抛物线的几何性质(课堂版)

1 p 2 0, tan
1 1 2p y1 y2 2 p(1 ) tan 2 tan 2 sin 2
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。
解 : 若 2 , 则 AB 2 p, 此时AB为抛物线的通径 结论得证 p y p )tan ,即x , 2 tan 2 若

2
, 设直线l的方程为 : y ( x
代入抛物线方程得 : y 2 2 py y1 y2 p 2 , y1 y2 AB 1 2p , tan
∴直线 AB 的方程为 x y cot
p ∵焦点 F ( , 0) ,直线 AB 的倾斜角为 2 p
( x1 , y1 )
p ( x 2 , y2 ) x y cot 由 2 消去 x 并整理得 y 2 2 py cot p 2 0 与直线 y 2 2 px 的倾斜角 ∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2 无关! 2 2 2 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) = (1 cot )( y1 y2 )2 2p 2 2 = (1 cot ) ( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 2 sin
解 : 设AB的中点为M , 过A, B , M 分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则 MM1 AA1 BB1 2 AF BF 2 AB 2
结论得证.
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
练习3:求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点在直线x-2y-4=0上;
(1)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,
∴当抛物线的焦点为F(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0), p 则由 =2得p=4,∴所求抛物线方程为x2=-8y. 2 ②令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,∴当抛物线的焦点为F(4,0)时, p 2=2px(p>0),则由 设抛物线方程为y =4得p=8, 2 ∴所求抛物线方程为y2=16x. 综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.
解 : AB AF BF p p ) ( x2 ) 2 2 x1 x2 p ( x1
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 2p 问题 2 : 若l的倾斜角为 , 则 AB . 2 sin
线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
抛物线的焦半径 抛物线上一点P x0 , y0 与焦点的连线叫抛物 线的焦半径. (1) y 2 px ,
2
( 2) y 2 2 px , (3) x 2 py ,
2
( 4) x 2 py ,
2
p | PF | x0 ; 2 p | PF | - x0 2 p | PF | y0 2 p | PF | - y0 2
2
来自百度文库
与抛物线交于A, B两点, 求线段AB的长.
y
解法1 : 直线AB的方程为y x 1, 代入双曲线方程得 : x 2 6 x 1 0 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 x2 6, x1 x2 1, p p 解法 2 :| AB | ( x1 ) ( x2 ) 2 2 x1 x2 p 6 2 8
1 通径的长度 : 2 p; 2 通径越大, 抛物线开口越大; 3 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. p 2 问题 4 : 求证 : x1 x2 , y1 y2 p . 4
p ( ,0) 2
p x 2
x0
x轴 (0,0) e 1 x轴 (0,0) e 1
y 2 2 px ( p 0)
Fo y F o y x x
x0
y0
x 2 py
2
( p 0)
x 2 2 py ( p 0)
p p (0, ) y 2 2
y轴 (0,0) e 1
2
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. p 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,焦点 F ( , 0) M ( x1 , y1 ) 2 p
准线 l : x
2 线,垂足分别为 M、N.
（2） 求焦点在x轴上,且点A(-2,3)到焦点的 距离是5的抛物线的方程,并写出它的焦点坐 标与准线方程.
[解] 焦点在x轴上, 可设抛物线方程为y 2 2px(p 0), p 则焦点为F( , 0),由 FA 5得 : 2 p 2 ( 2) 2 0 3 52 , 2 即p 2 8p 48 0, 解得p 12或p 4, 当p 12时, 抛物线的方程为y 2 24x, 它的焦点坐标为 6, 0 , 准线方程为x 6, 当p 4时, 抛物线的方程为y 2 8x, 它的焦点坐标为 2, 0 , 准线方程为x 2.
练习4：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
解: 在探照灯的轴截面
所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.

y
A (40,30)
O
B
x
设抛物线的标准方程为:y2=2px
∴ AB FA FB = x1 x2 p
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛 物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题3 : 焦点弦中, 通径最短.
解 :由问题 2知: AB sin 2 1 2p sin 2 2p 2 p, sin 2 AB 的最小值为2 p,即通径最短. 通径的性质 :
o F
x
p p (0, ) y 2 2
y 0 y轴 (0,0) e 1
补充（1）通径： （标准方程中2p的几何意义）
y
通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
O
P ( x 0 , y0 )
F
x
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 1 1 2 问题6 : 求证 : FA FB p
解法1 : 过A, B作x轴的垂线, 垂足分别为R, S , 直线l的倾斜角为 , P , 1 cos 1 1 cos 1 1 cos 1 1 2 ,同理 , . AF P BF P FA FB p ER EF FR P AF cos AF AF 解法 2 : 若直线l的斜率不存在, 结论显然成立, p y k( x ) 若直线l的斜率存, 设为k , 则 2 y 2 2 px 2 2 k p k 2 x 2 p( k 2 2 ) x 0 4 1 1 1 1 2 p p p FA FB x1 x2 2 2
一、温故知新
定义：在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等 的点的轨迹叫 抛物线.
图 l y
O
抛物线的定义及标准方程
形 标准方程
焦点坐标 准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2
练习：2.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上） 方程 焦点 准线 开口方向
3 2
y 6x
2
F ( ,0)
F (1,0)
3 2
x
开口向右 开口向左
y 4 x
2
x 1
y 1
x 4y
2
F (0,1)
7 8
开口向上
开口向下
2 x 7 y 0 F (0, )
2
y
7 8
题型一 求抛物线的标准方程
例1 : (1)抛物线y x上一点P到焦点的
2 2
7 7 答案 : P , 距离为2, 则P点的坐标标为 _________2. 4
( 2)抛物线y 2 x上两点A, B到焦点的距离
答案 : 之和是5, 则线段AB中点横坐标是 ____2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y 4 x的焦点,
解 :由问题 2的解法知:y1 y2 p 2 , y12 y2 2 x1 , x2 , 2p 2p ( y1 y2 )2 P 2 x1 x2 2 4P 4
2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题5 : 求证 : 以AB为直径的圆与准线相切
K O B F
A
x
| AB | 1 12 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8
抛物线的焦点弦 过抛物线焦点的弦叫焦点弦, 设焦点弦端点 A x1 , y1 , B x2 , y2 , 则 (1) y 2 px ,
2
| AB | x1 x2 p; | AB | p x1 x2 | AB | y1 y2 p | AB | p y1 y2
,分别过点 A、B 作 l 的垂
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x 2 , y2 )
p ∵直线 AB 的方程为 x y cot 2 p x y cot 由 2 消去 y 并整理得 x 2 (2 p cot 2 p) x p2 0 y 2 2 px 2p 2 ∴ AB = 2 p cot 2 p sin 2
( 2) y 2 2 px , (3) x 2 py ,
2
( 4) x 2 py ,
2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
由条件可得A (40,30), 302=2p· 40
代入方程得: 45 解之: p=
4
故所求抛物线的标准方程为:
y2=
45 2
x, 焦点为(
45 8
,0)
抛物线的几何性质
标准 方程
y 2 2 px ( p 0)
图形
y o y F x
焦点
准线 范围
对称 顶 轴 点
离心 率
p p ( ,0 ) x 2 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
F
l
O
x
y
F
O
l
x
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
练习
1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是 ( )
D
B.抛物线
D.直线
A.圆
C.线段
解析:(3,5)点在直线2x+3y-21=0上,所以到(3,5)与 定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线.