高等数学2017年最新课件偏导数与全微分

如u f ( x, y, z )在( x, y, z )处 f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x f ( x , y y, z ) f ( x , y, z ) f y ( x , y, z ) lim , y 0 y f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
x y x y 2z.
原结论成立．
例3.
u x , 求u x , u y , u z 解： u y z x y z 1 1 y z x y z ; x x yz z 1 yz z u y x ln x ( y ) x ln x z y y z z z y ln x y x y
D 内任一点 如果函数 z f ( x , y ) 在区域 ( x , y ) 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数z f ( x , y ) 对 自变量x 的偏导数，
z f 记作 ， ，z x 或 f x ( x , y ) . x x
y 的偏导 同理可以定义函数z f ( x , y ) 对自变量
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
例如，极限(1)可以表示为
y 同理可定义函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y y0 x0 x x0 y x y y y y y
z f z y 或 f y ( x, y) . 数，记作 ， ， y y
（3）关系: 如果 f (x，y) 在区域 D 内偏导函数存在， P0(x0，y0)∈D，则f(x，y)在(x0，y0)处的偏导数 fx (x0，y0)、fy (x0，y0)就是偏导函数fx (x，y)、 fy (x，y)在P0(x0，y0)点的函数值。 不至混淆时，也把偏导函数称作偏导数。 （4）偏导数概念可推广到二元以上的函数
2
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例 7 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1，
2z 2z 2z 2z 求 2、 、 、 2 yx xy y x z z 2 2 3 解 3 x y 3 y y, 2 x 3 y 9 xy2 x; x y 3 2 2z z z 2 3 2 6 y , 2 x 18xy; 2 6 xy , 3 2 x x y
例1.（1）计算z = x2y+y3的全微分； （2）计算z = x2y+y3在点(2，1)处的全微分； （3）计算z = x2y+y3在点(2，1)处相应于⊿x=0.1， ⊿y=－0.1 时的全微分。
z z 解：（1） 2 xy , x2 3y2
（ 2）
z x
x y 2 2 dz 2 xydx ( x 3 y )dy
2
三、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z z 2 f xx ( x, y ), x x x 纯偏导 2 z z 2 f yy ( x, y ) y y y z 2 z f xy ( x , y ), y x xy 混合偏导 z 2 z f yx ( x, y ) x y yx
z 6 x 2 y 9 y 2 1, x y 2 z 6 x 2 y 9 y 2 1. y x
2
问题： 混合偏导数都相等吗？ 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数 z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数
2z 2z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
3．可微的必要条件
定理 1 （必要条件） 如果函数z f ( x , y ) 在点
z ( x , y ) 可微分，则该函数在点( x , y ) 的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分 y
例2
y z x ( x 0, x 1) ， 设 x z 1 z 2z . 求证 y x ln x y
证
z yx y 1 , x
z x y ln x, y
x z 1 z x 1 y 1 yx x y ln x y x ln x y y ln x
f ( x, y y ) f ( x, y ) f y ( x, y)y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
⊿z=f (x+⊿x，y+⊿y)－f (x，y) (1) 叫做函数在点 (x，y)对应于自变量增量⊿x、⊿y 的全增量。
2．全微分的定义
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( ) ，其中 A, B 不依赖于
第二节 偏导数与全微分
一、偏导数的定义及其计算方法 1．偏导数的定义 （1）f (x，y)在点P0(x0，y0)处的偏导数 定义 设函数 z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ， f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim (1)存在， x 0 x 则称此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处对 x的偏导数，记为
x , y 而仅与 x , y 有关， ( x )2 ( y )2 ，则 称函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全 微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
yz
有关偏导数的几点说明：
１).
u 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
2).
f ( x , y 0 ) ( x ), 求fx (x0，y0)时，可先将y0代入得
d d df ( x , y 0 ) 最后再将x 代入. 再求 ，即 ， 0 dx dx dx
x 例5 f ( x , y ) x ( y 1) arcsin ,求f x ( x ,1), f x ( 2,1). y df ( x , 1 ) 2 解 f ( x ,1) x , f x ( x ,1) 2 x; dx f x ( 2,1) 4;
u u y x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 0. x y (x y ) (x y )
2 2 2 2 2 2
证毕．
四、全微分的概念 1．增量、全增量及偏微分
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y ) f ( x, y ) f x ( x, y )x
( 2 ,1 )
dz 4dx 7dy
z 4, y
7
( 2 ,1 )
（ 3）当 ⊿ x=0.1，⊿y=－0.1时，
有 dz 0.4 0.7 0.3
y 例 2 计算函数u x sin e yz 的全微分. 2
解
u 1, x
u 1 y cos ze yz , y 2 2
2．偏导数的计算 （1）偏导数的计算 仍然是一元函数的求导公式和求导法则，对某一个 自变量求偏导时，其余的自变量暂时地看作常量。
例 1 求 z x 2 3 xy y2 在点 (1,2) 处的偏导数．
解
z 2x 3 y x
z 3x 2 y y
z x 1 2 1 3 2 8 x y 2 z x 1 3 1 2 2 7 y y 2
0 0
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 ,y 0 ) f x ( x 0 , y 0 ) lim x 0 x
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 ,y 0 ) 即f y ( x 0 , y 0 ) lim x 0 y
（2）偏导函数
u ye yz , z
所求全微分
1 y du dx ( cos ze yz )dy ye yz dz. 2 2
z z dz x y ． x y
为
习惯上，记全微分为
z z dz dx dy. x y
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
6. 全微分的计算 方法： （1）先求fx(x，y)、fy(x，y) （2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy 几类微分：(i)P(x，y)处的微分； （ii）P0(x0，y0)处的微分； （iii）P0(x0，y0) 处且dx，dy给定时的微分；
2u ( x 2 y 2 ) x 2x y2 x2 2 2 , 2 2 2 2 2 x (x y ) (x y ) u (x y ) y 2y x y 2 . 2 2 2 2 2 2 y (x y ) (x y )
2 2 2 2Biblioteka Baidu2
两个二阶混合偏导数必相等．
验证函数 u( x , y ) ln x 2 y 2 满足拉普拉 2 2 u u 斯方程 2 0. 2 x y 例 8
解
1 2 2 ln x y ln(x y ), 2
2 2
u x 2 , 2 x x y
u y 2 , 2 y x y