3相似理论

相似指标：
C 1 C E C
C C C E C
1

C 1 CE C

C 1
m p
若模型与原型相似，模型材料的泊松比必须
与原型材料的泊松比相同，否则将带来误差。
误差是不可避免的，因为模型与原型的材料不同，所以泊松比也不 会完全相同。一般情况原型是用金属材料制成的，金属材料的泊松 比 μ= 0.28—0.3, 模型是用环氧树脂材料制成的，而环氧树脂材 料的泊松比 μ= 0.36—0.38，所以由泊松比引起的误差不会很大。
——判据方程
二、相似理论 1、相似第一定理 在相似现象中，相似指标为1或相似判据为一个不变量。 在相似现象，其相似判据是相同的，是一个不变量。 2、相似第二定理 表示某现象各物理量之间的关系方程式，都可转换成无量纲方 程，无量纲方程的各项即是相似判据。 因此表示某现象各物理量之间的关系方程式，都可写成相似判 据方程。 如:广义虎克定律 x 1 x y z
当相似系数的组合比等于1时，模型与原型的广义虎克定律相同
C 1 C C E
C C C C E
1
若模型与原型相似，则所描述的方程必须相同
C C1 1 C C E
C2
C C C C E
1
c1 , c2 ——相似指标
（3）相似判据： 把相似指标中的相似系数换成相应的物理量——相似判据
CP
PP Pm
L CL P Lm
WP Wm
CL
IP Im
抗弯截面模量 把相似系数分别代入弯矩、应力和挠度方程 弯矩方程 ：
惯性矩
CM M m ( x) CP PmCL ( L x)

M m ( x)
CP CL Pm ( L x) CM
C P Pm C L ( L x) C L Wm
量纲的一致性原理是量纲分析法的理论依据
§3-3 相似理论
一、相似现象及相似理论的基本概念 1、相似现象： 几何相似：指形状、大小相似。 物理相似：指物理性能相似。如：热性能；粘性；弹性性能相似等。 数学相似：指描述某些现象的数学方程式相同。如：弹力中的薄膜比 拟法与扭转毫无关系，但是它们的数学方程式是相似的，
p
LP f p Lm f m
m
若不考虑体积力， 平衡方程 ：

p y p

0
C CL
m m m x y z 0 m m m
C ——任意常数时均符合相似条件 CL
因此不考虑体积力时，平衡微分方程对 C 和 C L 无制约关系，
例2、求解各向同性的弹性结构的应力和变形
一个各向同性的弹性结构要求解其应力和变形时就必须考虑平
衡、几何、物理方程和边界条件。利用这些方程和边界条件建 立相似判据方程。若模型与原型相似，根据相似第一定理，相
似判据为一个不变量，所以根据判据方程式，可得模型与原型
诸物理量之间的关系式。 弹性结构中的相似系数有：
A L 1 [ 0 ] L L L 0 [ E ] ML1T 2
§3-2 量纲分析
量纲一致性原理 一个正确、完善的反映客观规律的物理方程中， 各项的量纲是一致的，这就是量纲的一致性原理。
1、确定方程式中系数的量纲： 例1： 动力学方程如下，试：确定方程中k、α的物理含义。
所以k的量纲为 [k ] [MT 1 ] ，表示质量随时间的变化率。
同理可知，α表示速度。 例2：伯努利方程
p1 1V12 p2 2V22 z1 z2 hw g 2 g g 2 g
各项皆为长度的量纲，满足量纲一致性原理。
否则就会出现长度加时间的错误结论。
同时也可确定α是无量纲数。 2、确定方程式中物理量的指数：
3
应力方程 ： C m, max

CPCL Pm ( L x) CP Pm ( L x) m, max 3 2 Wm Wm C CL C CL
挠度方程：
C y ym
C P Pm C L x 2 6C L I m C E E m
4
2
C L (3L x)
2 2
判据方程：
PP
P LP
2

Pm
m Lm
2
P
PP Lm
Pm PP y P E P LP y m Em Lm
Pm L P PE L y P P m m ym Pm E P LP
m
若要使模型与原型中应力相等
PP Lm Pm L P
2 2
1
PP L P 2 Pm Lm
2
d 2x dx m 2 k k 0 dt dt
2 方程式中的第一项表示力 ，其量纲为 [ F ] [MLT ]
d 2x F m ax m 2 dt
d 2x dx m 2 k k 0 dt dt
方程式中的第二项也表示力，其中速度的量纲为 [V ] [ LT 1 ] ，
只要其它条件相似，模型中的应力与原型中的应力保持相似。
2、物理方程 原型（实体）： xp 代入相似系数： xm
1 xp p yp zp Ep


1 Em
C C C ym zm xm C E C C E C
LP 几何相似系数：C L Lm
；
应力相似系数： C P P
m
m
p 应变相似系数： ； C P m m
弹性模量相似系数：C E
EP Em
泊松比相似系数： C
Cf 体积力相似系数：
P ； 位移相似系数： C P m m
qp fP Cq ； 边界面力相似系数： （分布载荷） fm qm
相似定理中第一定理最重要，因为给出了相似理论的必要
条件。即相似必满足以上条件，但满足此条件不一定相似。 相似第三定理给出了相似的充分条件，即以上几方面都相
似则两个现象必相似。
三、弹性结构的相似性 相似理论是数学问题，下面把数学中的相似理论应用到弹性结构中。
例1：悬臂梁结构的相似性。
悬臂梁自由端受集中力作用时
C1
C 1 C C E
C2
C C C C E
1
相似判据 idem1 E 相似判据 idem 2 E
（4）判据方程： 模型的相似判据：
p p Baidu Nhomakorabeap

C m C m C m C E Em C C E m Em
——相似指标 ——判据方程
C m C CLC f xm CLC f
m m y z fm 0 m m
C 1 相似指标为： ， 相似判据为：idem CLC f Lf
判据方程为：
p
Lp f p
p x p

m
Lm f m
p z p

C C1 1 C CE

p m p E p m Em
模型的相似判据：
p p C mC m C C m m p E p C mCE Em C CE m Em
1
——相似指标

C2
C C C CE

p p m m p E p m Em
E
1
x y z E x E x E x
idem 1
x E x E
y z idem2 E x E x E
3、相似第三定理 在物理方程相同的情况下，两个现象只要下面的条件相似， 则这两个现象必相似。 （1）几何相似 （2）时间相似（动态或动力学问题要求时间相似） （3）物理参数相似 （指E、μ、密度ρ等相似） （4）边界条件相似 （5）初始条件相似 （6）数学相似
1、平衡方程
x xy xz fx 0 x y z
三个平衡方程求出的相似判据均相同
原型（实体）： x y z f p 0 p p p
p
p
p
C m C m C m 代入相似系数： C x C y C z C f f m 0 L m L m L m
X截面的弯矩：
M x PL x
Wz Wz
X截面的最大应力： max M ( x) P( L x) X截面的挠度：
Px 2 y ( x) (3L x) 6 EI
相似系数：
CM
MP Mm
C P m
y Cy P ym
CL
3
CE
4
EP Em
2、导出量纲： 常用的由基本量纲表示的导出量纲有： 速度 加速度 力 密度 应力
dim v LT u LT
1
1
记号：dim
[ ]
a LT 2 F MLT 2 ML3
F 1 2 ML T
应变
泊松比 弹性模量
第三章 量纲分析和相似理论
工程中在实际构件上做实验有时很困难，那么如何用模型代替实际 构件呢？量纲分析和相似理论是研究原型与模型之间规律的基础理 论，在模型实验时必须应用这些理论来找它们之间的规律。 在工程中什么样的问题需要用到模型实验？ 1、尺寸大的构件： 如：大楼的抗震实验；水坝的强度实验等不能建好大楼 和水坝后再做实验，必须先做实验后建大楼和水坝。 2、破坏性实验： 如：坦克的破坏实验。一台坦克的造价约为1700万元， 破坏一台造价太高，所以只能做模型破坏实验。 3、尺寸非常小的构件： 尺寸非常小的构件，在实际构件上做实验很困难， 这就需要在放大后的模型上做实验。 原型（实体） 相似理论 模型(模型实验得到的数据)


若模型与原型相似，则相应的参数之比为常数
p C m
p C m
Cz
Ep Em
p C m
C C Cz C
比例常数 C , C , Cz , C ——相似系数。
（2）相似指标：
p C m
p C m
E p C E Em
p C m
1 xp p yp zp 原型： xp Ep 1 C xm C xm C m C ym zm C E Em




xm
1 Em
C C C xm m ym zm C E C C E C
Pm x 2 CP ym (3L x) C y C E C L 6Em I m
相似指标：
CPCL 1 CM
CP C C L
2
1
CP 1 C y CE CL
相似判据：
PL idem M
PP LP Pm Lm MP Mm
P idem 2 L
P idem yEL
MP PP LP Mm Pm Lm
所以可用薄膜比拟法来解扭转问题。
2、相似理论的基本概念： （1）相似系数：两个相似现象中同类物理量成常数比，其比值称为相似
系数。
如广义虎克定律： x 原型： p , p , E p , p 模型： m , m , Em , m
1 x y z E
§3-1 单位和量纲
单位：表示所度量物理量的大小。是物理量的度量标准， 它是不唯一的，能够受到人们主观意志的影响。
量纲：表示所度量物理量的类型。是物理量的物理属性，
它是唯一的，不随人的主观意志而转移。
如：5米，10分米，3厘米，11毫米等虽然它们的大小不同，但都表示长 度，属于同一种类型的物理量，因此它们的量纲相同。长度的量纲 用[L]表示。 如：10小时，3分，2秒等虽然它们的大小不同，但都表示时间，属于同 一种类型的物理量，因此它们的量纲相同。时间的量纲用[T]表示。 物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲 1、基本量纲 通常力学中以长度、质量、时间和温度作为基本量纲， 其量纲单位分别以[L]、[M]、[T]和[Θ]表示；