数学归纳原理和最小数原理的等价性证明

数学归纳原理和最小数原理的等价性证明

这两个原理都是自然数公理系统中最基本的原理，人们常常用最小数原理证明数学归纳原理。我发现用数学归纳原理也可以证最小数原理。所谓的最小数原理是指：自然数集合的任意非空子集必有最小元素。

一：用数学归纳原理证最小数原理。当自然数的非空子集只含一个元素时，这个元素就是最小元素。设n

元集有最小元素，对于n+1

元集，新加入的元素与n元集中的最小数比较，若新加入的元素不大于该最小数，则新加入的元素为最小数，否则，原来的n元集中的最小数仍是n+1元集的最小数。由数学归纳原理，含任意个自然数数目的自

然数子集都有最小数。得证。

二：用最小数原理证数学归纳原理：p(o)成立，且p(n)成立可导出p(n+1)成立，则对于一切自然数n,p(n)成立。否则，若对于若干个（可能有限个，也可能无限个）自然数m1,……mi……(i≥1）使命题不成立，由最小数原理，这若干个自然数有最小数记为w，而且，w一定是正数，那么，就一定存在唯一的自然数b,b+1=w.b不属于这个使命题不成立的元素组成的集合，因为b比最小数还小。则p(b)是成立的，由规则，p(b+1)也成立即p(w)成立。矛盾。故对于一切自然数n,p(n)成立。证毕。

其实以上发现也没啥大不了的，很直观浅显。这两个原理的等价性得证后，两者中的任意一条都可以作为皮亚杰五条公理中的一条吗？不行！因为最小数原理中的小于最开始还是没有定义的！。

还有，该等价关系非我第一次发现，由于其十分简单，在我发现等价性后，我在华罗庚的《数学归纳法》

最后找到了同样的结论。

归纳原理和数学归纳法

1．数学归纳法的理论依据

归纳法和演绎法都是重要的数学方法．归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现思维，不适用数学严格证明．

数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列佩亚诺公理Ⅰ—Ⅴ中的归纳公理：

Ⅰ．存在一个自然数0∈N；

Ⅱ．每个自然数a有一个后继元素a′，如果a′是a的后继元素，则a叫做a′的生成元素；

Ⅲ．自然数0无生成元素；

Ⅳ．如果a′=b′，则a=b；

Ⅴ．(归纳公理)自然数集N的每个子集合M，如果M含有0，并且含有M内每个元素的后继元素，则M＝N

自然数就是满足上述佩亚诺公理的集合N中的元素．关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论．由佩亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素，如果记0′＝1，1′=2，2′=3，…，n′=n＋1，…，则

N=｛0，1，2，…，n，…｝

由佩亚诺公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数，在本质上是一致的．90年代以前的中学数学教材中，将自然数的起始元素视作1，则自然数集即为正整数集．现在已统一采取上面的记法，将0作为第一个自然数．

定理1(最小数原理)自然数集N的任一非空子集A都有最小数．

这本是自然数集N关于序关系∈(＜)为良序集的定义．现在用归纳公理来证明．

证设M是不大于A中任何数的所有自然数的集合，即

M=｛n｜n∈N且n≤m，对任意m∈A｝

由于A非空，至少有一自然数a∈A，而 a＋1(＞a)不在M中．所

然，就有

1° 0∈M(0不大于任一自然数)；

2°若m∈M，则m＋1∈M．

根据归纳公理，应有M＝N．此与M≠N相矛盾．

这个自然数m0就是集合A的最小数．因为对任何a∈A，都有

m0意a∈A，于是m0＋1∈M，这又与m0的选取相矛盾．

反之，利用最小数原理也可以证明归纳公理．因此，最小数原理与归纳公理是等价的．

定理2(数学归纳法原理)一个与自然数相关的命题T(n)，如果

1° T(n0)(n0≥0)为真；

2°假设T(n)(n≥n0)为真，则可以推出T(n＋1)也为真．

那么，对所有大于等于n0的自然数n，命题T(n)为真．

证用反证法．若命题T(n)不是对所有自然数n为真，则

M=｛m｜m∈N，m≥n0且T(m)不真｝

非空．根据定理1，M中有最小数m0．由1°， m0＞n0，从而m0－1≥n0且T(m0-1)为真．由2°，取n=m0-1即知T(m0)为真．此与T(m0)不真相矛盾．从而证明了定理2．

在具体运用数学归纳法进行数学证明时，有多种不同形式．运用定理2中两个步骤进行证明的，为Ⅰ型数学归纳法．经常使用的还有Ⅱ型数学归纳法，Ⅱ型数学归纳法是：

如果命题T(n)满足

1°对某一自然数n0≥0，T(n0)为真；

2°假设对n0≤k≤n的k， T(k)为真，则可以推出 T(n＋1)也真．

那么．对所有大于等于n0的自然数，命题T(n)都真．

定理3Ⅰ型数学归纳法和Ⅱ型数学归纳法等价．

证假设命题 T(n)对n=n0为真，于是只须证明“由T(n)(n≥n0)为真，可以推出T(n＋1)也为真”的充要条件为“由T(k)(n0≤k≤n)为真，可以推出T(n+1)也为真．”

1°充分性

若“由T(n)(n≥n0)为真，可以推出 T(n＋1)也为真”，则对n0≤k

≤n，T(k)为真，特别 T(n)为真，因此 T(n＋1)也为真．

2°必要性

用反证法．若“由 T(k)(n0≤k≤n)为真，可以推出 T(n＋1)也为真”，但并非对所有大于等于n0的自然数n，由T(n)为真，可以推出 T(n＋1)也为真，则 M=｛m｜m∈N， m≥n0且由T(n)为真推不出T(n＋1)也为真｝非空．由定理1，M中有最小数m0，且对n0≤k＜m0的k，由T(k)为真，可以推出T(k＋1)也为真．特别由 T(n0)为真可知 T(n0+1)为真，由T(n0＋1)为真可知 T(n0＋2)为真，……，由T(m0－1)为真可知 T(m0)为真．现已知T(n0)为真，所以T(n0)， T(n0+1)，…， T(m0)都为真，由此可知 T(m0＋1)也为真，所以由 T(m0)为真推出了T(m0＋1)也为真．这与m0的选取矛盾．

由定理3可知，Ⅱ型数学归纳法也是合理的推理方法．

2．数学归纳法在应用中要注意的问题

第一，证明的两个步骤缺一不可第一步是归纳的基础，第二步是归纳的传递．尤其是不可忽视第一步的验证．

例1试证

1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2＋1

证假设当n=k时公式成立，则

1＋3＋5＋…＋(2n-1)＋(2n+1)

＝［1＋3＋5＋…＋(2n-1)］＋(2n＋1)

＝n2＋1＋2n＋1＝(n＋1)2＋1

完成了数学归纳法的第二步，但结论显然是错误的．为什么？因为缺少第一步．事实上，当n=0时，公式不成立．