金融数学-ppt课件等额年金

37
解：10万元每年产生的利息是7000元。 A所占的份额是
7 0 0 0 a 7 0 0 0 (7 .0 2 3 6 ) 4 9 1 6 5 1 0 |
B所占的份额是 7 0 0 0 ( a a ) 7 0 0 0 ( 1 0 . 5 9 4 0 7 . 0 2 3 6 ) 2 4 9 9 3
a n|
（Ｂ）每年末获得 i 元的利息收入，在第 n 年末收回１元本金，而第 n 年末收回 １元本金又相当于在每年末收回 1 元。 s
n|
换言之，第二个现金流相当于每年末收回 1 i 元。 s
n|
(参见下页图示）
11
1
1
a
n
0
1 a
n
……
1
1
a
a
n
n
n
1
i
i
1
1
s n
s n
i
i
i+1
1
1
s
s
n
n
s 1(1i)L(1i)n1 n
1 (1 i)n
1 (1 i)
(1 i) n 1
i
8
s (1 i)n 1
n
i
期末付定期年金的终值
9
一些等价关系式：
（1） 1 ia vn n 含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1
将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为i a n 。在第 n个时期末，收回本金1，其现值为 v n 。
2
1
1
in
n-1
n
42
期初付年金的现值 a & & n | 1 (1 i1 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 L (1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 L (1 in 1 ) 1
1
1
i1
0
1
1 i2
2
1 in
n-1
n
43
期末付年金的累积值
s n | 1 ( 1 in ) ( 1 in )( 1 in 1 ) L
款的现值为 a 。 n 1
25
＝
Present value
1 +
a n1 i 26
（4）
&s& s 1 n| n1|
Q s 1 1 ( 1 i ) ( 1 i ) n 1 ( 1 i ) ( 1 i ) n s & &
n 1 |
n |
说明: 如果在第 n 期末虚设一次付款，那么将有(n + 1)次付款，其终 值为 sn1| 。 从 sn1| 中减去虚设的 1 元（其终值仍然是 1 元），即得原来 n 次付款的 终值 sn | 。
a a&&
7|
7|
s &s&
7|
7|
31
5、永续年金（Perpetuity）
永续年金：可以持续支付下去的年金，没有结束日期。
记号 a 表示期末付永续年金的现值。 |
a vv2v3 v 1
|
1v i
lima lim1vn 1
i n n| n
i
永续年金可看作将本金 1 按利率 i 投资，每期支付利
为 v n ，因此 n 年的期末付年金的现值等于 i
a 1vn 1vn
nii
i
（参见下图）
34
a
1
n|
a
1
|
vna |
0
1
现金流时间图
1
1
1
1
1
1
1
1
……
1
1
……
2
…
n
n＋1
n＋2
……
a 1vn 1vn
nii
i
35
年金 期末付 期初付
年金公式比较
定期年金
现值
积累值
a 1 vn
n
i
a&& 1 v n
12
例 ：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为 9％，试对下面三种还款方式比较其利息总量。
本金和利息在第10年末一次还清； 每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。 在10年期内，每年末偿还相同的金额。
问题：请先推测大小？
13
解： （1）贷款在10年末的累积值为
1 0 0 0 1 .0 9 1 0 2 3 6 7 .3 6 利息总额为
(1 in)(1 in 1)L(1 i2)
1 i1
1 i2
0
1
2
1
1
in
n-1
n
44
期初付年金的累积值（请大家写出）
& s & n | (1 in) (1 in)(1 in 1 ) L
(1in)(1in 1)L(1i1)
1
1
i1
0
1
1 i2
2
1 in
n-1
n
45
2、每笔款项都以其支付时的利率 ik 计算（了解）
(1 i) (1 i)n 1 (1 i) n 1
(1 i) 1
d
19
a&& n|
和
&s & n
|
的关系
（1）
& s&a&&(1i)n
n|
n|
（2）
1 a&&n
1 &s&n
d
（显然） （证明见下页）
20
证明：
1
d
d
d
& s&n
(1i)n 1
dvn 1 vn
d
d 1 1 v n a&&
3
本节主要内容（等额年金）
期末付年金（Annuity-immediate） 期初付年金（Annuity-due） 期初付与期末付年金的关系 延期年金（deferred annuity） 永续年金（Perpetuity）
4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
n
d
23
期末付年金与期初付年金的关系
（1）
a&&(1i)a
n|
n|
Q a & & 1 v L v n 1 1 ( v v 2 v n ) ( 1 i) a
n
v
n
（2）
& s&(1i)s
n|
n|
Q & s & ( 1 i ) L ( 1 i ) n ( 1 i ) [ 1 L ( 1 i ) n 1 ] ( 1 i ) s
n
d
s (1 i)n 1
n
i
&s& (1 i)n 1
n
d
永续年金
a 1 i a&& 1 d
36
例： 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息 付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人 B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项 财产的年实际收益率为7％，确定三个受益者的相对 受益比例。
n
n
24
（3）
a&&1a
n|
n1|
Q a & & 1 v L v n 1 1 ( v v 2 v n 1 ) 1 a（下页图示）
n
n 1 |
说明: a&& 的 n 次付款可以分解为第1次付款再加上后面的 n
(n – 1) 次付款。第1次付款的现值为1元，而后 (n – 1) 次付
期初付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期期初付款1。
1 1 1 1 ……
1
0 1 2 3 ……
n-1 n
16
期初付定期年金的现值
17
期初付定期年金的终值
18
记号
a&& n
|
i
——表示期初付年金的现值，i 可省略
a& &1vLvn1 1vn 1vn
n
1v d
记号&s & ——表示期初付年金的积累值，i可省略 n |i & s&(1i)L(1i)n(1i)[1L(1i)n 1] n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
3
2
a a&&
7|
7|
s &s&
7|
7|
30
此年金在第12期的积累值等于
s (1i)3s s
7|
10| 3|
也等于
& s&(1i)2 & s&& s&
7|
9| 2|
1111111
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
3
2
1
1
1
……
1
1
n期 27
4、延期年金（deferred annuity）
延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。
0
1
m|
a n
2…
m m+1
a
1
n
…
…
1
m+n 1
推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个 m＋n期期末付年金扣除一个m期的年金。
延期年金现值为
m |an| vman| amn| am |
1
i
i
……
i
0
（2） sn an (1i)n
含义：积累值等于现值乘以积累因子。
1
10
（3）
1 1 i
as
n
n
证明：
1
i
s
i
(1i)n
i 1
n
i
i(1 i)n (1 i)n 1
i
i 1 vn
1 a
n
解释：考虑 n 年，在第一年的年初投资 1 元，其价值与下述两个现金流等价： （Ａ）每年末获得 1 元；
等额年金(I) （Level Annuity）
孟生旺 中国人民大学统计学院
1
年金（annuity）
最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列 款项。 现在的含义：一系列的付款（或收款）。
2
年金的类型
按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金 (Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。 按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。 按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金 （annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate） 。 按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金 （deferred annuity） 。 按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity)。
i
i1 1 息
，本金持续进行投资。
i
32
记号 a&& ——表示期初付永续年金的现值。 |
a& &1vv2 1 1
|
1v d
lim a&& n n|
lim 1 vn n d
1 d
33
n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差：
第一个是每年末付款1，现值为 1 ；
i
➢ 第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值
n
（参见下图解释）
21
1
1
1
a& &
a& &
n
n
0
1
d
d
1
1
&s & n
&s & n
1 a& &
n
……
d
d
1 a& &
n
n
d
1
1 &s &
n
22
3、期初付年金和期末付年金的比较
期末付年金
期初付年金
1 vn
a
n
i
s (1 i) n 1
n
i
a&& 1 v n
n
d
&s& ( 1 i ) n 1
2367.361000＝1367.36
（2）每年的利息为90万元，利息总额为 10×90＝900
14
（3）设每年的偿还额为R，则
解得
Ra 1000 10
R155.82
故利息总额为155.82×10－1000＝558.2 结论：偿还越迟，利息总量越高。
15
2、 期初付年金（annuity-due）
以它投资时的利率i1计算
以第二年的利率i2计算
1
i1
? i2
0
1
2
41
解决途径： 1、每笔款项以经历时期的利率计算
期末付年金的现值
a n | (1 i1 ) 1 (1 i1 ) 1 (1 i2) 1 L
(1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 L (1 in ) 1
1 i1
1 i2
0
1
111 0123
11 n-1 n
5
期末付年金的现值 a n
a 的表达式 n n期期末付年金的现值记为 a n |i ，a表示annuity，i表示每 期的实际利率（可省略）。
在第1个时期末付款1的现值为 v ，在第二个时期末付款
1的现值为v 2 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1
的现值为v n ，故
28
例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次 支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。
1111111
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
3
2
a a&&
7|
7|
s &s&
wenku.baidu.com
7|
7|
29
年金的现值等于
v2a a a
7|
9| 2|
也等于
v3a&&a&&a&& 7| 10| 3| 1111111
a vv2Lvn n
v (1 v n ) 1 v
1 vn
i
6
a 1 vn
n
i
期末付定期年金的现值 7
期末付年金的累积值（终值） s n
s 的表达式 n n期期末付年金在 n时的积累值之和记为 s n |i ， i 表示 每期的实际利率（可省略）。
在第1个时期末付款1的积累值是 (1 i)n1，在第二个时 期末付款1的积累值为 (1 i)n2 ，……，第n个时期末付 款1的积累值为1。
期末付年金的现值
a n | ( 1 i1 ) 1 ( 1 i2 ) 2 ( 1 in ) n
期末付年金的累积值
s n | 1 ( 1 in 1 ) ( 1 in 2 ) 2 L ( 1 i 1 ) n － 1
39
6、可变利率年金
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到 时刻 k 这段时间的利率， i1，i2，，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
i1
i2
0
1
2
in
n-1
n
40
例：第一年初的1元，计算它在第二年末的终值时，它
在第2年的利率按什么计算？
2 0 | 1 0 |
C所占的份额是
7 0 0 0 (a a) 7 0 0 0 (1 1 0 .5 9 4 0 ) 2 5 8 4 2
| 2 0
0 .0 7
38
从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49％，25％ 和26％。 注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其 现值等于
1.0172010000025842