九年级中考数学总复习：二次函数知识总结 讲义

2020年中考数学人教版总复习：二次函数知识总结

一、二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

二、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．

（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．

（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．

三、二次函数的图象及性质

1．二次函数的图象与性质

开口向上开口向下

四、抛物线的平移

1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：

3．注意

二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．

五、二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．

六、二次函数的综合

1、函数存在性问题

解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．

2、函数动点问题

（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．

（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．

（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．

考点一二次函数的有关概念

1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；

③二次项系数不等于零．

2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．

典型例题

典例1 ）如果y=（m–2）x2m m-是关于x的二次函数，则m=

A．–1 B．2 C．–1或2 D．m不存在

【答案】A

【解析】依题意

²2

20

m m

m

-=

⎧

⎨

-≠

⎩

，解得m=–1，故选A.

【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a0

≠.

典例2 下列函数是二次函数的是

A．y=2x+2 B．y=﹣2x C．y=x2+2 D．y=x﹣2 【答案】C

【解析】直接根据二次函数的定义判定即可．

A、y=2x+2，是一次函数，故此选项错误；

B、y=﹣2x，是正比例函数，故此选项错误；

C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；

D、y=x﹣2，是一次函数，故此选项错误．

故选C．

考点2二次函数的图象

二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.

典型例题

典例3函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】A，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b<0矛盾，故此选项错误；

B，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，1）在y轴正半轴，可知a+b=1与a+b<0矛盾，故此选项错误；

C，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，a+b=1可能成立，故此选项正确；

D，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，与y轴交于正半轴，则a+b>0，而图象与x轴的交点为（1，0），则a+b+a+b=0，显然a+b=0与a+b>0矛盾，故此选项错误．故选C．

典例4如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是

A ．a >0

B ．b <0

C ．ac <0

D ．bc <0

考点4 二次函数的性质

二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h 、k 仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a 必相等． 典型例题

典例5 由二次函数y =3（x ﹣4）2﹣2可知 A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线x =4 C ．其顶点坐标为（4，2） D ．当x >3时，y 随x 的增大而增大

【答案】B

【解析】2

3(4)2y x =--Q ，

∴a =3>0，抛物线开口向上，故A 不正确；

对称轴为4x =，故B 正确； 顶点坐标为（4，–2），故C 不正确；

当4x >时，y 随x 的增大而增大，故D 不正确；