复变函数习题解答(第1章)

p44第一章习题(一)[ 13, 16, 17 , 20]13. 试证arg z ( -π < arg z ≤π )在负实轴(包括原点)上不连续，除此而外在z平面上处处连续．【解】记f(z) = arg z，D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}，D1 = { z∈ | Re(z) > 0}，D2 = { z∈ | Im(z) > 0}，D3 = { z∈ | Im(z) < 0}．(1) 首先，f(z)在原点无定义，故f(z)在原点处不连续．(2) 设a∈ ，且a < 0．则f(a) = π．考察点列z n = | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π))，n∈ +．显然，-π < 1/n-π≤π，故f(z n) = 1/n-π．而lim n→∞z n = lim n→∞( | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π)) ) = a，但lim n→∞f(z n) = lim n→∞(1/n-π) = -π≠f(a)．故f(z)在a处不连续．(3) 下面证明f(z)在D1, D2, D3这三个区域上都连续．设z = x + i y，x, y∈ ．(3.1) 在D1上，f(z) = arctan(y/x)，因arctan(y/x)是{(x, y)∈ 2 | x > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D1上的连续函数．(3.2) 在D2上，f(z) = arccot(x/y)，因arccot(x/y)是{(x, y)∈ 2 | y > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D2上的连续函数．(3.3) 在D3上，f(z) = arccot(x/y) -π，因arccot(x/y) -π是{(x, y)∈ 2 | y < 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D3上的连续函数．(4) 最后证明f(z)是D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}上的连续函数．∀a∈D，因为D = D1⋂D2⋂D3，故存在k (k = 1, 2, 3)，使得a∈D k．因D k是开集故存在r > 0，使得U r(a) = { z∈ | | z –a | < r } ⊆D k．根据(3)，f(z)在D k上是连续的，故∀ε > 0，∃η> 0，使得∀z∈D k，当| z–a | < η时，| f(z) -f(a) | < ε．设δ= min { r, η}，则∀z∈D，当| z–a | < δ时，z∈U r(a) ⊆D k，又因| z–a | < δ< η，故必有| f(z) -f(a) | < ε．所以，f在a处连续．由a的任意性，f(z)是上的连续函数．[连续性部分的证明可以用几何的方法，而且写起来会简单些．但我们之所以选择这个看起来很复杂的方法，是可以从这里看出θ(z) = arg(z)作为(x, y)的二元函数，在D1, D2, D3上都有很明显的可导的表达式，因此它在区域D上不仅是连续的，而且是连续可导二元函数：θx = y/(x2 + y2)，θy = -x/(x2 + y2)．证明中的第四部分并不是多余的，这是因为若f在两个集合A, B上都连续(即使它们有公共的部分)，一般说来，并不能保证f在两个集合A⋂B上也连续．问题：若f在区域A, B上都连续，且A ⋃B ≠∅，问f在A⋂B上是否必连续？] 16. 试问函数f(z) = 1/(1 –z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．因为z在 内连续，故f(z) = 1/(1 –z )在 \{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．令z n= 1 – 1/n，w n= 1 – 1/(n + 1)，n∈ +．则z n, w n都在单位圆| z | < 1内，| z n-w n | → 0，但| f(z n)-f(w n)| = | n - (n + 1) | = 1 > 0，故f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 –x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z∈ | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．【解】(⇒) 若复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限，则∀ε > 0，∃N∈ +，使得∀n > N，有| z n -z0| < ε．此时有| x n -x0| ≤ | z n -z0| < ε；| y n -y0| ≤ | z n -z0| < ε．故实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．(⇐) 若实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限，则∀ε > 0，∃N1∈ +，使得∀n > N1，有| x n -x0| < ε/2；∃N2∈ +，使得∀n > N2，有| y n -y0| < ε/2．令N = max{N1, N2}，则∀n > N，有n > N1且n > N2，故有| z n -z0| = | (x n -x0) + i (y n -y0)| ≤ | x n -x0| + | y n -y0| < ε/2 + ε/2 = ε．所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限．20. 如果复数列{z n}合于lim n→∞z n = z0≠∞，证明lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．当z0≠∞时，结论是否正确？【解】(1) ∀ε > 0，∃K∈ +，使得∀n > K，有| z n -z0| < ε/2．记M = | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |，则当n > K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | = | (z1-z0) + (z2-z0) + ... + (z n-z0) |/n≤ ( | z1-z0 | + | z2-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n= ( | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |)/n + ( | z K +1-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n≤M/n + (n-K)/n · (ε/2) ≤M/n + ε/2．因lim n→∞ (M/n) = 0，故∃L∈ +，使得∀n > L，有M/n < ε/2．令N = max{K, L}，则当n > K时，有| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | ≤ M /n + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε．所以，lim n →∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0．(2) 当z 0 ≠ ∞时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = (-1)n · n ，n ∈ +．显然lim n →∞ z n = ∞．但∀k ∈ +，有(z 1 + z 2 + ... + z 2k )/(2k ) = 1/2，因此数列{(z 1 + z 2 + ... + z n )/n }不趋向于∞．[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]p45第一章习题(二)[ 6, 8, 9, 11, 12 ]6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．(z *表示复数z 的共轭)【解】此题应该要求b * z + a * ≠ 0．| a z + b | = | (a z + b )* | = | a * z * + b * | = | a * z * + b * | · | z | = | (a * z * + b *) · z | = | a * z * · z + b * · z | = | a * | z |2 + b * · z | = | b * z + a * |．故| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．8. 试证：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件为111332211w z w z w z = 0． 【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如z'z 312我们将采用下述的观点来证明：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转． 记f 1(z ) = z - z 1 (将z 1变到0的平移)；f 3(z ) = z - w 1 (将0变到w 1的平移)； 那么，三角形z 1z 2z 3与三角形w 1w 2w 3同向相似⇔ 存在某个绕原点的旋转位似变换f 2(z ) = z 0 z ，使得f 2 ( f 1(z k )) = f 3(w k )，(k = 2, 3)，其中z 0∈ \{0}⇔ 存在z 0∈ \{0}，使得z 0(z k - z 1) = w k - w 1，(k = 2, 3)⇔ (w 2 - w 1)/(z 2 - z 1) = (w 3 - w 1)/(z 3 - z 1)⇔ 13131212w w z z w w z z ----= 0 ⇔ 1110013131212w w z z w w z z ----= 0⇔ 111332211w z w z w z = 0．[证完]9. 试证：四个相异点z 1, z 2, z 3, z 4共圆周或共直线的充要条件是(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)为实数．【解】在平面几何中，共线的四个点A , B , C , D 的交比定义为(A , B ; C , D ) = (AC /CB ) : (AD /DB )．这是射影几何中的重要的不变量．类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z 1, z 2, z 3, z 4的交比定义为[z 1z 2, z 3z 4] = (z 1 – z 3)/(z 2 – z 3) : (z 1 – z 4)/(z 2 – z 4)．本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数． (⇒) 分两种情况讨论(1) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为实数，则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是实数．设(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) = t ，t ∈ ．则z 4 = (1 – t )z 1 + t z 2，故z 4在z 1, z 2所确定的直线上，即z 1, z 2, z 4共线．因此，同理，z 1, z 2, z 3也共线．所以，z 1, z 2, z 3, z 4是共线的．(2) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为虚数，则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是虚数．故Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) ≠ k π，Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) ≠ k π．而Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) – Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2))= Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) = k π．注意到Arg ((z – z 4)/(z – z 2)) = Arg ((z 4 – z )/(z 2 – z ))是z 2 – z 到z 4 – z 的正向夹角， 若Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) = Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2))，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的同侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小相同， 故z 1, z 2, z 3, z 4是共圆的．若Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) = Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) + π，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的异侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小互补， 故z 1, z 2, z 3, z 4也是共圆的．(⇐) 也分两种情况讨论(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, t∈ \{0, 1}，使得z4 = (1 –s)z3 + s z2，z4 = (1 –t)z1 + t z2，那么，z3–z4 = s (z3 –z2)，即(z3–z4)/(z3–z2) = s；而z1–z4 = t (z1 –z2)，即(z1–z4)/(z1–z2) = t，所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2) = t/s∈ ．(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么，Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) = Arg ((z4–z3)/(z2–z3))因此(z4–z1)/(z2–z1) : (z4–z3)/(z2–z3)是实数．也就是说(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)是实数．若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，则Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，故Arg ((z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2))= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) – Arg ((z3–z4)/(z3–z2))= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) + Arg ((z3–z2)/(z3–z4))= Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)仍为实数．[证完]这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法．11. 试证：方程| z -z1 |/| z -z2 | = k ( 0 < k ≠ 1，z1≠z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为ρ，且z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线．当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆．设0 < k ≠ 1，z1≠z2，z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．∀z∈ ，| z -z0 | = ρ⇔| z - (z1 -k2 z2)/(1-k2)| = k | z1 -z2|/| 1-k2 |⇔| z(1-k2)- (z1 -k2 z2) | = k | z1 -z2 |⇔| (z -z1) -k2 (z-z2)| = k | z1 -z2|⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | z1 -z2|⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | (z -z1)- (z-z2) |⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) |2 = | (z -z1) - (z-z2) |2⇔| z -z1 |2/k2 + k2 | z-z2 |2 = | z -z1 |2 + | z-z2 |2⇔(1/k2 - 1)| z -z1 |2 = (1-k2 ) | z-z2 |2⇔| z -z1 |2/k2 = | z-z2 |2⇔| z -z1 |/| z-z2 | = k．[证完]直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的．命题：若复数z, w≠ 0，则| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | = | w -z |．证明：我们用z*表示复数z的共轭．| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |2= | | z | ·w /| w| |2 + | | w| ·z /| z| |2- 2Re[( | z | ·w /| w|) · (| w| ·z /| z|)* ]= | z |2 + | w|2- 2Re( w ·z* ) = | w -z |2．或更直接地，| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |= | | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | · | z*/| z| | · | w*/| w| |= | (| z | ·w /| w| - | w| ·z /| z|) ·(z*/| z|) · (w*/| w|) |= | (| z | · (z*/| z|) - | w| ·(w*/| w|)) | = | w -z |．12. 试证：Re(z) > 0 ⇔ | (1 -z)/(1 + z) | < 1，并能从几何意义上来读本题．【解】Re(z) > 0 ⇔点z在y轴右侧⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧⇔点z到点-1的距离大于点z到点1的距离⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔| (1 -z)/(1 + z) | < 1．不用几何意义可以用下面的方法证明：设z = x + i y，x, y∈ ．| (1 -z)/(1 + z) | < 1 ⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔|1 + z |2 > | 1 -z |2⇔ 1 + z2 + 2Re(z) > 1 + z2- 2Re(z) ⇔Re(z) > 0．[由本题结论，可知映射f(z) = (1 -z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点．并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点．问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？]∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞∙︒ℵℜ℘∇∏∑⎰ ⊥∠ √§ψ∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂∀m∈ +，∃m∈ +，★〈α1, α2, ..., αn〉lim n→∞，+n→∞∀ε > 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，∀ε > 0，∃δ> 0，【解】⎰[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。