天津大学 现代控制理论课件 窦立谦 第5章 线性定常系统的综合
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0 0 0 1 & x = 1 −1 0 x + 0 u , y = [ 0 1 1] x 0 1 −1 0
①验证原系统的能控性。 验证原系统的能控性。
1 0 0 rank[ B AB A2 B] = 0 1 −1 = 3 0 0 1
∑ K = [ A + BK , B, C ]
改变了系统的极点。
5.2 极点配置问题
( （1）定理 ）定理5.2-1 采用状态反馈对 ∑ 0 ：A, B, C ) 任意配置极 ( 点的充要条件是 ∑ 0 ：A, B, C ) 完全能控。
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
1 问题提出
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如 状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控 性、能观测性、稳定性等)。 而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。 在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
2 状态反馈
& ∑ K ：x = ( A + BK ) x + Bv y = Cx
Wk ( s ) = C [ sI − ( A + BK ) ] B
−1
记作： K = [ A + BK , B, C ] ∑
ur×1
xn×1
vr ×1
ym×1
r×n
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
3 输出反馈
ur×1
r×m
& x = A + B ( I − HD) −1 HC x + B( I − HD) −1 v y = C + D( I − HD) −1 HC x
若D=0，状态空间表达式为
& x = ( A + BHC ) x + Bv y = Cx
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
QcK = B ( A + BK ) B ( A + BK ) 2 B L ( A + BK ) n −1 B
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
Qc 0 = B AB A2 B L An −1 B = n QcK = B ( A + BK ) B ( A + BK ) 2 B L ( A + BK ) n −1 B
5.2 极点配置问题
（2）定理 ）定理5.2-3
5.2 极点配置问题
3 采用从输出到状态矢量ẋ反馈
ur ×1
B
1/s A
xn×1
C
ym×1
n×m
G
∑ 0 ：A, B, C ) (
∑G = [ A + GC , B, C ]
改变了系统的极点。
5.2 极点配置问题
定理5.2-4 定理
5.2 极点配置问题
0 1 0 0 & x = 0 0 1 x + 0 u , y = [10 10 0] x 0 −2 −3 1 0 0 0 10 & x = 1 0 −2 x + 10 u , y = [ 0 0 1] x 0 1 −3 0
xn×1
vr×1
ym×1
r×m
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相加形成控制律。
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
3 输出反馈
& x = Ax + Bu y = Cx + Du
在系统中引入反馈控制律
ur×1
xn×1
vr×1
ym×1
u = Hy + v
其中， v ∈ r × 1
r×m
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
定理5.1-2：输出反馈不改变原系统的能观性与能控性． 定理
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
例5.1-1
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
绪论
本章结构 • 第5章 线性定常系统的综合 章
5.2 极点配置问题
例5.2-1
①验证原系统的能控性。 验证原系统的能控性。
5.2 极点配置问题
②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。 定义反馈增益矩阵 ，闭环系统特征方程。
③求出希望的闭环系统特征方程。 求出希望的闭环系统特征方程。
5.2 极点配置问题
④计算K 计算
5.2 极点配置问题
例5.2-2 对于下述状态系统，要求通过状态反馈将闭环极 * 点设置 λ1 = −2, λ* ,3 = −1 + j 3 2
现 代 控 制 理 论
第5章线性定常系统的综合
主讲： 主讲：窦立谦
绪论
本章结构 • 第5章 线性定常系统的综合 章
5.1 线性反馈控制系统的基本结构 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 系统解耦问题 5.5 状态观测器 5.6 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
3 输出反馈
& ∑ H ：x = ( A + BHC ) x + Bv y = Cx
−1
记作： H = [ A + BHC , B, C ] ∑
ur×1
xn×1
ym×1
ห้องสมุดไป่ตู้
vr×1
WH ( s ) = C [ sI − ( A + BHC ) ] B
r×m
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
4 从输出到状态矢量ẋ反馈
③求出希望的闭环系统特征方程。 求出希望的闭环系统特征方程。 希望的闭环系统特征方程
* * * f (λ ) = ∏(λ − λi* ) = λ n + an −1λ n −1 + L + a1 λ + a0 * i =1 n
④计算K 计算
an −1 , ,a1 ,a0 ⇒ K = [ k1 L k2 L kn ]
②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。 定义反馈增益矩阵 ，闭环系统特征方程。
K = [k1 k2 k3 ]
f (λ) = λ I − ( A + BK ) = λ 3 + (2 − k0 )λ 2 + (1 − 2k0 − k1 )λ − (k0 + k1 + k2 )
5.2 极点配置问题
③求出希望的闭环系统特征方程。 求出希望的闭环系统特征方程。
参考输入； H ∈r×m 输出反馈系数阵或输出反馈增益。 对单输入系统，K为n维行向量。
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
3 输出反馈
& x = Ax + Bu y = Cx + Du
ur×1
xn×1
vr×1
ym×1
u = Hy + v
u = H (Cx + Du ) + v = HCx + HDu + v = ( I − HD ) −1 ( HCx + v)
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
（2）采用状态反馈的步骤： ）采用状态反馈的步骤： ①验证原系统的能控性。 验证原系统的能控性。 能控性 ②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。 定义反馈增益矩阵 ，闭环系统特征方程。
K = [ k1 k2 L k n ] f (λ ) = λ I − ( A + BK ) = λ n + an −1λ n −1 + L + a1λ + a0
④计算K 计算
K = [ k1 k 2 k3 ] = [ −2 − 3 − 3]
5.2 极点配置问题
例5.2-2 试研究下列受控对象
G (s) = 10( s + 1) s ( s + 1)( s + 2)
采用状态反馈使闭环极点位于 −2,− 1 ± j 的可能性。 将受控对象写 成可控但不可 观测的实现
5.1 线性反馈控制系统的基本结构 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 系统解耦问题 5.5 状态观测器 5.6 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.2 极点配置问题
1 问题提出
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
ur×1
xn×1
vr×1
ym×1
r×n
∑ 0 ：A, B, C ) (
5 动态补偿器
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
6 闭环系统的能控与能观性
定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一 定理 定能保证能观性． 定理5.1-2：输出反馈不改变原系统的能观性与能控性． 定理
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系统的能观 定理 性，但可能改变原系统的能控性．
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一定 定理 能保证能观性．
( 证明：设原系统为 ∑ 0 ：A, B, C ) ，是能控的。
Qc 0 = B AB A2 B L An −1 B = n
状态反馈后系统 ∑ K = [ A + BK , B, C ]
D
ur×1
B
1/s A
xn×1
C
ym×1
n×m
G
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态矢量ẋ端
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
4 从输出到状态矢量ẋ反馈
& x = Ax + Bu y = Cx + Du & x = Ax + Gy + Bu y = Cx + Du & x = ( A + GC ) x + ( B + GD )u y = Cx + Du
将受控对象写 成不可控但可 观测的实现
5.2 极点配置问题
例5.2-2 试研究下列受控对象
G (s) = 10( s + 1) s ( s + 1)( s + 2)
采用状态反馈使闭环极点位于 −2,− 1 ± j 的可能性。 将受控对象写 成可控但不可 观测的实现
0 1 0 0 & x = 0 0 1 x + 0 u , y = [10 10 0] x 0 −2 −3 1 0 0 0 10 & x = 1 0 −2 x + 10 u , y = [ 0 0 1] x 0 1 −3 0
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
2 状态反馈
ur×1
xn×1
vr ×1
ym×1
r×n
把状态乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相加形成控制律。
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
2 状态反馈
& ∑ 0 ：x = Ax + Bu y = Cx + Du
在系统中引入反馈控制律
vr×1
ur×1
xn×1
ym×1
u = Kx + v
其中， v ∈ r × 1
r×n
参考输入； K ∈r×n 状态反馈系数阵或状态反馈增益。 对单输入系统，K为n维行向量。
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
2 状态反馈
& ∑ ：x = Ax + Bu y = Cx + Du
ur×1
xn×1
vr×1
ym×1
u = Kx + v
将受控对象写 成不可控但可 观测的实现
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
2 采用输出反馈
ur×1
xn×1
ym×1
vr×1
r ×m
∑ 0 ：A, B, C ) (
∑ H = [ A + BHC , B, C ]
改变了系统的极点。
5.2 极点配置问题
（1）定理 ）定理5.2-2
f * (λ ) = (λ + 2)( λ + 1 + j 3)( λ + 1 − j 3) = λ 3 + 4λ 2 + 8λ + 8
f (λ) = λ I − ( A + BK ) = λ 3 + (2 − k0 )λ 2 + (1 − 2k0 − k1 )λ − (k0 + k1 + k2 )
& ∑ K ：x = ( A + BK ) x + Bv y = (C + DK ) x + Dv
若D=0
r×n
& ∑ K ：x = ( A + BK ) x + Bv y = Cx
−1
闭环系统传递函数为： Wk ( s ) = C [ sI − ( A + BK ) ] B
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
例5.2-3
5.2 极点配置问题
绪论
本章结构 • 第5章 线性定常系统的综合 章
ur ×1
B D 1/s A
xn×1
C
ym×1
n×m
G
若D=0，状态空间表达式为
& x = ( A + GC ) x + Bu y = Cx
记作： G = [ A + GC , B, C ] ∑
WG ( s ) = C [ sI − ( A + GC ) ] B
−1
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
①验证原系统的能控性。 验证原系统的能控性。
1 0 0 rank[ B AB A2 B] = 0 1 −1 = 3 0 0 1
∑ K = [ A + BK , B, C ]
改变了系统的极点。
5.2 极点配置问题
( （1）定理 ）定理5.2-1 采用状态反馈对 ∑ 0 ：A, B, C ) 任意配置极 ( 点的充要条件是 ∑ 0 ：A, B, C ) 完全能控。
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
1 问题提出
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如 状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控 性、能观测性、稳定性等)。 而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。 在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
2 状态反馈
& ∑ K ：x = ( A + BK ) x + Bv y = Cx
Wk ( s ) = C [ sI − ( A + BK ) ] B
−1
记作： K = [ A + BK , B, C ] ∑
ur×1
xn×1
vr ×1
ym×1
r×n
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
3 输出反馈
ur×1
r×m
& x = A + B ( I − HD) −1 HC x + B( I − HD) −1 v y = C + D( I − HD) −1 HC x
若D=0，状态空间表达式为
& x = ( A + BHC ) x + Bv y = Cx
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
QcK = B ( A + BK ) B ( A + BK ) 2 B L ( A + BK ) n −1 B
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
Qc 0 = B AB A2 B L An −1 B = n QcK = B ( A + BK ) B ( A + BK ) 2 B L ( A + BK ) n −1 B
5.2 极点配置问题
（2）定理 ）定理5.2-3
5.2 极点配置问题
3 采用从输出到状态矢量ẋ反馈
ur ×1
B
1/s A
xn×1
C
ym×1
n×m
G
∑ 0 ：A, B, C ) (
∑G = [ A + GC , B, C ]
改变了系统的极点。
5.2 极点配置问题
定理5.2-4 定理
5.2 极点配置问题
0 1 0 0 & x = 0 0 1 x + 0 u , y = [10 10 0] x 0 −2 −3 1 0 0 0 10 & x = 1 0 −2 x + 10 u , y = [ 0 0 1] x 0 1 −3 0
xn×1
vr×1
ym×1
r×m
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相加形成控制律。
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
3 输出反馈
& x = Ax + Bu y = Cx + Du
在系统中引入反馈控制律
ur×1
xn×1
vr×1
ym×1
u = Hy + v
其中， v ∈ r × 1
r×m
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
定理5.1-2：输出反馈不改变原系统的能观性与能控性． 定理
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
例5.1-1
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
绪论
本章结构 • 第5章 线性定常系统的综合 章
5.2 极点配置问题
例5.2-1
①验证原系统的能控性。 验证原系统的能控性。
5.2 极点配置问题
②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。 定义反馈增益矩阵 ，闭环系统特征方程。
③求出希望的闭环系统特征方程。 求出希望的闭环系统特征方程。
5.2 极点配置问题
④计算K 计算
5.2 极点配置问题
例5.2-2 对于下述状态系统，要求通过状态反馈将闭环极 * 点设置 λ1 = −2, λ* ,3 = −1 + j 3 2
现 代 控 制 理 论
第5章线性定常系统的综合
主讲： 主讲：窦立谦
绪论
本章结构 • 第5章 线性定常系统的综合 章
5.1 线性反馈控制系统的基本结构 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 系统解耦问题 5.5 状态观测器 5.6 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
3 输出反馈
& ∑ H ：x = ( A + BHC ) x + Bv y = Cx
−1
记作： H = [ A + BHC , B, C ] ∑
ur×1
xn×1
ym×1
ห้องสมุดไป่ตู้
vr×1
WH ( s ) = C [ sI − ( A + BHC ) ] B
r×m
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
4 从输出到状态矢量ẋ反馈
③求出希望的闭环系统特征方程。 求出希望的闭环系统特征方程。 希望的闭环系统特征方程
* * * f (λ ) = ∏(λ − λi* ) = λ n + an −1λ n −1 + L + a1 λ + a0 * i =1 n
④计算K 计算
an −1 , ,a1 ,a0 ⇒ K = [ k1 L k2 L kn ]
②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。 定义反馈增益矩阵 ，闭环系统特征方程。
K = [k1 k2 k3 ]
f (λ) = λ I − ( A + BK ) = λ 3 + (2 − k0 )λ 2 + (1 − 2k0 − k1 )λ − (k0 + k1 + k2 )
5.2 极点配置问题
③求出希望的闭环系统特征方程。 求出希望的闭环系统特征方程。
参考输入； H ∈r×m 输出反馈系数阵或输出反馈增益。 对单输入系统，K为n维行向量。
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
3 输出反馈
& x = Ax + Bu y = Cx + Du
ur×1
xn×1
vr×1
ym×1
u = Hy + v
u = H (Cx + Du ) + v = HCx + HDu + v = ( I − HD ) −1 ( HCx + v)
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
（2）采用状态反馈的步骤： ）采用状态反馈的步骤： ①验证原系统的能控性。 验证原系统的能控性。 能控性 ②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。 定义反馈增益矩阵 ，闭环系统特征方程。
K = [ k1 k2 L k n ] f (λ ) = λ I − ( A + BK ) = λ n + an −1λ n −1 + L + a1λ + a0
④计算K 计算
K = [ k1 k 2 k3 ] = [ −2 − 3 − 3]
5.2 极点配置问题
例5.2-2 试研究下列受控对象
G (s) = 10( s + 1) s ( s + 1)( s + 2)
采用状态反馈使闭环极点位于 −2,− 1 ± j 的可能性。 将受控对象写 成可控但不可 观测的实现
5.1 线性反馈控制系统的基本结构 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 系统解耦问题 5.5 状态观测器 5.6 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.2 极点配置问题
1 问题提出
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
ur×1
xn×1
vr×1
ym×1
r×n
∑ 0 ：A, B, C ) (
5 动态补偿器
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
6 闭环系统的能控与能观性
定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一 定理 定能保证能观性． 定理5.1-2：输出反馈不改变原系统的能观性与能控性． 定理
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系统的能观 定理 性，但可能改变原系统的能控性．
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一定 定理 能保证能观性．
( 证明：设原系统为 ∑ 0 ：A, B, C ) ，是能控的。
Qc 0 = B AB A2 B L An −1 B = n
状态反馈后系统 ∑ K = [ A + BK , B, C ]
D
ur×1
B
1/s A
xn×1
C
ym×1
n×m
G
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态矢量ẋ端
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
4 从输出到状态矢量ẋ反馈
& x = Ax + Bu y = Cx + Du & x = Ax + Gy + Bu y = Cx + Du & x = ( A + GC ) x + ( B + GD )u y = Cx + Du
将受控对象写 成不可控但可 观测的实现
5.2 极点配置问题
例5.2-2 试研究下列受控对象
G (s) = 10( s + 1) s ( s + 1)( s + 2)
采用状态反馈使闭环极点位于 −2,− 1 ± j 的可能性。 将受控对象写 成可控但不可 观测的实现
0 1 0 0 & x = 0 0 1 x + 0 u , y = [10 10 0] x 0 −2 −3 1 0 0 0 10 & x = 1 0 −2 x + 10 u , y = [ 0 0 1] x 0 1 −3 0
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
2 状态反馈
ur×1
xn×1
vr ×1
ym×1
r×n
把状态乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相加形成控制律。
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
2 状态反馈
& ∑ 0 ：x = Ax + Bu y = Cx + Du
在系统中引入反馈控制律
vr×1
ur×1
xn×1
ym×1
u = Kx + v
其中， v ∈ r × 1
r×n
参考输入； K ∈r×n 状态反馈系数阵或状态反馈增益。 对单输入系统，K为n维行向量。
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
2 状态反馈
& ∑ ：x = Ax + Bu y = Cx + Du
ur×1
xn×1
vr×1
ym×1
u = Kx + v
将受控对象写 成不可控但可 观测的实现
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
2 采用输出反馈
ur×1
xn×1
ym×1
vr×1
r ×m
∑ 0 ：A, B, C ) (
∑ H = [ A + BHC , B, C ]
改变了系统的极点。
5.2 极点配置问题
（1）定理 ）定理5.2-2
f * (λ ) = (λ + 2)( λ + 1 + j 3)( λ + 1 − j 3) = λ 3 + 4λ 2 + 8λ + 8
f (λ) = λ I − ( A + BK ) = λ 3 + (2 − k0 )λ 2 + (1 − 2k0 − k1 )λ − (k0 + k1 + k2 )
& ∑ K ：x = ( A + BK ) x + Bv y = (C + DK ) x + Dv
若D=0
r×n
& ∑ K ：x = ( A + BK ) x + Bv y = Cx
−1
闭环系统传递函数为： Wk ( s ) = C [ sI − ( A + BK ) ] B
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
例5.2-3
5.2 极点配置问题
绪论
本章结构 • 第5章 线性定常系统的综合 章
ur ×1
B D 1/s A
xn×1
C
ym×1
n×m
G
若D=0，状态空间表达式为
& x = ( A + GC ) x + Bu y = Cx
记作： G = [ A + GC , B, C ] ∑
WG ( s ) = C [ sI − ( A + GC ) ] B
−1
5.1 线性反馈控制系统的基本结构