计算机图形学第6章

Q1(1)和Q2(0)在P点处重合，且其在P点处的切
矢量方向相同，大小相等
6.1.6 三次Hermite样条
即 Q1(1)= Q2(0)、Q1’(1)= Q2’(0)、Q1”(1)= Q2”(0)
有 Q1(1)= a3 + a2 + a1 + a0
Q2(0)= b0 因 Q1’(t1)=3a3t1 + 2a2 t1+ a1 Q2’(t2)=3b3 t2+ 2b2 t2+ b1 则 Q1’(1)=3a3 + 2a2+ a1 Q2’(0)= b1 因 Q1”(t1)=6a3t1 + 2a2 Q2”(t2)=6b3t2 + 2b2 则 Q1”(1)=6a3+ 2a2 Q2”(0)= 2b2
6.1.6 三次Hermite样条曲线
令
1 2 2 1 3 3 2 1 Mh Hermite矩阵 0 0 1 0 1 0 0 0
根据： P ( t ) [ t 3 t 2
a3 a2 t 1] a1 a0
拟合型
对已经存在的离散点列构造出尽可能光滑 的曲线，用以直观（而忠实）地反映出实 验特性、变化规律和趋势等。
设计型
设计人员对其所设计的曲线并无定量的
概念，而是在设计过程中即兴发挥。
6.1.1 曲线的表示

曲线的表示方法
参数表示
非参数表示 显示表示 隐式表示
6.1.1 曲线的表示
显示表示
，t∈[0,1]
6.1.1 曲线的表示
参数表示法的优越性：
1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关，具有几 何不变性。 2）有更大自由度来控制曲线、曲面的形状。 3）容易实现各种线性变换运算。
4）曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题。
5）便于曲线的分段描述；
6）易于处理多值问题 7）参数的变化约定为[0,1]，自然规定了曲线是有界的。
6.1.6 三次Hermite样条曲线
例2：试求两段三次Hermite曲线达C1连续的条件。 解：两段三次Hermite曲线分别为：
Q1(t1)=a3t1 + a2t1+ a1t1+ a0
Q2(t2)=b3 t2 + b2t2+ b1t2+ b0
t1∈[0 1]
t2∈[0 1]
依据C1连续充要条件为：

6.1.6 三次Hermite样条曲线

给出端点坐标、端点坐标的切矢量，即： P(0),P(1), P’(0),P’(1)
根据条件，得出方程：
P (0 ) a 0a 0a 0a 3 2 1 0 P ( 1 ) a 1a 1a 1a 3 2 1 0 2 P'(0 ) 3 at at 3 2 2 a 1 a 1 P'( 1 ) 3 a a 3 2 2 a 1
三次参数样条曲线方程可以写成：
P0 P1 t 1] Mh P0' P1'
P(t) [t 3 t 2
三次Hermite样 条曲线的方程
6.1.6 三次Hermite样条曲线

上式展开
其中:
称为Hermite样条调和函数
因为它们调和了边界约束值，使在整个参数范围内产生曲线的 坐标值。调和函数仅与参数t有关，而与初始条件无关。
P0 0 P1 1 P 0 ' 0 P1' 3 0 0 1 a3 a2 1 1 1 0 1 0 a1 2 1 0 a0
则：
a 3 0 a 2 1 a 1 0 a 0 3
6.1.3 逼近

控制点
逼近 构造一条曲线使之在 某种意义下最接近给 定的数据点，称对这 些数据点进行逼近， 所构造的曲线称为逼 近曲线。 用这种方法建立的曲 线数学模型只是近似 地接近已知的控制点， 并不一定完全通过所 有的控制点。
控制多边 形或 特征多边 形
6.1.4 拟合

拟合：
在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的 曲线曲面达到某些设计要求。

6.1.6 三次Hermite样条曲线
例1：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特 征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下： （100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）, （420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300） 假定各点处的一阶导数数值如下： （70,-70）, （70,-70）, （70,-70）,（70,-70）, （70,70）, （70,70）, （-70,70）,（-70,70）, （70,-70） 用Hermite插值方法绘制曲线。 解：p0=(100,300) p1=(120,200) p0’=(70,-70) p1’=(70,-70) For(t=0;t<=1;t=t+0.1)或 For(t=0;t<=1;t=t+0.01)或
6.1.5 曲线的连续性—参数连续性

一阶参数连续性（记作C1） 相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。
6.1.5 曲线的连续性—参数连续性

二阶参数连续性（记作C2） 指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶 和二阶导数。
6.1.5 曲线的连续性—几何连续性


几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。 零阶几何连续性（记作 G 0）： 与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段 在交点处有相同的坐标。
6.1.6 三次Hermite样条
=> 两段三次Hermite曲线：
Q1(t1)=a3t1 + a2t1+ a1t1+ a0 Q2(t2)=b3 t2 + b2t2+ b1t2+ b0 a3 + a2 + a1 + a0 = b0 t1∈[0 1] t2∈[0 1]
6.1.6 三次Hermite样条曲线
P (0 ) a 0a 0a 0a 3 2 1 0 P ( 1 ) a 1a 1a 1a 3 2 1 0 2 P'(0 ) 3 at at 3 2 2 a 1 a 1 P'( 1 ) 3 a a 3 2 2 a 1
矩阵形式：
它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条
曲线（Spline Curve)。

在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段 （可为规则/自由曲线段）连接而成的曲线，在每段 的边界处满足特定的连续性条件。
样条的插值

通常：进行分段插值 n+1个控制点进行分段，建立简单的数学模型； 在线段交点处，设置边界条件进行光滑连接。
曲线构造方法
插Байду номын сангаас法 逼近法
6.1.2 插值
• 型值点 通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数 据点。
• 控制点 用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上） • 插值点
在型值点或控制点之间插入的一系列点。
6.1.2 插值

插值

给定一组有序的数 据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线 顺序通过这些数据 点，称为对这些数 据点进行插值，所 构造的曲线称为插 值曲线。
6.1.5 曲线的连续性—几何连续性

一阶几何连续性（记作 G 1） 指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比 例，但大小不一定相等。
6.1.5 曲线的连续性 –几何连续性

二阶几何连续性（记作 G 2） 指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导 数成比例，即曲率一致。
样条曲线

在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。 绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各实测点，其
0 1 0 2
0 1 1 1
1 1 0 0
1
0 P 2 P 1 3 P 0 ' 0 P 1 ' 1
2 3 0 0
1 2 1 0
1P 0 P 1 1 0 P 0 ' 0 P 1 '
构造通过5个型值点的抛物线参数样条曲线
P2
P4
P1
P3
P5
这样构造出来的抛物线参数样条曲线完全通过给定的5型 值点，除了P1到P2的区间, P4到P5的区间其他两个型值 点之间都是重合区间
6.1.6 三次Hermite样条曲线
一般的三次参数样条曲线的代数形式

把上述的代数方程改写为矢量形式 从a3x到a0z有12个系数为代数系数，它们确定了 这条参数曲线的形状和位置。系数不同则曲线不 同。 P(t)表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表示 (a0x,a0y,a0z)
6.1.6 三次Hermite样条曲线

Hermite 样条曲线通过给定的N个型值点构造，每 两个型值点之间生成一条Hermite曲线段， Hermite 样条曲线由N-1条首尾相连的Hermite曲线 构成，并且相邻的Hermite曲线段在连接点处二阶 导数相等（C2连续性） Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点Pi 、 Pi+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
6.1 基础知识
从表示形式来看，曲线可分成两大类： 可以用标准方程描述的曲线。如圆、 规则曲线—— 椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、 摆线等 曲线 无法用标准方程描述的曲线，通常 自由曲线—— 由一系列实测数据点确定。如汽车 的外形曲线、等高线等。
6.1 基础知识

从生成算法来看，曲线可分成两大类：