截尾泊松分布参数MLE的渐近有效性

・ ｎ （ 筹 ｅ ） ・ ｎ （ 轰 ） ， 易 见 ｌ ｎ ｈ （ Ａ ） ＝
∑ （ ’ ７ ， ） ．
不妨设 是 的内点 ， 故 三 Ｌ
０ ， 于是有 下 面 的 Ｔ ａ ｙ ｉ ｏ ｒ 展式
Ｐ （ １＝ ）＝ ｅ ～， ＝０ ， １ ， ２ ， …， 一１
∞ 、
∑ （ ，
Ｉ 一 ： ａ
杨一 １、
Ｐ （ 田 ＝ ）
＃： ：
＝ 一
＝ ０ ；
令 ： ｆ Ｌ ０ ， ； （ ： １ ， ２ ， … ， ｎ ） ， 则 似 然 函 数 为 ７ ／ ＜ ｋ ｏ
，
主
ｉ＝１
Ｉ ： ＝
Ｖ０ １ ． ３ ２ Ｎｏ ． ２
Ｍａ ｒ ． ２ ０１ ４
文章编号 ： １ ０ ０ ８ — １ ４ ０ ２ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ２ — ０ ３ １ ６— ０ ２
截尾 泊松 分 布 参 数 ＭＬ Ｅ的渐 近 有 效 性①
叶晓晨
（ 吉林师范大学 数学学院 ． 吉林 四平 １ ３ ６ ０ ０ ０）
设总体 服从泊松分布 Ｐ （ Ａ ） ， 其 中 Ａ ＞０为 参数 ， 抽取简单随机样本 。 ， ， …以 ， 设 ＞０ 是 事先给定的常数 （ 阈值 ） ， 在试验得到 的观测值不 是， ｌ ， ２ ， … ， 而是 １ Ａ ， Ｘ ２ ＡＫ ｏ ， …， ， 这里 ａ Ａｂ＝ｒ ａｉ ｎ ｛ 口 ， ６ ｝ ， 这 种情况 可 以看 成是 截 尾试 验． 本 文 主要 基 于截 尾 样 本 以 ， ： 以 ， …， ， 讨论 Ａ的 ＭＬ Ｅ的渐近 有效 性． 为方便 ， 记 ‘＝五Ａ （ ｉ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ） ， 则 。 … 是一列独立同分布随机变量 ， 且
பைடு நூலகம்
＝１ ， （ 一 Ａ， ａ ， Ｓ ）和渐 近正 态性 ， 即 Ａ ）
Ａ） Ｊ ７ ｖ （ ０ ， ） ｎ ∞） ， 其 中 为 渐近 方差． 下 面讨论 的渐 近有 效性．
一
３
的 渐 近 有 效性
在大样 本理 论 中 ， 估 计 的有效性 是一个 重要概
２ 截尾泊松分布 参数的 ＭＬ Ｅ
ｌ
念， 它刻划了估计收敛于真值的速度 ， 其定义也有 好几种 ， 通常称达到 Ｃ—Ｒ下界的渐近正态估计为 渐 近有效 估 计 】 ．
用Ａ 。 表 示未 知 的真实 参数 ， 表示参 数空 间 ， 假 设 ＝ ｛ Ａ， Ａ≤ Ａ ≤Ｂ｝ ， 其 中 Ａ， Ｂ为 已知正 数 ， Ａ ｏ是 的 内 点． 此 外 ，设 （ 叼 ， ） ＝ （ １一
与
６ ｝ ２ １ ０ ＝ ｅ ｃ 、 一
之 间 ， 注 意 到
） ， 这 里 占 介 于
Ｌ ｎ （
【 （ ） 吨 （ ＇ － Ｔ ｅ ） 】
＝
Ｘ
ｌ 口 ： 幻 ， 其 均 值 为 ｏ ， 方 差 为
对数似然函数为
（ 砉 ［ （ １ － （ 鲁 ） 忡（ 轰 筹 ｅ ） 】 ． 根据强大数定律有
幻
ｌ ： 旬 ）
方差 下界 ， 即
１
ｌ
ｅ （ ） ＝ ｌ ｉ ｍ
∞ 。 上 ∞ ，Ｉ ｆ ７ ，
：
根据 Ｃ ｒ ａ ｍ ｅ ｒ —Ｒ ａ ｏ 不等式 ， 即有 Ｄ （ ） ≥Ｓ ～， 即有
ｌ ｉ ｍ— ｎ Ｉ （ Ｏ ）：１
— 一
一 ＋ ∞
｜ ）
摘 要： 进一步研究 了 截尾泊松分布参数 Ｍ Ｌ Ｅ的大样本性质， 证明该估计具有渐近有效性． 关键词 ： 截尾泊松分布 ； Ｍ Ｌ Ｅ ； 渐近有效性 中图分类 号 ： Ｏ ２ １ ２ 文献 标识 码 ： Ａ
１ 问题 的提 出
关于泊松分布参数估计 已有许多的研究 ， 在文 献［ １ ］ 中研究截尾泊松分布参数的 Ｍ Ｌ Ｅ ， 并给出估 计 的强 相合性 和 渐 近正 态 性 ． 本 文 在 此 基 础上 ， 得 到Ｍ Ｌ Ｅ的又一大样本性质一渐近有效性．
第３ ２卷 第 ２期
２ ０ １ ４ 年 ０ ３月
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍ ｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
第 ２期
叶晓晨 ： 截尾泊松分布参数 Ｍ Ｌ Ｅ的渐近有效性
３ ｌ ７
和
两边 于是有
， 所以有
圳 到
， （ ） ｌ ， 而这 里 的极 大 似 然估 计 的方差 达 到 了
Ｅ （ — 一 ； ；
＝ Ｅ
ｌ ： 舶 － － － － ￣ Ｅ （ ！
ｃ （ ） ～
这里
故 为 ０的渐近 有效 估计 ， 可 得到 如下定 理．
定理 ： （ 渐近有效性） 是 ０的一个最大似然 估计 ， 则 为 ０ 的渐近有效估计
参 考文献 ：
［ １ ］ 刘银萍 ， 宋立新． Ｉ Ｉ 型截尾情 形下泊松 分布参数 的估计 ［ Ｊ ］ ．
吉林大学学报理学版 ， ２ ０ Ｏ ７ ， ４ ５ （ ６ ） ： ９ ４ １ — ９ ４ ４ ．
对上式求一阶偏导数 ， 令
ＭＬ Ｅ， 用Ｊ ｊ 【 表示．
ｉ ｍ Ｘ＝ 在 中已经证 明 的强相合 性 ， 即 １
．．
Ｅ （
— 一
） Ｉ ．
：ｏ ， 解得 Ａ的
耋
Ｉ ： ％ — ＋
Ｉ 。 ：
＝ 一 Ｅ （ ａ ／ ） Ｉ ～
①
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３—１ ２－ ２ ３ 作者简介 ： 叶 晓晨 （ １ ９ ８ ８一 ） ， 女， 辽宁沈 阳人 ， 吉林师范大学数学学院在校研究生 ， 硕 士