简单复合函数的导数

再考察( 2) f
一般地，我们有
若 即
y f (u ), u ax b, x y yu u 即 x
则
f ( x) f (u )u x
y' x y'u a
例１
求下列函数的导数：
3
(1) y (2 x 3) ; (2) y ln(5 x 1)
2、导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x)g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
当g ( x ) c 时呢？
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
3x 1 复合而成，则 u 3 因而有 x f ( x) f (u )u x
f (u ) u f (u ) 2u 2(3 x 1)
2
( x) sin 2 x 的导数 一方面 f ( x ) (sin 2 x ) ( 2 sin x cos x ) 2(sin x) cos x 2 sin x(cos x) 2 2 2 cos x 2 sin x 2 cos 2 x 另一方面将( 2) f ( x ) sin 2 x 看成由 f (u ) sin u 及 u 2x 复合而成，则 f (u ) (sin u ) cos u u 2 因而也有 f ( x) f (u )u x
例2
求下列函数的导数：
1 (1) y ; (2) y cos(1 2 x) 3x 1
必做题 1、求下列函数的导数：
1 (3) y e ; (4) y ln x
2x
2、求曲线y=sin2x在点P(π，0）处的切线方程。
选做题 P25
2
作业 P26
9
小结 ： ⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数 的结构，引入中间变量，将复合函数分解 成为较简单的函数，然后再用复合函数的 求导法则求导； ⑵复合函数求导的基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代
P25 1.(1)(2)
求 (1) f ( x) (3x 1) 的导数。
2
一方面， f ( x)
(9 x 2 6 x 1) (3x 1) 18 x 6 6(3 x 1)
2
另一方面，将 (1) f ( x) (3x 1) 看成由
2
及u
3、复合函数:
由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由 函数 y f (u ) 与 u (x) 复合而成的函数 一般形式是 y f [ ( x)] ，其中u称为中间变量． 试说明下列函数是怎样复合而成的？
2
(1) f ( x) (3x 1) (2) f ( x) sin 2 x 2 2 由 f (u ) u 及 u 3x 1 其中， ) f ( x) (3x 1) (1 复合而成； (2) f ( x) sin 2 x 由 f (u ) sin u 及 u 2x
复合而成。
那么，如何求 f ( x) (3x 1) 2，f ( x) sin 2 x 的导数呢？
能求形如

f (ax b) 的复合函数的导数
请问(3x 1)
2


2(3x 1)吗？
请问(sin 2 x) cos 2 x吗？
如何求形如
f (ax b)
的复合函数的导数？
一、知识回顾：
1、基本求导公式:(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
'
'
1
(为常数）
(3)(sinx ) cosx
x ' x
(4Βιβλιοθήκη Baidu(cosx) sinx
'
x ' x
(5)(a ) a lna(a 0, 且a 1) (6)(e ) e
'
1 1 ' (7)(log a x ) (a 0, 且a 1) (8)(lnx) x xlna