模拟信号数字处理方法

数字信号处理
D/AC
ya(t) 平滑滤波
图1.5.1 模拟信号数字处理框图
1.5.1 采样定理及A/D变换器 采样定理及A/D变换器
图1.5.2 对模拟信号进行采样
1.5.1 采样定理及A/D变换器 采样定理及A/D变换器
抽 样 过 程 实 现 及 时 域 描 述
ˆ xa ( t ) → xa ( t ) ˆ xa (t ) = xa (t ) ⋅ pT (t )
π
信号的抽样值xa (nT )经内插函数得到连续信号xa (t )
内插恢复过程
3、实际抽样
• 抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的 矩形周期脉冲 ∞ jk Ω t
pT (t ) =
k =−∞
∑ Ck e
s
其中系数Ck随k变化
♦抽样信号频谱
ˆ X a ( jΩ ) =
k =−∞ ∞
∑C X
k
a
( jΩ − jk Ω s )
∞
n =−∞
sin(π (t − nT ) / T ) π (t − nT ) / T sin(π (t − nT ) / T ) π (t − nT ) / T
(1.5.8)
xa (t )
=
n =−∞
∑
xa ( nT )
(1.5.9)
sin[ (t − nT )] T 内插函数的移位：g(t − nT ) = π (t − nT ) T
H ( jΩ) = ∫ h(t )e
−∞
∞
− j Ωt
dt = ∫ e − jΩt dt
0
T
sin(ΩT / 2) − jΩT / 2 =T e ΩT / 2
(1.5.10)
图1.5.9 零阶保持器的输出波形
零阶保持器的频率特性
作业及下一讲要点
作业
• 1-11 • 1-12 下一讲要点： 下一讲要点： • 傅里叶变换的定义 • 傅里叶变换的特点 • 傅里叶变换存在的条件 • 傅里叶变换的一些对称性质 1.共轭对称与共轭反对称序列的定义； 共轭对称与共轭反对称序列的定义； 共轭对称与共轭反对称序列的定义 2.傅里叶变换的奇、偶、虚、实对称性； 傅里叶变换的奇、 实对称性； 傅里叶变换的奇 3.实序列的奇、偶、虚、实对称性； 实序列的奇、 实对称性； 实序列的奇
恢
＾ (jΩ ) Xa
复 的 频 域 实 现
1 ∞ ˆ X a ( jΩ) = ∑ X a ( jΩ − jkΩ s ) T k = −∞ k =0 ˆ ( jΩ ) = 1 X ( jΩ ) Xa T
（b ）
Ω 0 G(jΩ )
Ω
（c ）
－π/ T
0
π/ T X a(jΩ )
Ω
（d ）
0
1、抽样恢复的频域实现及描述
π
解：1）由
f 0 = 50 Hz ，得
xa (t )的周期为： T0 = 1/ f 0 = 0.02 s
采样频率应： f s > 2 f 0 = 100 Hz 采样间隔应为：T < 1/ f s = 0.01s 2）选f s = 200 Hz 则采样间隔为：T = 1/ f s = 0.005s
∞
理 想 抽 样 频 域 描 述
2π ∞ Ps ( jΩ) = FT [δ T (t )] = ∑ δ (Ω − k Ω s ) T k =−∞ ˆ ( jΩ) = FT [ x (t )] = 1 [ X ( jΩ) * P ( jΩ)] ˆa Xa a s 2π 1 ∞ = ∫−∞ X a ( jθ )Ps ( jΩ − jθ )dθ 2π 1 ∞ 2π ∞ = [ ∫ X a ( jθ ) ∑ δ (Ω − k Ω s − θ )dθ ] 2π −∞ T k =−∞ 1 ∞ ∞ = ∑ ∫ X a ( jθ )δ (Ω − k Ω s − θ )dθ T k =−∞ −∞ 1 ∞ = ∑ X a ( jΩ − jk Ω s ) T k =−∞
xa ( nT ) = sin(2π f 0 nT + π /8) = sin(2π f 0 n / f s + π / 8) 50 1 = sin(2π n + π /8) = sin( π n + π /8) 200 2 ∞ ˆ ∴ xa (t ) = ∑ xa ( nT )δ (t − nT )
利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定 理的抽样信号。
ˆ X a ( jΩ)
理想低通滤波器: :
Ωs T Ω < 2 G ( jΩ ) = 0 Ω ≥ Ωs -Ωs/2 2 ˆ Ya ( jΩ) = X a ( jΩ) ⋅ G ( jΩ) = X a ( jΩ)
G[jΩ] G(jΩ) T
当τ → 0 ˆ xa (t ) = xa (t ) ⋅ ps (t )
讨论：
• 采样前后信号频谱的变化 • 什么条件下，可以从采样信号不失真地恢 复出原信号------奈奎斯特抽样定理的引出 • 求证思路：
FT
理想抽样时域描述----理想抽样频域描述 -----采样前后信号频谱的变化
理想抽样
理 想 抽 样 时 理想抽样输出： 域 描 述
1 ∞ g (t ) = G ( j Ω)e jΩt d Ω 2π ∫−∞ 1 Ωs / 2 jΩt = ∫−Ωs / 2 Te d Ω 2π sin(Ω s t / 2) = Ωs t / 2 sin(π t / T ) g (t ) = πt /T
内插函数
求
•
) ya (t ) = xa (t ) ∗ g (t ) = xa (t )
1 ∞ ∞ jk Ωs t − jΩt 1 ∞ π − j ( Ω−k Ωs ) t = dt ∑ ∫−∞ e e dt = ∑ ∫−π e T k =−∞ T k =−∞
1 ∞ 2π = ∑ 2πδ (Ω − k Ω s ) = T k =−∞ T
k =−∞
∑ δ (Ω − k Ω )
s
∞
X a(jΩ )
ya (t ) = ∫ [ ∑ xa ( nT )δ (τ − nT )]g (t − τ )dτ
−∞ ∞ n =−∞ ∞ ∞ ∞
= = =
n =−∞
∑ ∫
∞ ∞
−∞
xa ( nT )δ (τ − nT ) g (t − τ )dτ
n =−∞
∑ ∑
xa ( nT ) g (t − nT ) xa ( nT )
n =−∞
∞
1 π n = ∑ sin( π n + )δ (t − ) n =−∞ 2 8 200
x ( n ) = xa ( t )
2π
t = nT
1 π = sin( π n + ) 2 8
2π N Q = =4= ω 0 1/ 2π k N = 4为最小正整数 ∴ x ( n )的周期为N = 4
−∞
附
ps (t ) =
k =−∞
∑Hale Waihona Puke Baidu
∞
Ak e jk Ωst
2π 1 其中: Ω s = 为级数的基频，f s = 为采样频率 T T 1 T2 1 T2 ∞ 系数: Ak = ∫ T ps (t )e − jk Ωst dt = ∫ T ∑ δ (t − mT )e− jk Ωst dt T − 2 T − 2 m=−∞ 1 ∞ jkΩst 1 T2 1 ∴ ps (t ) = ∑ e = ∫−T δ (t )e − jk Ωs t dt = T k =−∞ T 2 T 1 ∞ 其频谱：Ps ( jΩ) = FT [ ps (t )] = ∑ FT [e jk Ωst ] T k =−∞
• 抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓， 周期为Ωs • 若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠 失真 • 抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降 • 幅度变化并不影响信号恢复，只要取 Ωs ˆ ( jΩ ) = C X ( jΩ ) C = τ Xa Ω< 0 a 0 T 2
4、其他抽样内插恢复方法 、
x(n) 解码
xa(nT) 零阶保持
′ x a(t) 平滑滤波
xa(t)
图1.5.8 D/AC方框图
由时域离散信号xa(nT)恢复模拟信号的过 程是在采样点内插的过程。理想低通滤波的 方法是用g(t)函数作内插函数，零阶保持器是 将前一个采样值进行保持，一直到下一个采 样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此 相当于进行常数内插。零阶保持器的单位冲 激函数h(t)以及输出波形如图1.5.9所示。对h(t) 进行傅里叶变换，得到其传输函数：
….0.382683，0.923879，-0.382683，
-0.923879…….. 用6位二进制编码….0.01100，0.11101， 1.01100， 1.11101……..
1.5.2 将数字信号转换成模拟信号 --------内插恢复 --------内插恢复 抽
样
（a ）
x ＾a(t) G(jΩ ) y a(t)
Ya ( jΩ)
0 Ωs/2
Ω
2、抽样恢复的时域描述
ˆ Ya ( jΩ) = X a ( jΩ) ⋅ G ( jΩ) = X a ( jΩ)
) ya (t ) = xa (t ) ∗ g (t ) = xa (t )
低通滤波器的时域描述 • 低通滤波器的传输函数G(jΩ)推导其单位 冲激响应g(t)：
Ω
（a ）
－Ω c
0
Ω
c
P (jΩ ) δ
Ω
（b ）
－Ω s
0
Ω
s
＾ (jΩ ) Xa
Ω
（c ）
－Ω s
Ω
s
2
0
Ω
s
2
Ω
s
＾ (jΩ ) Xa
Ω
（d ）
－Ω s
Ω
0
s
Ω
cΩ
s
2
采样信号的频谱
结论
• 抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样 频率为周期进行周期延拓而成 • 频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍 • 若信号的最高频率
第四讲
1.5 模拟信号数字处理方法
内容及要点
要点： 要点 • 抽样过程如何实现，时域如何描述？频域 如何描述？ • 奈奎斯特抽样定理的意义? • 由时域离散信号恢复模拟信号的过程称为 内插恢复过程，该过程如何实现，时域如 何描述？频域如何描述？
1.5 模拟信号数字处理方法
xa(t) 预滤
A/DC
Ωs Ωh > ， 2 Ωs 为折叠频率 2
则延拓分量产生频谱混叠
奈奎斯特抽样定理
要想抽样后能够不失真地还原出原信 号，则抽样频率必须大于两倍信号谱 的最高频率
Ω s > 2Ω h 即f s > 2 f h
采样与量化编码
例：模拟信号xa (t ) = sin(2π f 0t + )，其中f 0 = 50Hz 8 1）求xa (t )的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？ 2）若选采样频率f s = 200Hz，采样间隔为多少？ ˆ 写出采样信号xa (t )的表达式； ˆ 3）画出对应xa (t )的时域离散信号x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。
ˆ xa (t ) = xa (t ) ⋅ ps (t ) = 理想抽样
m =−∞
τ →0
冲激函数：ps (t ) =
m =−∞
∑ δ (t − mT )
∞
∞
∑ x (mT )δ (t − mT )
a
ˆ X a ( jΩ)
X a ( jΩ) = FT [ xa (t )] = ∫ xa (t )e − jΩt dt