1) − k k k +1
( )( = ( −( k − 1) − k ) k k +1
−1
−( k − 1) − k −( k − 1) − k k k +1 k k +1
)(
)
下的矩阵. 为 T −1 在基 α1 ,α 2 下的矩阵
维线性空间， 例3、设V为n维线性空间，证明：V上任意线性变换 、 为 维线性空间 证明： 上任意线性变换 都可表成一个可逆线性变换与一个幂等矩阵的乘积. 都可表成一个可逆线性变换与一个幂等矩阵的乘积 下的矩阵为A. 证：∀σ ∈ L(V ), 设 σ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵为 结论显然成立. 若 σ = 0, 结论显然成立 不妨设 σ ≠ 0, 则 A ≠ 0. 令秩(A)＝ ， 令秩 ＝r，则 r ≥ 1. 于是存在可逆阵P、 ， 于是存在可逆阵 、Q，使