(完整版)基于matlab的Lorenz系统仿真研究
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050100150200250300350
>> x0=[0.1,0.1,0.1];
>> [t,x]=ode45('Lore nz',[0,100],x0);
>> x0=[0.1,0.11,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lore nz',[O,1OO],xO);
>> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')
得到的图形如下所示：
>>x0=[0.1,0.1,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lore nz',[0,100],x0);
>> subplot(2,2,1)
>> plot(x(:,1),x(:,3))
>> title('(a)')
>> subplot(2,2,2)
>> plot(x(:,2),x(:,3))
>>title('(b)')
>> subplot(2,2,3)
>> plot(x(:,1),x(:,2))
>> title('(c)')
>> subplot(2,2,4)
>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
>> title('(d)')
运行上述程序，可得到如下波形:
其中，图（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，图（b）为Lorenz混沌吸引子在y-z平面上的投影，图（c）为Lorenz混沌吸引子在x-y平面上的投影，图（d）为Lorenz混沌吸引子的三维图。可以看到，混沌吸引子在各平面 上的投影类似于横写的“8”字形。
dx
dt=°(y-X)
dt =(片z)x- y
dz
{dt=-bz +Xy
其中，°、卩、b为正实常数。
本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果， 加深了对Lorenz系统的认识。
2.
首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程,固定°=10，卩=30,b=8/3，程序如下所示：
根据文献［1］，当卩＞1时，系统有三个平衡点：原点0(0,0,0)和P+,P-。此 时原点的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是不稳定平衡点。当1＜卩＜13.926
时，不稳定流形最终螺旋地趋于与之同侧的平衡点P+或P-;当卩=13.926时百度文库不
稳定流形刚好无限趋于原点O,即出现同宿轨；当卩＞13.926时，不稳定流形将绕 到另一侧，最终趋于与之异侧的P+或P-。可见，卩是一个同宿分岔点。因此，取 初值x=y=z=2，卩=8，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：
由于参数c=10,卩=30,b=8/3时为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很 小的差异会引起系统行为的显著改变。因此，将初值改为x=z=0.1,y=0.11,绘制
此时混沌吸引子在x-z平面上的投影，并与初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z平面上的投影放在同一张图中比较。为了区别两者，初值为x=y=z=0.1时混沌吸
60
50
40
30
20
10
0
-20-15-10-50510152025
可以看到，虽然初值只有0.01的改变，红色与蓝色图形明显不重合，这证明 了系统的敏感性。
3.
首先利用matlab的Simulink功能，搭建Lorenz系统的模型，仿真模型如下 图所示：
PToducM
在仿真模型中，取参数C=10,b=8/3，观察参数卩取不同值时系统的运行状
结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的
平衡点成为稳定的平衡点。
关键词：Lorenz系统；matlab;混沌系统
1.
Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lore nz在1963年为研究气候变化，通过 对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。这三个方程是混沌 领域的经典方程，Lore nz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有 着举足轻重的作用。Lore nz方程的表达式如下：
^态0
根据文献［1］的分析，当参数0＜卩＜1时，只有一个稳定平衡点0(0,0,0)0取初值为x=y=z=2,参数卩=0.5，仿真停止时间取为50，运行仿真。得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
050100150
JO・50510
可见，系统很快地趋向并稳定在0(0,0,0),验证了前面所述。
引子在x-z平面上的投影用蓝色，初值改为x=z=0.1,y=0.11时混沌吸引子在x-z平面上的投影用红色。程序如下所示：
>>clf
>>x0=[0.1,0.1,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lore nz',[0,100],x0);
>> plot(x(:,1),x(:,3))
>> hold on
fun cti ondx=Lore nz(t,x)
dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x (1)-x (2)-x (1)*x (3) ;x(1)*x (2)-2.6667*x (3)];
end
然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。程序如下所示：
>>clf
基于Matlab的Lorenz系统仿真研究
摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。首先使用matlab分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；
然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真
>> x0=[0.1,0.1,0.1];
>> [t,x]=ode45('Lore nz',[0,100],x0);
>> x0=[0.1,0.11,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lore nz',[O,1OO],xO);
>> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')
得到的图形如下所示：
>>x0=[0.1,0.1,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lore nz',[0,100],x0);
>> subplot(2,2,1)
>> plot(x(:,1),x(:,3))
>> title('(a)')
>> subplot(2,2,2)
>> plot(x(:,2),x(:,3))
>>title('(b)')
>> subplot(2,2,3)
>> plot(x(:,1),x(:,2))
>> title('(c)')
>> subplot(2,2,4)
>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
>> title('(d)')
运行上述程序，可得到如下波形:
其中，图（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，图（b）为Lorenz混沌吸引子在y-z平面上的投影，图（c）为Lorenz混沌吸引子在x-y平面上的投影，图（d）为Lorenz混沌吸引子的三维图。可以看到，混沌吸引子在各平面 上的投影类似于横写的“8”字形。
dx
dt=°(y-X)
dt =(片z)x- y
dz
{dt=-bz +Xy
其中，°、卩、b为正实常数。
本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果， 加深了对Lorenz系统的认识。
2.
首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程,固定°=10，卩=30,b=8/3，程序如下所示：
根据文献［1］，当卩＞1时，系统有三个平衡点：原点0(0,0,0)和P+,P-。此 时原点的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是不稳定平衡点。当1＜卩＜13.926
时，不稳定流形最终螺旋地趋于与之同侧的平衡点P+或P-;当卩=13.926时百度文库不
稳定流形刚好无限趋于原点O,即出现同宿轨；当卩＞13.926时，不稳定流形将绕 到另一侧，最终趋于与之异侧的P+或P-。可见，卩是一个同宿分岔点。因此，取 初值x=y=z=2，卩=8，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：
由于参数c=10,卩=30,b=8/3时为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很 小的差异会引起系统行为的显著改变。因此，将初值改为x=z=0.1,y=0.11,绘制
此时混沌吸引子在x-z平面上的投影，并与初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z平面上的投影放在同一张图中比较。为了区别两者，初值为x=y=z=0.1时混沌吸
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可以看到，虽然初值只有0.01的改变，红色与蓝色图形明显不重合，这证明 了系统的敏感性。
3.
首先利用matlab的Simulink功能，搭建Lorenz系统的模型，仿真模型如下 图所示：
PToducM
在仿真模型中，取参数C=10,b=8/3，观察参数卩取不同值时系统的运行状
结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的
平衡点成为稳定的平衡点。
关键词：Lorenz系统；matlab;混沌系统
1.
Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lore nz在1963年为研究气候变化，通过 对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。这三个方程是混沌 领域的经典方程，Lore nz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有 着举足轻重的作用。Lore nz方程的表达式如下：
^态0
根据文献［1］的分析，当参数0＜卩＜1时，只有一个稳定平衡点0(0,0,0)0取初值为x=y=z=2,参数卩=0.5，仿真停止时间取为50，运行仿真。得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：
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1.5
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0.5
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050100150
JO・50510
可见，系统很快地趋向并稳定在0(0,0,0),验证了前面所述。
引子在x-z平面上的投影用蓝色，初值改为x=z=0.1,y=0.11时混沌吸引子在x-z平面上的投影用红色。程序如下所示：
>>clf
>>x0=[0.1,0.1,0.1];
>>[t,x]=ode45('Lore nz',[0,100],x0);
>> plot(x(:,1),x(:,3))
>> hold on
fun cti ondx=Lore nz(t,x)
dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x (1)-x (2)-x (1)*x (3) ;x(1)*x (2)-2.6667*x (3)];
end
然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。程序如下所示：
>>clf
基于Matlab的Lorenz系统仿真研究
摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。首先使用matlab分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；
然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真