高等代数课件(北大三版)--第六章-向量空间
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惠州学院数学系
例8 在 R2 上定义加法和数乘：
(a,b) (c, d) (a c,b d ac) k o(a,b) (ka, kb k(k 1) a2 )
2
证明 R2 关于给定运算构成R上的向量空间.
证明：留作课外练习.
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4. 简单性质
（1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量v的负向量是唯一的，用（- v）表示.
1. A+B=B+A 2. (A+B)+C= A+( B+C) 3. O＋A=A 4. A+(-A)=O
5. a(A+B)= aA+Ab 6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A＝A
惠州学院数学系
例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可 以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个 向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都 有表达式，…… 类似的问题许多，……，有必要总结它们的共性：
的子空间（图6-2-2）。
zl
o x
图6-2-1
z
π
y
o
x
α+β
z
α
l1
β
y o
y
x
图6-2-2
图6-2-3
惠州学院数学系
l1
yβ
α
l2
oγ x
图6-2-4
➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.
惠州学院数学系
§6.1 向量空间的定义和例子
否也是 F n的一个字空间？这里 F n , 0
惠州学院数学系
证明 （1）首先，
0
0
0 0
F
n
，且A0 = 0，所以，VA,0
。
其次，如果 X1, X 2 VA,0 , 即X1, X 2 F n ,
且AX1 0, AX 2 0, 那么 A(X1 X 2 ) AX1 AX 2 0,
是 Mn(F) 的
一个子空间。
W {A M n (F) | | A | 0}不是 M n (F) 的子空间，因 为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I (I ) O W
例3 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切
向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平
行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别
+AY =β+β≠β，故
对 VA, 的加法F 不n 封闭。
定理6.2.2
向量空间W的一个非空子集W是V的一个子空间，要 且只要对于任意a,b∈F和任意α,β∈W，都有 aα+bβ∈W
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6.2.2子空间的交与和
设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的 交W1∩W2也是V的一个子空间. 一般，设 {Wi }是向量空间V的一组子空间（个数可以 有限，也可以无限）.令 Wi 表示这些子空间的交。
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例8 在 V3中，终点位于过原点的同一条直线l上的所 有向量作成 V3 的子空间W。为叙述简便，也说W就 是过原点的直线 l ，直线 l 是 V3的子空间（图6-2-
1）。这样，V3 中过原点的直线都是 V3 的子空间。 同理，V3 中以过原点的平面π上的点为终点的所有 向量作成 V3 的子空间。这样，过原点的平面都是 V3
(m4) 1 f(x)= f(x).
注1：刚开始，步骤要完整.
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例5 C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤. 例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量
空间，R是否为C上的向量空间？
u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.
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乘法的性质：
(m1) (ab)V a(bV )，a，b F.
(m2) a(U V ) aU aV. (m3) （a b)U aU bU.
(m4) 1u= u 对所有u属于V.
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3. 进一步的例子――加深定义的理解
例3 按照定义1，F mn 是数域F上的向量空间，称为矩阵
1 2, 1 2,1, 1 W1,2, 2 W2 因为
W1,W2都是子空间,所以 a1 b1 W1 ,
a2 b2 W2 ,于是 a b a(1 2 ) b(1 2 ) (a1 b1) (a2 b2 ) W1 W2
这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做 W1与W2 的和.
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例7
设 Amn (aij ), aij F
x1
(1)
把满足AX
=
0的解X表示为
X
x2
xn
，
显然 X F n。并记AX = 0的解集为 VA,0 {X F n | AX 0}
证明 VA,0 是向量空间 F n的一个子空间。
(2) 记AX = β的解集为 VA, {X F n | AX }, VA,是
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(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给f(x),g(x),h(x) F[x].
(a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) (ab) f(x)= a(bf(x)).
(m2) a[f(x)+g(x)]= af(x)+ ag(x). (m3) (a b) f(x)= af(x)+ b f(x).
1. 引例―――定义产生的背景. 2. 向量空间的定义――――抽象出的数学本质. 3. 进一步的例子―――加深对定义的理解. 4. 一些简单性质.
惠州学院数学系
1. 引例―――定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn 表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
惠州学院数学系
定理6.2.1
设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本 身也作成上一个向量空间.
定义1
令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V 的一个子空间.
由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间， 并且一定含有V的零向量。
空间.
（1） F1n , F n1 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 F n表示.
（2） Rn是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常
用的一类. ……
例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间，称为多项式空间. 证明：根据多项式加法和数乘的定义，
(c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) af(x) F[x]，任给 aF，f(x)F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x].
所以 X1 X 2 VA,0 ，对于任何 a F, X VA,0,
有A(aX ) a( AX ),即aX VA,0 。故 VA,0 对于F n的两种
运算封闭，VA,0 是向量空间 FBaidu Nhomakorabean 的一个子空间。
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（2）可以知道，在β≠0 的时候，
V
不一定是
A,
F的n
子空间。因为对任何 X ,Y VA，, 都有A (X + Y) = AX
i
如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间. 作为子集的二个子空间W1与W2 的并集，一般说来 不是子空间，现在考虑V的子集。
W1 W2 {1 2 | 1 W1,2 W2}
惠州学院数学系
由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此 W1+W2≠ф。设a, b∈F, α,β∈W1+W2, 那么,
三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
惠州学院数学系
6.2.1 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集. 对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是V中 一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W中任 意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加 法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量α和数域F 中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与 向量的乘法是封闭的.
W
{A Mn (F)|
A
| 0}是不是 M 惠州学院数学系
n
(
F
)
的子空间？
解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间
M n (F) 的非空子集。又中 M n (F)的运算是矩阵的加
法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一
个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘
积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U
（3） 0v＝0，a 0＝0. （4） a (-v)= aV (aV )
（5） aV 0 a 0，或V 0.
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6.2 子空间
一、内容分布
6.2.1 子空间的概念
6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的
1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.
第6章 向量空间
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这 种研究中去发现各种结构之间的未知关系。 ---皮尔斯(S. Peirce,1838－1914)
注2：这个例子说明向量空间与F有关.
惠州学院数学系
例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：
a b ab, k oa ak , a,b R, k R 证明 R 关于给定的运算构成R上的向量空间. 证明：……
注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 如何理解 运算？…… 注4：取数乘为通常的乘法如何？……，向量空间与运算 有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2 条需要解方程求出零向量与负向量.
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例1
向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标 量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间， 称为零空间。
一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。 V的非平凡子空间叫做V的真子空间。
例2
U {A (aij ) M n (F) | aij 0,i j时}是不是 M n (F) 的 子空间？
不懂几何者勿入内 (指:柏拉图学园) ---柏拉图(Plato，约公元前427年－前347年)
不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 ---匿名者
惠州学院数学系
向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：
➢ 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一， 是进一步学习数学必备的内容.
作成V3的子空间(6.1,例1)。 惠州学院数学系
例4 F n中一切形如
(1,2 , ,n1,0),i F 的向量作成 F n的一个子空间。 例5
F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。
例6
闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的一个子空间。
I. 涉及两个集合（其中一个集合……）. II. 涉及两种运算（什么样的运算？）. III. 满足8条运算性质.
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2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足：
例8 在 R2 上定义加法和数乘：
(a,b) (c, d) (a c,b d ac) k o(a,b) (ka, kb k(k 1) a2 )
2
证明 R2 关于给定运算构成R上的向量空间.
证明：留作课外练习.
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4. 简单性质
（1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量v的负向量是唯一的，用（- v）表示.
1. A+B=B+A 2. (A+B)+C= A+( B+C) 3. O＋A=A 4. A+(-A)=O
5. a(A+B)= aA+Ab 6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A＝A
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例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可 以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个 向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都 有表达式，…… 类似的问题许多，……，有必要总结它们的共性：
的子空间（图6-2-2）。
zl
o x
图6-2-1
z
π
y
o
x
α+β
z
α
l1
β
y o
y
x
图6-2-2
图6-2-3
惠州学院数学系
l1
yβ
α
l2
oγ x
图6-2-4
➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.
惠州学院数学系
§6.1 向量空间的定义和例子
否也是 F n的一个字空间？这里 F n , 0
惠州学院数学系
证明 （1）首先，
0
0
0 0
F
n
，且A0 = 0，所以，VA,0
。
其次，如果 X1, X 2 VA,0 , 即X1, X 2 F n ,
且AX1 0, AX 2 0, 那么 A(X1 X 2 ) AX1 AX 2 0,
是 Mn(F) 的
一个子空间。
W {A M n (F) | | A | 0}不是 M n (F) 的子空间，因 为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I (I ) O W
例3 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切
向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平
行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别
+AY =β+β≠β，故
对 VA, 的加法F 不n 封闭。
定理6.2.2
向量空间W的一个非空子集W是V的一个子空间，要 且只要对于任意a,b∈F和任意α,β∈W，都有 aα+bβ∈W
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6.2.2子空间的交与和
设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的 交W1∩W2也是V的一个子空间. 一般，设 {Wi }是向量空间V的一组子空间（个数可以 有限，也可以无限）.令 Wi 表示这些子空间的交。
惠州学院数学系
例8 在 V3中，终点位于过原点的同一条直线l上的所 有向量作成 V3 的子空间W。为叙述简便，也说W就 是过原点的直线 l ，直线 l 是 V3的子空间（图6-2-
1）。这样，V3 中过原点的直线都是 V3 的子空间。 同理，V3 中以过原点的平面π上的点为终点的所有 向量作成 V3 的子空间。这样，过原点的平面都是 V3
(m4) 1 f(x)= f(x).
注1：刚开始，步骤要完整.
惠州学院数学系
例5 C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤. 例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量
空间，R是否为C上的向量空间？
u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.
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乘法的性质：
(m1) (ab)V a(bV )，a，b F.
(m2) a(U V ) aU aV. (m3) （a b)U aU bU.
(m4) 1u= u 对所有u属于V.
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3. 进一步的例子――加深定义的理解
例3 按照定义1，F mn 是数域F上的向量空间，称为矩阵
1 2, 1 2,1, 1 W1,2, 2 W2 因为
W1,W2都是子空间,所以 a1 b1 W1 ,
a2 b2 W2 ,于是 a b a(1 2 ) b(1 2 ) (a1 b1) (a2 b2 ) W1 W2
这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做 W1与W2 的和.
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例7
设 Amn (aij ), aij F
x1
(1)
把满足AX
=
0的解X表示为
X
x2
xn
，
显然 X F n。并记AX = 0的解集为 VA,0 {X F n | AX 0}
证明 VA,0 是向量空间 F n的一个子空间。
(2) 记AX = β的解集为 VA, {X F n | AX }, VA,是
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(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给f(x),g(x),h(x) F[x].
(a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) (ab) f(x)= a(bf(x)).
(m2) a[f(x)+g(x)]= af(x)+ ag(x). (m3) (a b) f(x)= af(x)+ b f(x).
1. 引例―――定义产生的背景. 2. 向量空间的定义――――抽象出的数学本质. 3. 进一步的例子―――加深对定义的理解. 4. 一些简单性质.
惠州学院数学系
1. 引例―――定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn 表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
惠州学院数学系
定理6.2.1
设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本 身也作成上一个向量空间.
定义1
令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V 的一个子空间.
由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间， 并且一定含有V的零向量。
空间.
（1） F1n , F n1 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 F n表示.
（2） Rn是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常
用的一类. ……
例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间，称为多项式空间. 证明：根据多项式加法和数乘的定义，
(c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) af(x) F[x]，任给 aF，f(x)F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x].
所以 X1 X 2 VA,0 ，对于任何 a F, X VA,0,
有A(aX ) a( AX ),即aX VA,0 。故 VA,0 对于F n的两种
运算封闭，VA,0 是向量空间 FBaidu Nhomakorabean 的一个子空间。
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（2）可以知道，在β≠0 的时候，
V
不一定是
A,
F的n
子空间。因为对任何 X ,Y VA，, 都有A (X + Y) = AX
i
如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间. 作为子集的二个子空间W1与W2 的并集，一般说来 不是子空间，现在考虑V的子集。
W1 W2 {1 2 | 1 W1,2 W2}
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由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此 W1+W2≠ф。设a, b∈F, α,β∈W1+W2, 那么,
三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
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6.2.1 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集. 对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是V中 一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W中任 意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加 法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量α和数域F 中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与 向量的乘法是封闭的.
W
{A Mn (F)|
A
| 0}是不是 M 惠州学院数学系
n
(
F
)
的子空间？
解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间
M n (F) 的非空子集。又中 M n (F)的运算是矩阵的加
法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一
个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘
积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U
（3） 0v＝0，a 0＝0. （4） a (-v)= aV (aV )
（5） aV 0 a 0，或V 0.
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6.2 子空间
一、内容分布
6.2.1 子空间的概念
6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的
1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.
第6章 向量空间
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这 种研究中去发现各种结构之间的未知关系。 ---皮尔斯(S. Peirce,1838－1914)
注2：这个例子说明向量空间与F有关.
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例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：
a b ab, k oa ak , a,b R, k R 证明 R 关于给定的运算构成R上的向量空间. 证明：……
注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 如何理解 运算？…… 注4：取数乘为通常的乘法如何？……，向量空间与运算 有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2 条需要解方程求出零向量与负向量.
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例1
向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标 量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间， 称为零空间。
一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。 V的非平凡子空间叫做V的真子空间。
例2
U {A (aij ) M n (F) | aij 0,i j时}是不是 M n (F) 的 子空间？
不懂几何者勿入内 (指:柏拉图学园) ---柏拉图(Plato，约公元前427年－前347年)
不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 ---匿名者
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向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：
➢ 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一， 是进一步学习数学必备的内容.
作成V3的子空间(6.1,例1)。 惠州学院数学系
例4 F n中一切形如
(1,2 , ,n1,0),i F 的向量作成 F n的一个子空间。 例5
F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。
例6
闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的一个子空间。
I. 涉及两个集合（其中一个集合……）. II. 涉及两种运算（什么样的运算？）. III. 满足8条运算性质.
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2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足：