4-1 随机变量的数学期望

k! 则有
E( X ) k k e

e
k 1

k0 k !
k1 (k 1)!
e e .
例5 几何分布
设r.v X的分布律为
P{ X k} qk1 p, q 1 p; k 1,2, ; 0 p 1
5.
例10 设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量 X（吨）服从区间【2000，4000】上的均匀分布。若 售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不 出，而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元，问应预 备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？
分析：
解 设应预备 a 吨商品，则销售商品获得的收益为
3. 设 X、Y 是两个随机变量, 则有
E( X Y ) E( X ) E(Y ).

证明 E(X Y )
(xi y j ) pij
i1 j 1


xi pi y j p j E( X ) E(Y ).
i 1
j 1
推广
Y

g

X


3a,
3X a

X
,
且 2000 a 4000.
X a, X a.
于是
E
而
Y
X

:
f
E g X

X

x



1 2000
,
g
x f
2000
X x
x
dx
4000,
0, 其他.
所以
E Y 4000 1 g x dx 2000 2000
解 引入随机变量 Xi ,
0, 在第 i 站没有人下车,
Xi


1,
在第 i 站有人下车,
i 1,2, ,10.
则 X X1 X2 X10.
则有
P{ X i

0}


9
20
,
10
P{ X i

1}

1

9ຫໍສະໝຸດ Baidu
20
,
10
i 1,2, ,10.
1. 设c是常数, 则有 E(c) c.
证明 E(X ) E(c) 1 c c.
2. 设 X 是一个随机变量, c 是常数, 则有
E(cX ) cE(X ).
证明 E(cX ) cxk pk c xk pk cE(X ).
k
k
例如 E( X ) 5, 则 E(3X ) 3E( X ) 3 5 15.
试求顾客等待服务的平均时间?
解
因为
X
~
E

1 5
，
所以 E X 5.
所以，顾客平均等待5分钟就可得到服务.
例8 正态分布
设 X ~ N( μ,σ2 ), 其概率密度为
p( x)
1
e ,
(
x μ)2 2σ 2
σ 0,
x .
2 σ
则有

E(X ) xp(x) d x
则有



E( X ) k qk1 p p k qk1 p (qk )
k 1
k 1
k 1


p( qk )
k 1

p( q ) 1 q
1 p (1 q)2

1 p
2.连续型随机变量数学期望的定义
定义4.2
设连续型随机变量 X 的概率密度为 p(x), 若积分
pk1(1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
np[ p (1 p)]n1
=np
则两点分布B(1, p)的数学期望为 p.
例4 泊松分布
设 X ~ P(), 且分布律为
P{ X k} k e , k 0,1,2, , 0.

E( f ( X )) f (xk ) pk . k 1
2. 连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 p(x) 则

E( f (X )) f (x) p(x) d x.
3. 二维随机变量函数的数学期望
(1) 设 X ,Y 为离散型随机变量, f ( x, y) 为二元函
n
n
E( ai X i ) ai E( X i ).
i 1
i 1
4. 设 X、Y 是相互独立的随机变量, 则有 E( XY ) E( X )E(Y ).
例11* 一民航送客车载有20 位旅客自机场开出, 旅客有 10 个车站可以下车. 如到达一个车站没 有旅客下车就不停车,以 X 表示停车的次数, 求 E( X )(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).
Y 的分布律为
Y
1
0
1
p
0.3
0.4
0.3
得 E(Y ) 1 0.3 0 0.4 1 0.3 0.
p
0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.1
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) (2,1) (2,1) (3,0) (3,1)
Y X 1 0 1 1 2 1 2 0 1 3
第四章
随机变量的数字特征
第一节 数学期望
一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、小结
数学期望的引例
例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，
75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60
7
90 1 85 2 80 2 75 1 60 1
2. 数学期望的性质
10 E(C ) C; 20 E(CX ) CE( X ); 30 E( X Y ) E( X ) E(Y ); 40 X ,Y 独立 E( XY ) E( X )E(Y ).

a 2000
1 2000
3x


a

x

dx

4000 3a dx
a 2000
1 a2 7000a 4000000 1000

1 1000


a

35002

825104


8250
故当预备3500吨商品时，国家收益最大为8250万元。
三、数学期望的性质
由此
E
(
X
i
)

1


9 10

20
,
i 1,2, .
得 E( X ) E( X1 X2 X10)
E( X1) E( X2 ) E( X10)

101



9 10
20


8.784(次).
四、小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权 平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正的平均值.
0,
其 它.
则有
E(X )

xp(x) d x
b
1
xd x

aba
1 (a b).
2
结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.
例7 指数分布
设随机变量X 服从指数分布,其概率密度为
p(
x)

e

x
,
0,
x 0, x 0.
其中 0.
则有
E(X )
σ
t2
te 2 d t
2
2
μ.
可见, N (, 2 )中的正是它的数学期望。
二、随机变量函数的数学期望
1. 离散型随机变量函数的数学期望
若X为离散型随机变量，分布律为
P{ X xk } pk , (k 1,2, ), Y=f(X)为X的函数，
则Y的期望为

x p(x)d x
绝对收敛,则称积分 x p(x) d x 的值为随机
变量 X 的数学期望,记为 E( X ).即

E( X ) x p(x) d x.
例6 均匀分布
设 X ~ U (a, b),其概率密度为
p(
x)

b
1
a
,
a x b,
存入银行的利息: 10 5% 0.5(万元),
故应选择投资.
例3 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
P{ X k} n pk (1 p)nk ,(k 0,1,2, ,n),
k
则有
0 p 1.
n
E(X ) k P{X k}

其中 p(x, y)为(X ,Y ) 的联合概率密度 .
例9 设 (X ,Y) 的分布律为
YX
1
2
3
1
0.2
0.1
0
0
0.1
1
0.1
0
0.3
0.1
0.1
求 : E( X ), E(Y ), E(Y X ), E[(X Y )2].
解 X 的分布律为
X
1
2
3
p
0.4
0.2
0.4
得 E( X ) 1 0.4 2 0.2 3 0.4 2.
故甲射手的技术比较好.
例2 如何确定投资决策方向?
某人有10万元现金, 想投资
于某项目, 欲估成功的机会为 30
%, 可得利润8万元 , 失败的机会
为70%, 将损失 2 万元.若存入银
行, 同期间的利率为5% , 问是否
作此项投资?
解 设 X 为投资利润,则
X 8 2 p 0.3 0.7
E( X ) 8 0.3 2 0.7 1(万元),
7
7
7
7
7
79.3
以频率为权重的加权平均
一、随机变量的数学期望
1. 离散型随机变量的数学期望
定义：设离散型随机变量 X 的分布律为
P{X xk } pk , k 1, 2,L .


若级数 xk pk 绝对收敛,则称级数 xk pk
k 1
k 1
的和为随机变量 X 的数学期望,记为 E( X ).即

E( X ) xk pk . k 1
关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.

xp(x) d x
x ex d x

0
xex 0
ex d x
0
1.

例如：顾客平均等待多长时间?
设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间
X(以分计)服从指数分布,其概率密度为
p(
x)

1 5
e

x
5
,
x 0,
0,
x 0.
(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射手, 他们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲,乙射手击中的环数分别为 X1, X 2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
数,则 E [ f ( X ,Y )]
f ( xi , y j ) pij .
ij
其中( X ,Y ) 的联合概率分布为 pij .
(2) 设 X , Y 为连续型随机变量, f ( x, y) 为二元函 数,则

E[ f (X ,Y )]
f (x, y)p(x, y) d x d y.
k0
n k n pk (1 p)nk k0 k
n

kn! pk (1 p)nk
k0 k!(n k)!
n

np(n 1)!
pk1(1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
n
np
(n 1)!

x
1
e d x
(
x μ )2 2σ2
2 σ
令 x μ t x μ σt, σ
所以

E(X ) x
1
(xμ)2
e 2σ2 d x
2 σ
1
t2

(μ σt)e 2 d t
2
μ 1
t2
e 2 dt
( X Y )2 4 1 0 9 1 9 4
于是
E Y X 10.2 00.110.1 1 0.1 1 0.1 00.3 1 0.1
1.
22
3
15
得 E[(X Y )2] 4 0.3 1 0.2 0 0.1 9 0.4