八、用面积图解应用题

八、用面积图解应用题

过去我们学过许多解答应用题的方法，其中画线段图法可使分析的问题具体、形象.对于要同时考虑两个因素的一些应用题，如果用长方形的长和宽分别表示两个不同的因素，画出长方形来，再利用长方形的面积进行分析，往往十分方便.

例1有10分和20分的邮票共18张，总面值为2.80元，请问10分和20分的邮票各有几张？

分析与解对于这类问题，过去我们常采用假设法解答，今天我们采用画长方形的面积图来解这一问题.在图1中，用AB、DG分别表示面值20分和10分，用AD、DE分别表示面值为20分、10分邮票的张数，那么长方形ABCD、DEFG的面积分别表示20分、10分邮票的总面值.根据题目中的条件，AE=18，ABCD与DEFG的面积和为2.80（单位为元）.只要求出AD 或DE的长度来，邮票的张数也就知道了.

现在设法求AD等于多少.

AD分别为长方形ABCD、长方形BCGH的一条边.而AB=20，

HB=AB-DG=20-10=10，如果知道长方形ABCD、长方形BCGH的面积，利用长方形的面积公式便可求出AD的长来.前面我们说过， AE=18，AH=DG=10，所以长方形AEFH的面积为18×10=180，即1.80元.而长方形 ABCD与长方形DEFG的面积和为2.80，所以长方形BCGH的面积为2.80-1.80=1.00（单位：元）.10分=0.1元.1÷0.1=10，即AD=10.这样便求出20分邮票的张数了.具体解答过程如下：

线段AD、DE分别表示面值为20分、10分邮票的张数，AB=20（分），AH=DG=10（分）.长方形ABCD与长方形DEFG的面积和为2.80（单位为元）.

长方形AEFH的面积为：0.10×18=1.80（单位为元）

AD的长度为：（2.80-1.80）÷0.1=10（张）

DE=18-10=8

答：20分和10分的邮票的张数分别为10和8.

例2一汽车从城市开往山区，往返共用20小时.去时用的时间是回来时的1.5倍，去时的速度比回来时的速度每小时慢12千米，问往返共行了多少千米（千米可记为km）？

分析与解题目告诉我们：往返共用了20小时，去的时间又是回来时间的1.5倍，根据和倍问题的想法，很容易求出回来用了8[=20÷（1+1.5）]小时，去时用了12（=20-8）小时.

又因为路程=速度×时间，所以当我们用长方形的长与宽分别表示速度与时间时，那么长方形的面积表示路程.

见图2，用AB、BD分别表示去与回的速度，BE、DH分别表示去与回所用的时间，那么便有BE=12，DH=8， BD=AB+12.

要求往返共行了多少千米，只要算出长方形图2ABEM的面积即可.求长方形ABEM的面积的关键，在于求AB的值，为此添辅助线CG和QN.因为长方形ABEM和长方形BDHQ的面积都表示城市与山区间的路程，所以应相等.另外AB=BC，所以长方形ABQN与长方形BCGQ的面积相等.根据被减数、减数相同则差相等的结论，便可求出长方形CDHG与长方形EQNM的面积相等.而长方形CDHG的面积为：12×8=96，QE=BE-BQ=12-8=4，96÷4=24，所以AB=NQ=24.即去时的速度为每小时24千米，有了速度便可算出往返的路程.

具体解答过程为：

图中长方形CDHG的面积为：12×8=96.

EQ=BE-BQ=BE-DH=12-8=4

而长方形EQNM的面积等于长方形CDHG的面积.AB的值为：96÷4=24

长方形ABEM的面积为：24×12=288

往返的路程为：288×2=576（千米）

答：往返的路程为576千米.

例3某单位买单价分别为70元、30元、20元的高、中、低三档手提小皮箱共47个，交款2120元，其中每个30元的中档皮箱的个数是每个20元的低档皮箱个数的2倍.问三种皮箱各买了多少个？

分析与解与例1、例2一样，先画图3.在图中BE=47，表示三种皮箱的总个数.BC、CD、DE分别表示高、中、低三档皮箱的个数，且CD=2DE，用AB、CJ、EF分别表示高、中、低三档皮箱的单价，即AB=70（元），CJ=30（元），EF=20（元）.长方形甲、乙、丙的面积分别表示买这三种皮箱的总价.由题意可知甲、乙、丙三个长方形的面积和等于2120.

如果能求出DE的数值，就能算出三种皮箱各买了多少个.为此添辅助线，得长方形ABEN，它的面积等于70×47，相当于3290（元）.多边形KJHGFN的面积为：3290-2120=1170（单位为元）.

现在研究多边形KJHGFN与DE的关系，再添辅助线HM、IL，并使I 为JH的中点，所以有JI=IH=DE，通过割补，可以把多边形KJHGFN拼成一个长方形，这个长方形的长等于NF、MH、LI三线段长度之和.宽等于DE，而NF=70-20=50，MH=LI=70-30=40.所以可得关系式（NF+MH+LI）

×DE=1170，DE=1170÷（50+40+40）=9.于是便可算出三种皮箱的个数来.具体解答过程如下：

先添辅助线，多边形KJHGFN的面积为：

70×47-2120=1170（元）

NF=70-20=50

NH=LI=70-30=40

因为（NF+MH+LI）×DE=1170

所以 DE=1170÷（50+40+40）=9

CD=2DE=2×9=18

BC=BE-CD-DE=47-18-9=20

答：高、中、低三档皮箱的个数分别为20个、18个、9个.

例4幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣.乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，问三个班总共分了多少个枣？

分析与解先画长方形图，见图4.

在图4中，AB、BD、DG分别表示丙、乙、甲三班小孩的人数，GH、DK、BN分别表示甲、乙、丙三班小孩每人分的枣数，则BD=AB+4，

DG=BD+4=AB+8，这里 CD=EF=FG=4.BN=DK+5，DK=HG+3，这里PN=5， KY=3.这一来长方形DGHY、BDKP、ABNO的面积便分别表示甲、乙、丙三班小孩分得枣的总数.添辅助线后，从图4中可以看出：长方形ABRQ、BCXR、DEJY 的面积相等.根据题意，长方形EGHJ的面积等于长方形QRNO的面积加8（=3+5）.而长方形EGHJ的面积等于8HG，长方形QRNO的面积等于

AB×RN=8AB.即8HG=8AB+8，所以HG=QA=AB+1.另外长方形BDYR与长方形DFIY的面积相等，根据题意长方形FGHI的面积等于长方形RYKP的面积加3，而长方形FGHI的面积等于4GH，长方形RYKP的面积等于3RY，所以4GH=3RY+3=3（BC+4）+3=3BC+15，即4（AB+1）= 3AB+15，最后可求出AB=11， HG=12，有了这两个数便可求出总共分了多少个枣.

甲班总分枣数为：（11+4+4）×12=228（个）

乙班总分枣数为：（11+4）×（12+3）=225（个）

丙班总分枣数为：11×（12+3+5）=220（个）

三班共分枣数为：228+225+220=673（个）

答：三个班总共分枣673个.

从上面几例可以看出，用长方形面积图解一些应用题，可使较复杂的数量关系一目了然，它和线段图、枝形图一样，是我们解应用题的重要工具.

练习八