辐射井模型

辐射井的水量计算

摘要

辐射井是由一大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。辐射井出水量较普通管井、筒井及大口井的高出数至十倍以上，具有较强的取水能力，因此在各领域应用广泛。虽然技术已逐渐成熟但井流计算理论却滞后于辐射井成井技术的发展。

本文在此背景下建立数学模型求得黄土地区辐射井的地下水降落曲线及水量计算公式。

问题一要求我们设计构造黄土地区辐射井的地下水降落曲线的数学模型。经分析我们根据求出的辐射井影响半径，将地下水降落曲线分成两段来求解。针对

0~0R 段：根据经验公式0()0()R x x p p T T T T e α--=+-将该段分为稳定状态和非稳定

状态,并对数据进行处理检验。在稳定状态时，求得井位、观测孔1N 、观测孔2N 的平均水位高，从而求得0.0234α=。再用最小二乘法来确定辐射管水位的高度

0T ，进而求得观测孔1N 、观测孔2N 的预测值进行检验，从而确定黄土地区辐射

井的地下水降落曲线为0.0234(121.75)(79.8977)x x p p T T T e --=+-。对于max 0~R R 段：由

题中所给图可知此井为普通完全井，利用Dupuit 公式0

2

02lg

73.0r R h H k Q -=及kLt Q =，

r h

L =

求得降落曲线为0

2

2lg 73.0r R t r h H h ⋅=-。 问题二针对黄土地区地下水位降深与出水量的关系问题，我们将沿辐射井横剖面上的地下降落曲线近似为高度的平均直线，利用问题一中在水位稳定的时间段模拟的曲线函数，采用积分法得到辐射管的全程的平均高度。通过查阅相关资料得到相关的水位降深与出水量的相关公式，先求出单管流量，再通过辐射管的

根数来求出总流量即辐射井的出水量，得到计算公式为

08()

p

T T Q k R r ϕ

-=-。利

用问题一中分析出的稳定状态，对其进行检验，根据渗透系数k 的范围求出辐射井出水量的最大值与最小值，实际流量在此范围内。

【关键字】辐射井 地下水降落 最小二乘法 出水量 Dupuit 公式

一.问题提出

辐射井与常规管井、筒井及大口井相比，辐射井具备有效开发含水层水量、单井出水量大、井的寿命长、节约动力、管理运行费用低、维修方便等特点。由于其辐射管水平伸入含水层达数十至上百米以上，其水位下降范围大，降速快，具有良好的排水效益，被广泛应用于地基施工降水、尾矿坝排水等工程领域。经过多年的应用和发展，辐射井在成井技术方面已逐渐成熟。又由于辐射井结构的特殊性，地下水运动系三维流，因而其渗流计算不能随意套用其它水井的计算公式。在实际工程中，采用辐射井作为基础工程降水施工、农田地下水人工调控，均需考虑辐射井水位降深计算问题。然而，目前多按抽水试验建立一些经验公式来近似计算辐射井的出水量，难以求解辐射井的降落曲线。本文要求我们依据黄土地区测得的实验数据，分析黄土地区地下水位降深与出水量的关系，建立模型求出黄土地区辐射井的地下水降落曲线并求得辐射井的水量计算公式。

二．模型假设

1.潜水含水层均质各向同性，隔水底板水平，在平面上无限分布。

2.不考虑水和介质骨架的压缩性。

3.潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。

4.在辐射管半径范围内只考虑黄土中水的竖直渗透。

三.符号说明

四.模型的建立与求解

4.1模型一的建立与求解 4.1.1问题一的分析

本问要求设计构造黄土地区辐射井的地下水降落曲线的数学模型。经分析我们应先求出辐射井的影响半径，然后根据题意及查阅相关资料，将地下水降落曲线分成两段来考虑。对于第一段曲线，应分别求出稳定状态与非稳定状态的降落曲线并对所求结果拟合验证；考虑到非稳定状态曲线的求解没有太大的实际意义，故在第二段只需求解稳定状态的曲线。 4.1.2模型的建立

1.辐射井影响半径R 的计算：

从理论上讲，影响半径应为无穷大，但从实用的观点看，可以认为井的影响半径是一个有限的数值。例如当含水层厚度已经非常接近于H （比如95%H ）的地方，可以认为井的影响到此为止。辐射井的影响半径R 可用经验公式来估算：

03000R k R +∆= （1）

式中：

∆—井的抽水深度，0h H -=∆；

k —渗透系数；

0R —水平辐射管的长度；

R ，∆，0

R 0

L 均以m 计，k 以s m /计。

将所给数据代入式（1），可求出影响半径的范围为195.44m~248.78m 。 则78.248max =R m 2.地下水降落曲线的求解:

图1

分析实测的辐射井降落曲线资料可以得知经验表达式如下：

0()0()R x x p p T T T T e α--=+- （2）

运用上面公式，再利用积分以及极限的概念求解待定系数α，具体如下 1、距离竖直集水井中心1

R 处地下水高度

01()

10()R R p p T T T T e α--=+-；

2、运用极限的概念，当

2

R 从右边无限靠近1

R 时，

1

R 与

2

R 段的水位高可以无限

的趋近与1T ，可用公式表示为21

1211

R x R T T dx R R =-⎰；

3、有上述两式求解α，得22111

ln()p p

T T R R T T α-=

--。

4.1.3模型的求解与检验

根据上述所求的影响半径，以及图1可知：辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭。在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成凸形的抛物线，水力坡度由陡变缓。可将地下水降落曲线分为两段：