计算机图形学第6章(2)

关于yoz平面的对称变换为：
1 0 TFyz 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
p' x' y' z ' 1 p TF yz [ x y z 1]
计算机图形学
关于zox平面的对称变换为:
TFzx
1 0 0 1 0 0 0 0
c f i n
p q r s
计算机图形学
7. 2 几何变换 图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、 比例、旋转等变换后产生新的图形。 主要包括
点的矩阵变换
线框图的变换
用参数方程描述的图形的变换
计算机图形学
三维几何变换
T1 T3
p' x'
y ' z ' 1 p T3D x
投影中心、投影面、投影线：
A A' 投影线 投影中心 B'
计算机图形学
7. 3 投影变换
投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面
上得到二维平面图形。
投影变换包括 平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通
过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图 形：三视图、轴测图。 观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。
计算机图形学
平面几何投影变换
1 TRZ
计算机图形学
7.2.2 三维复合变换
三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换 结果是每次变换矩阵相乘。
P' P T P (T1 T2 T3 Tn )
(n 1)
计算机图形学
1. 相对任一参考点的三维变换
相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换 的过程分为以下三步： (1)将参考点F移至坐标原点 (2)针对原点进行三维几何变换 (3)进行反平移
0 0 0 1
O
z
B''(0,b,c)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
计算机图形学
绕任意轴的三维旋转变换
(3) 将OB '绕y轴顺时针旋转β角，则OB '旋转到z轴
上；
cos( ) 0 TRy sin( ) 0
0 sin( ) 1 0 0 cos( ) 0 0
计算机图形学
关于z轴的对称变换为：
1 0 0 1 TFz 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
p' x' y' z ' 1 p TFz [ x y z 1]
计算机图形学
5. 错切变换
TSH
1 b d 1 g h 0 0
计算机图形学
(2)绕x轴旋转
TRX 0 1 0 cos 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 1
X
z
y
p' x' y' z' 1 p TRt [ x y cos z sin y sin z cos 1]
计算机图形学
整体比例变换的逆变换矩阵为：
1 0 1 TS 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 s
计算机图形学
(3)旋转的逆变换
cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
计算机图形学
(2)沿y方向错切
TSHy
1 0 0 0
b 1 h 0
0 0 1 0
0 0 0 1
计算机图形学
(3)沿z方向错切
TSHz
1 0 0 0
0 1 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
计算机图形学
6. 逆变换
逆变换即是与上述变换过程的相反的变换 (1)平移的逆变换
计算机图形学
第6章
提出问题
三维变换及三维观察
• 如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 • 如何进行投影变换 • 如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察
计算机图形学
用户坐标系中 观察空间的定义 的几何形体
实 现 三 维 几 何 形 体 显 示 的 流 程
用户坐标系到 观察坐标系的转换 观察坐标系中的三维形体 规范化投影变换 规范化观察空间中的 三维形体 三维裁剪 裁剪后的三维形体
2. 绕任意轴的三维旋转变换
Y
[ x' y' z' 1] [ x y z 1] TRAB
P' B θ P
A
问题：如何求出TRAB?
Z X
图7-9 P点绕AB轴旋转
计算机图形学
绕任意轴的三维旋转变换
(1) 将A点平移到坐标原点；
1 0 TA 0 x A
0 1 0 yA
计算机图形学
1. 平移变换
1 0 0 0 1 0 Tt 0 0 1 Tx Ty Tz 0 0 0 1
(x,y,z)
Y
(x',y',z')
X
Z
图7-5
平移变换
p' x' y' z ' 1 p Tt [ x Tx y Ty z Tz 1]
0 0 1 0
0 0 0 1
p' x' y' z ' 1 p TF zx [ x y z 1]
计算机图形学
(2)关于坐标轴对称变换 关于x轴进行对称变换的 矩阵计算形式为：
1 0 0 0 1 0 TFx 0 0 1 0 0 0
计算机图形学
4.
对称变换
1 0 TFxy 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
(1)关于坐标平面对称
关于xoy平面进行对称变换的
矩阵计算形式为：
p' x' y' z ' 1 p TF xy [ x y z 1]
计算机图形学
0 0 0 1
p' x' y' z' 1 p TF x [ x y z 1]
计算机图形学
关于y轴的对称变换为：
1 0 TFy 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1
p' x' y' z ' 1 p TF y [ x y z 1]
e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。
z 2 E F 2 B x A C x 3 G D y 1 H z 1 1 y
其矩阵计算形式如下:
计算机图形学
0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 1 3 0 1 1 / 2 0 3 0 1 0 1 / 3 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 3 2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1/ 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
(5) 最后，求TtA，TRx，TRy的逆变换，回到AB原 来的位置。
T TA TRx TRy TR T T T
1 Ry
1 Rx
1 A
计算机图形学
由上可知,针对任意方向轴的变换可用五个步 骤来完成：
(1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移 变换。 (2)使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换， 且旋转变换可能不止一次。 (3)针对该坐标轴完成变换。 (4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。 (5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。
正投影
二维坐标系下的图形
二维变换输出
输出设备上的图形
计算机图形学
主要内容
三维齐次坐标变换矩阵
三维几何变换 投影变换
计算机图形学
7.1 三维齐次坐标变换矩阵 图形的变换可以表示为图形点集的规范化齐次 坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式. 三维变换矩阵形式如下
a b d e T3 D g h l m
0 0 0 1
计算机图形学
z' E
B'(a,b,c) a v z' B''
B''
a B'(a,b,c) v
c
c
v
O x'
b
D
y' a x'
O
y'
(a)
(b)
图7-10 OB经两次旋转与Z'轴重合
计算机图形学
绕任意轴的三维旋转变换
(4) 经以上三步变换后，AB轴与z轴重合，此时绕 AB轴的旋转转换为绕z轴的旋转；
计算机图形学
(2)整体比例变换
1 0 TS 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 s
x y z p' x' y' z ' 1 p Ts [ 1] s s s
计算机图形学
3.旋转变换
z
y X
图7-7
旋转变换的角度方向
计算机图形学
计算机图形学
2. 比例变换
(1)局部比例变换
a 0 Ts 0 0
0 0 0 e 0 0 0 j 0 0 0 1
p' x' y' z' 1 p Ts [ax ey iz 1]
计算机图形学
举例:
对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中a=1/2，
0 0 1 zA
0 0 0 1
此时，A变为O，B变为B’。
计算机图形学
绕任意轴的三维旋转变换
(2) 将OB'B''绕x轴逆时针旋转α角，则OB '旋转到
xoz平面上；
x
0 0 1 0 cos sin T Rx 0 sin cos 0 0 0
B'(a,b,c)
计算机图形学
(3)绕y轴旋转
TRY cos 0 sin 0
p ' x'
z
0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1
X
y
y ' z ' 1 p TRt
[ x cos z sin y x sin z cos 1]
计算机图形学
例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换
z z z z
(x',y',z')
(x',y',z')
F x (a)原图
y
(x',y',z')
y x
(x',y',z')
y
F
x (b)移至坐标原点
y x (c)基本比例变换 (d)移回F点原来位置
图7-8
相对参考点F的比例变换
计算机图形学
y
a b d e z 1 h i l m
T2
c f j n
p q r s
T4
T1: 与比例、对称、旋转、错切变换相关;
T2: 与平移变换相关;
T3: 与透视投影变换相关; T4: 产生整体比例变换;
计算机图形学
7.2.1 三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的 几何变换 假设p (x,y,z)为三维形体变换前的点,经变换后为p’ (x',y',z')。
Tt
1
1 0 0 Tx
0 1 0 Ty
0 0 1 Tz
0 0 0 1
计算机图形学
(2)比例的逆变换
局部比例变换的逆变换矩阵为：
T
1 s
1 a 0 0 0
0 0 1 0 e 1 0 i 0 0
0 0 0 1
(1)绕z轴旋转
cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
z
TRZ
y X
p' x' y' z' 1 p TRt [ x cos y sin x sin y cos z 1]
c f 1 0
0 0 0 1
p' x' y' z ' 1 p TSH [ x dy gz bx y hz cx fy z 1]
计算机图形学
(1)沿x方向错切
TSHx
1 d g 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1