间断点及其分类

例 6．证明方程 x 2x 1 0 在(0,1) 内至少有一个实数根。
x[a,b]
y
使得 f (c) 。
M
y f (x)
m
o ac
bx
定理 7 的几何意义是：连续曲线弧y f (x) 与直线y
至少有一个交点。
证明：若m M ，则 f (x) 在[a, b] 上为常数，结论成立。
设m M ，由定理 5，存在x, x[a, b] ，使得 f (x) m, f (x) M 。不妨设x x 。
（2）第二类间断点
若 f (x0) 和 f (x0) 中至少有一个不存在，则称 x 是 f (x) 的 第二类间断点。其中极限为 者称为无穷间断点。
例 1．∵ y tan x 在x 处无定义， 2
∴ x 是 y tan x 的一个间断点。 2
∵ lim tan x ，
x 2
∴ x 是 y tan x 的第二类间断点， 2
y
y f (x)
f (x) f (x)
o a x
x b x
注：（1）如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论不
一定成立。例如： f (x) x 在(1, 1) 内连续，但
f (x) x 在(1, 1) 内无最大值也无最小值。
（2）如果 f (x) 在闭区间上有间断点，那么定理的结论
不一定成立。
x0
x
1e1x
∴ x 0 为第二类间断点，且是无穷间断点。
∵ lim f (x) lim
x1
Hale Waihona Puke Baidux1
1
x
0，
1e1x
lim f (x) lim 1 1 ，
x1
x1
x
1e1x
∴x1 为第一类间断点，且是跳跃间断点。
（2）
f
(
x)
(
x
1)
arc
tan
x
1 2
1
,
x 1 .
x , x 1
解： f (x) 是分段函数，x 1 是“分界点”。
∵ lim
x 1
f
(x)
lim (x 1) arctan
x 1
1 x2 1
，
lim f (x) lim (x 1) arctan 1 ，
x 1
x 1
x2 1
∴ lim f (x) 不存在，
x 1
故x 1为第一类间断点，且是跳跃间断点。
1.5.5 闭区间上连续函数的性质
定理 4（有界性定理） 设 f C[a, b] ，则 f 在 [a, b] 上有界，即 M 0 ，x [a, b] ，有 f (x) M 。
若 f (x) 或 f (x) ，则取c x 或c x 即可。 若 f (x) f (x) ，令 F (x) f (x) ， 则 F C[ x, x ] ， 且 F (x) f (x) 0 ， F (x) f (x) 0 ， 由定理 6，存在c (x, x) [a, b] ，使得 F (c) 0 ， 即 f (c) 。
y
x1, 1 x 0,
例如：
f
(x)
0, x 0
1
x1, 0 x 1,
-1 o
1
x
在[1, 1] 上无最大值和最小值。
-1
定理 6（零点定理） 设 f C[a, b] ，且 f (a) f (b) 0 ， 则至少存在一点c(a, b) ，使得 f (c) 0 。
y
y f (x)
oa
c
bx
注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 不一定成立。 例如： f (x) 1C(0, 1) ，但f (x) 在(0, 1) 内无界。 x
定理 5（最大—最小值定理）设 f C[a, b] ，则存在 x, x [a, b] ，x [a, b] ，有 f (x) f (x) f (x) 。
且是无穷间断点。
例 2．∵ y sin 1 在 x 0 处无定义， x
∴ x 0 是 y sin 1 的一个间断点。 x
∵ lim sin 1 不存在， x0 x
∴ x 0 是 y sin 1 的第二类间断点。 x
例 3．∵ f (x) x2 1 在点x 1 处无定义， x1
∴ x 1 是 f (x) x2 1 的一个间断点。
sin x x 0
, x0 , x0 ，
x
s
in
1 x
1,
x0
∵ f (00) lim sin x 1， f (00) lim (xsin 1 1) 1，
x0 x
x0
x
∴ lim f (x) 1 ，但 lim f (x) 1 f (0) 0 ，
x0
x0
∴点 x 0 是 f (x) 的第一类间断点，且是可去间断点。
定理 6 的几何意义是： 若连续曲线弧y f (x) 的两个端点 位于 x 轴 的不同侧，则这段曲线弧与 x 轴 至少有一个交点。
定理 7（介值定理） 设 f C[a, b] ，且m min f (x) ，
x[a,b]
M max f (x) ，则对任意[m, M ] ，都存在c [a, b] ，
2.间断点的分类 （设 x 是 f (x)的 间断点。）
（1）第一类间断点
若 f (x0) 和 f (x0) 都存在，则称x 是 f (x)的 第一 类间断点。 ①若 f (x0) f (x0) ，则称x 是 f (x) 的 跳跃间断点； ②若 f (x0) f (x0) ，则称x 是 f (x) 的 可去间断点。
当 x 1 时， 根据初等函数在其定义区间上是连续
的结论，知 f (x) 在(, 1), (1, 1), (1, ) 内连续。
∵ lim f (x) lim (x 1) arctan 1 0 ， f (1) 1 ，
x1
x1
x2 1
∴ lim f (x) f (1) ，
x1
故x 1为第一类间断点，且是可去间断点。
x1
∵ lim f (x) lim x2 1 lim (x1) 2 ，
x1
x1 x1 x1
∴ x 1 是 f (x) x2 1 的第一类间断点，且是可去间断点。 x1
若补充定义： f (1) 2 ，
则
f
(x)
x2 1, x 1
x 1 在点x 1
处连续。
2 , x 1
例
4．设
f
(x)
若改变定义： f (0) 1 ，则 f (x) 在点x 0 处连续。
例 5．讨论下列函数的连续性，并指出间断点的类型。
（1） f (x) 1
x
1e1x
解：间断点为x 0 ，x1 ，
f (x) 在 (, 0), (0, 1), (1, ) 内连续。
∵ lim f (x) lim 1 ，
x0