三角函数微分公式

三角函数微分公式（转载）

V重恒收录于2011-02-24 阅读数：

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基本函数

函数英语简写关系

正弦Sine sin

余弦Cosine cos

正切Tangent tan （或tg）

（或ctg、ctn）

正割Secant sec

（或cosec）

[编辑] 少用函数

除六个基本函数，历史上还有下面六个函数：

•正矢•余矢•半正矢

•半余矢•外正割•外余割

[编辑] 历史

随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其它边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。

研究三角函数的有尼西亚的喜帕恰斯（公元前180－125年）、埃及的托勒密（公元90－180年）、Aryabhata （公元476－550年），Varahamihira、婆罗摩笈多、花拉子密、Abū al-Wafā' al-Būzjānī、欧玛尔·海亚姆、婆什迦罗第二、Nasir al-Din al-Tusi、Ghiyath al-Kashi（14世纪）、Ulugh Beg（14世纪）、约翰·缪勒（1464）、Rheticus 和Rheticus 的学生Valentin Otho。

Madhava of Sangamagramma（约1400年）以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。欧拉的《无穷微量解析入门》（Introductio in Analysin Infinitorum）（1748年）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。

[编辑] 直角三角定义

[编辑] 直角三角形中

a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边

在直角三角形中仅有锐角三角函数的定义。

1. 一个锐角的正弦是它的对边与斜边的比值。在图中，sin A = 对边／斜边= a/h。

2. 一个锐角的余弦是它的邻边与斜边的比值。在图中，cos A = 邻边／斜边= b/h。

3. 一个锐角的正切是它的对边与邻边的比值。在图中，tan A = 对边／邻边= a/b。[编辑] 直角坐标系中

设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，是角的终边上一点，是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：

函数名定义函数名定义

正弦余弦正切余切

正割余割[编辑] 单位圆定义

单位圆

六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cos θ和sin θ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sin θ = y/1 和cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。

在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的图像。

对于大于2π 或小于−2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：

对于任何角度θ和任何整数k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的「基本周期」（primitive period）。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π 弧度或360 度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π 弧度或180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其它四个三角函数可以定义为：

在笛卡尔平面上f(x) = tan(x) 函数的图像。

在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角(k+ 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在θ = (k+ 1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在θ 从左侧接进(k+ 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近(k+ 1/2)π 的时候函数接近负无穷。

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦AB，这里的θ 是对向角的一半，sin(θ) 是AC（半弦），这是印度的Aryabhata（AD 476–550）介入的定义。cos(θ) 是水平距离OC，versin（θ）= 1 − cos(θ) 是CD。tan(θ) 是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ) 是另一个切线段AF。sec(θ) = OE和cs c(θ) = OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是exsec（θ）= sec(θ) − 1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ 接近π/2（90 度）的时候发散，而余割和余切在θ 接近零的时候发散。

[编辑] 级数定义

正弦函数（蓝色）十分接近于它的5 次泰勒级数（粉红色）。

只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：