贝叶斯决策例题

例：某工程项目按合同应在三个月内完工，其施工费用与工程完工期有关。假定天气是影响能否按期完工的决定因素，如果天气好，工程能按时完工，获利5万元；如果天气不好，不能按时完工，施工单位将被罚款1万元；若不施工就要付出窝工费2千元。根据过去的经验，在计划实施工期天气好的可能性为30%。为了更好地掌握天气情况，可以申请气象中心进行天气预报，并提供同一时期天气预报资料，但需要支付资料费800元。从提供的资料中可知，气象中心对好天气预报准确性为80%，对坏天气预报准确性为90%。问如何进行决策。解：采用贝叶斯决策方法。

(1)先验分析

根据已有资料做出决策损益表。

根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8（2）预验分析

完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）=1.36（万元）

完全信息价值：EVPI=EPPI- EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元）

即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。（3）后验分析

①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x1(好天气)、x2(坏天气)将会出现哪一种状态。

从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率： 天气好且预报天气也好的概率 P （x 1/θ1）=0.8 天气好而预报天气不好的概率 P （x 2/θ1）=0.2 天气坏而预报天气好的概率 P （x 1/θ2）=0.1 天气坏且预报天气也坏的概率 P （x 2/θ2）=0.9

②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。 预报天气好的概率 1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.31 预报天气坏的概率 2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.69 预报天气好且天气实际也好的概率：

111111()(/)

(/)()

P P x P x P x θθθ⋅=

=0.3×0.8/0.31=0.77

预报天气好而天气坏的概率：

212211()(/)

(/)()

P P x P x P x θθθ⋅=

=0.7×0.1/0.31=0.23

预报天气坏而实际天气好的概率:

121122()(/)

(/)()

P P x P x P x θθθ⋅=

=0.3×0.2/0.69=0.09

预报天气坏且实际天气也坏的概率： 222222()(/)

(/)()

P P x P x P x θθθ⋅=

=0.7×0.9/0.69=0.91

上述计算可以用表格表示：

③ 后验决策：

若气象中心预报天气好（x1）,则每个方案的最大期望收益值 E(d1/x1)=0.77×5+0.23×(-1)=3.62

E(d2/x1)=0.77×(-0.2)+0.23×(-0.2)=-0.2

选择d1即施工的方案，相应在预报x1时的最大期望收益值E （X1）=3.62 若气象中心预报天气不好（x2） E(d1/x2)=0.09×5+0.91×(-1)=-0.46 E(d2/x2)=0.09×(-0.2)+0.91×(-0.2)=-0.2

选择d2即不施工的方案，相应在预报x2时的最大期望收益值E （X2）=-0.2 ④ 计算补充信息的价值：

得到天气预报的情况下，后验决策的最大期望收益值：

1122*()()()()()EMV P x E x P x E x =⋅+⋅后=0.31×3.62+0.69×（-0.2）=0.9842

则补充的信息价值为：EMV*(后)- EMV*(先)=0.9842-0.8=0.1842

补充信息价值大于信息费（800元），即这种费用是合算的。 ⑤ 画出决策树（略）