伍德里奇计量经济学课件 (13)

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背景知识回顾
n
个检验统计量（T）是关于随机样本的一个 函数。当我们用某一特定样本计算此统计 量时，我们得到这个检验统计量的一个实 现（t）。
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定理4.2: 标准化估计量的t分布
ˆ b b Under the CLM assumptions
bˆ
j
bj



ˆ ~ Normal0,1 sd b j

ˆ 服从正态分布，因为它是误差的线性组合 b j
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定理4.1 正态样本分布
n
ˆ ,b ˆ ,..., b ˆ 的任意线性组合服 可以扩展定理4.1。 b 0 1 k ˆ ,b ˆ ,..., b ˆ 任意子集服从联合正态。 从正态分布， b 0 1 k
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背景知识回顾
n n
被检验的假设称为零假设 假设检验利用数据将零假设和另一个假设（替代 假设）进行比较
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背景知识回顾
n n
替代假设给出在零假设不成立时的真实情况。 我们的目的：利用一个随机选取的样本提供给我 们的证据来决定是否应当接受零假设。
n n
如果H0: bj = 0对H1: bj > 0，当 tbˆ j c时我们拒绝H0， 当 t bˆ c ，则不能拒绝H0 由于t分布是对称的，如果H0: bj = 0对H1: bj < 0,当 tbˆ c 时我们拒绝H0，当 tbˆ c ，则不能拒绝H0
n
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样本分布：复习
样本分布在统计学和计量经济学发展中具 有核心地位 n 它是指一个估计量在其所有可能取值上的 概率分布 n 刻画样本分布的两种方式：“准确”方式 和“近似”方式
n
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4
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多元回归分析：推断 (1)
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
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2
本章提纲
估计量的样本分布 n 单个总体参数的假设检验：t检验 n 置信区间 n 参数线性组合的假设检验（一维情形） n 多个线性约束的假设检验：F检验 n 报告回归结果
n
我们将利用这些事实来进行假设检验
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对单个总体参数的假设检验：t检验
n
考虑总体中满足CLM的模型
我们现在研究如何对一个特定的b j 进行假设检验
y b 0 b1 x1 ... b k xk u
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n
似。 n 对样本分布的大样本近似常称为渐近分布。
“近似”方式对样本分布进行大样本下的近
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样本分布:复习
只要样本量足够大，渐近分布就是对准确 分布的很好的近似。 n 两个重要工具：大数定律，中心极限定理
n
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经典线性模型假设
n n n
我们对总体的经典线性模型假设做个总结 y|x ~ Normal(b0 + b1x1 +…+ bkxk, 2) 尽管现在我们假设了正态，但有时候并不是这种 情况
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t检验：单边替代假设
n
n n n
除了零假设外，我们需要替代假设H1，并设定显 著性水平 H1可以是单边或双边的 H1: bj > 0 和 H1: bj < 0 是单边的 H1: bj 0是双边替代假设
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n
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The t Test (cont)
ˆ： To perform our test we first need to form " the" t statistic for b j t bˆ
j
ˆ 来自百度文库 j
ˆ se b j

j
We will then use our t statistic along with a rejection rule to determine whether to accept the null hypothesis, H 0 ˆ 的t统计量： 为了进行检验，我们首先要构造b t bˆ
n
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经典线性模型假设
n n n
假设MLR.1-MLR.被称为经典线性模型假设 我们将满足这六个假设的模型称为经典线性模型 在经典线性模型假设下，OLS不仅是BLUE，而 且是最小方差无偏估计量，即在所有线性和非线 性的估计量中，OLS估计量具有最小的方差。
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假设MLR.6 （正态性）
我们已经知道当Gauss－Markov假设成立 时，OLS是最优线性无偏估计。 n 为了进行经典的假设检验，我们要在 Gauss－Markov假设之外增加另一假设。 n 假设MLR.6 （正态性）：假设u与x1, x2,…, xk独立，且u服从均值为0，方差为2的正 态分布。
n
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背景知识回顾
检验统计量的临界值是使得零假设刚好在 给定显著性水平上被拒绝的统计量的值。 n 假设检验中，使得零假设被拒绝的检验统 计量的取值范围称为拒绝域，使得零假设 不能被拒绝的检验统计量的取值范围成为 接受域。
n
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.
E(y|x) = b0 + b1x
x1
x2
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定理4.1 正态样本分布
Under the CLM assumptions, conditional on the sample values of ˆ ~ Normal b , Var b ˆ , so that the independent variables b
j
ˆ b j
ˆ se b j

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然后利用t统计量和拒绝条件来决定是否接受零假设，H 0
The t Test (cont)
n n n
ˆ 相对0偏离了多少个估计的标 t统计量 t bˆ 度量了估计值 b j j 准离差。 ˆ ˆ 它的符号与 b j 相同 b j 注意我们检验的是关于总体参数的假设，而不是关于来 自某一特定样本的估计值的假设。
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背景知识回顾
n n n
在假设检验中存在两种可能的错误。 第一类错误：当零假设为真时拒绝零假设（弃真） 第二类错误：当零假设为假时未拒绝零假设（取 伪）
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背景知识回顾
我们建立一些假设检验的规则使发生第一 类错误的概率非常小。 n 一个检验的显著性水平是发生第一类错误 的概率。 n 通常设定的限制性水平为：0.1,0.05,0.01。 如果为0.05意味着研究者愿意在5％的检验 中错误地拒绝零假设。
布近似得任意好。
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中心极限定理
n
这个定理说明，在一般条件下，如果样本足够大， 标准化的样本均值的样本分布可以由标准正态分 布近似
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OLS估计量的样本分布
n n
我们已经讨论了OLS估计量的期望和方差，但是 为了进行统计推断，我们仍希望知道样本分布。 OLS估计量的样本分布依赖于对误差项分布的假 设。
become arbitrarily well approximated by the standard normal distribution.
2 假设y1, y2 ,... , yn独立同分布，均值为，方差为 y ，其中 2 2 0 y 。当n ， ( y ) / y 的分布可以被标准正态分
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大数定律
n n
大数定律：在一般情形下，当样本量充分大时， 样本均值将以很高的概率逼近总体均值。 本课中，为了应用大数定律，我们假设y为独立 同分布具有有限方差的随机取样。
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中心极限定理
2 Suppose that y1, y2 ,... , yn are i.i.d with mean and variance y , 2 2 where 0 y . As n , the distribution of ( y ) / y
j j
ˆ se b j

~ tn k 1
Note this is a t distribution (vs normal) because we have to ˆ2 estimate 2 by ˆ b b 在CLM假设下，有
j j
Note the degrees of freedom:n k 1 ˆ se b j
j
bˆ
bj

j

j

j
ˆ ~ Normal0,1 sd b j

ˆ is distributed normally because it is a linear combination of the errors b j
ˆ ~ Normal b , Var b ˆ ,故 在CLM假设下，条件于解释变量的样本值有b j j j
样本分布：复习
“准确”方式需要对任何n的取值都得到样 本分布的精确表达式。 n 这样的分布被称为小样本（有限样本）的 准确 分布 n 例如，如果y服从正态分布，且y1, y2, …, yn 独立同分布，则其均值恰好服从正态分布
n
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样本分布:复习
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经典线性模型假设
如果正态假设不成立怎么办？ n 通过变换，特别是通过取自然对数，往往 可以得到接近于正态的分布。 n 大样本允许我们放弃正态假设（近似方式）
n
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同方差正态分布——单解释变量情形
y
f(y|x)
.
Normal distributions
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单边替代假设
n n
如果我们愿意在5％的概率上错误地拒绝实际上 为真的零假设，则说我们的显著水平为5％ 取定显著性水平a后，找到自由度为n – k – 1的t 分布的(1 – a)分位数c，即临界值
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One-Sided Alternatives (cont)

~ tn k 1
ˆ 2来估计 2。 注意这是一个 t 分布，因为我们要用 注意自由度：n k 1
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t检验
知道标准化估计量的样本分布后，便可以 进行假设检验 n 由零假设出发 n 例如， H0: bj=0 n 如果接受零假设，则认为控制x其它分量 后， xj对y没有边际影响。
n
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本课提纲
样本分布：复习 n 经典假设与OLS估计量的样本分布 n 假设检验的背景知识 n 单边与双边t检验 n 计算p值
n
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样本分布：复习
简单随机抽样是指从总体中随机取样n次， 使得总体中的每个元素在样本中的出现的 可能性相同。 n 如果y1, y2,…, yn 来自于同一分布且相互独 立，则称这一组随机变量独立同分布 （i.i.d.）