曲柄摇杆机构matlab优化设计

基于MATLAB 的曲柄摇杆机构优化设计

1. 问题的提出

根据机械的用途和性能要求的不同，对连杆机构设计的要求是多种多样的，但这些设计要求可归纳为以下三种问题：（1）满足预定的运动规律要求；（2）满足预定的连杆位置要求；（3）满足预定的轨迹要求。

设实际的函数为()F φ

ϕ

=（称为再现函数）

，而再现函数一般是与期望函数不一致的，因此在设计时应使机构再现函数()F φϕ

=尽可能逼近所要求的期望函

数()f φ

ϕ

=。

2. 曲柄摇杆机构的设计

在图 1 所示的曲柄摇杆机构中，1l 、2l 、3l 、 4l 分别是曲柄AB 、连杆BC 、摇杆CD 和机架AD 的长度。这里规定0ϕ为摇杆在右极限位置0φ时的曲柄起始位置角，它们由1l 、2l 、3l 和4l 确定。

图1曲柄摇杆机构简图

设计时，可在给定最大和最小传动角的前提下，当曲柄从0ϕ转到0

90

ϕ︒

+时，

要求摇杆的输出角最优地实现一个给定的运动规律()f ϕ。这里假设要求：

()()2

00

23E f φϕφϕ

ϕπ

==+

- （1）

对于这样的设计问题，可以取机构的期望输出角()E

f φϕ

=和实际输出角

()F φϕ

=的平方误差之和作为目标函数，使得它的值达到最小。

2.1 设计变量的确定

决定机构尺寸的各杆长度1l 、2l 、3l 和4l ，以及当摇杆按已知运动规律开始

运行时，曲柄所处的位置角0ϕ应列为设计变量，即:

[]

1

2

3

4

0T

x l l l l ϕ= (2)

考虑到机构的杆长按比例变化时，不会改变其运动规律，通常设定曲柄长度

1l =1.0，在这里可给定4l =5.0，其他杆长则按比例取为1l 的倍数。若取曲柄的初始

位置角为极位角，则ϕ及相应的摇杆l 位置角φ均为杆长的函数，其关系式为:

()()()()2

2

22

21243

23

124

225a rc c o s 210l l l l l l l l l l l l ϕ⎡⎤⎡⎤

++-+-+==⎢

⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦ （3）

()()22

22

21243

23

034

3125a rc c o s 210l l l l l l l l l φ⎡⎤⎡⎤+--+--==⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦

（4）

因此，只有2l 、3l 为独立变量，则设计变量为[][]

231

2T

T

x l l x x ==。

2.2目标函数的建立

目标函数可根据已知的运动规律与机构实际运动规律之间的偏差最小为指

标来建立，即： ()()2

1

m in m

E i

i i f x φφ==-→∑ （5）

式中，E i φ-期望输出角；m -输出角的等分数；i φ-实际输出角，由图可知：

()()

02i i i i i i i παβϕπ

φπαβπϕπ

--≤≤⎧⎪=⎨

-+≤≤⎪⎩ (6)

式中，2

2

2

222

322132a rc c o s a rc c o s 22i i i i i r l l r x x r l r x α⎛⎫⎛⎫

+-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (7)

2

2

2

2

414

24a rc c o s a rc c o s 210i i i i i r l l r r l r β⎛⎫⎛⎫

+-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(8)

22

14142c o s 2610c o s i i i r l l l l ϕϕ=+-=

- (9)

2.3约束条件 曲柄存在条件:

12131423

;;l l l l l l l l ≤≤+≤+

()()24133412

;l l l l l l l l ≤-+≤-+

曲柄与机架共线位置时的传动角（连杆BC 和摇杆CD 之间的夹角）: 最小传动角m in m in 45r B C D ︒

=∠≥ 最大传动角m a x

m a x 135r B C D ︒=∠≤

由上面的分析可以算出：

()2222

22

2341

12m in

231216a rc c o s 4522l l l l x x r l l x x ︒

⎡⎤

+--⎡⎤+-⎢

⎥==≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

（10）

()2222

2

2

2341

1

2m ax

231236a rc c o s 13522l l l l x x r l l x x ︒

⎡⎤

+-+⎡⎤+-⎢

⎥==≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

（11）

3.用MATLAB 工具箱优化计算结果

通过上面的分析后，将输入角分成 30 等分（m=30），经过转化为标准形式得到曲柄摇杆机构优化设计标准数学模型为:

()()

2

1

m in m

E i i i f

x φφ==-→∑

[][]231

2T

T

x l l x x ==

()()()()()()()112231241252122

6121222712121010

60..40

401.41436036 1.4140g x x g x x g x x x s t g x x x g x x x g x x x x x g x x x x x =-≤⎧

⎪

=-≤⎪⎪=--≤⎪

=--≤⎨⎪=--≤⎪

=+--≤⎪⎪=---≤⎩

(12) 这个问题为非线性约束优化问题，运用 MATLAB 优化工具箱的命令函数 fmincon 来处理有约束的非线性多元函数最小化优化问题。

3.1 编写程序求解