计算机图形学第6章

拟合型
对已经存在的离散点列构造出尽可能光滑 的曲线，用以直观（而忠实）地反映出实 验特性、变化规律和趋势等。
设计型
设计人员对其所设计的曲线并无定量的
概念，而是在设计过程中即兴发挥。
6.1.1 曲线的表示

曲线的表示方法
参数表示
非参数表示 显示表示 隐式表示
6.1.1 曲线的表示
显示表示
三次参数样条曲线方程可以写成：
P0 P1 t 1] Mh P0' P1'
P(t) [t 3 t 2
三次Hermite样 条曲线的方程
6.1.6 三次Hermite样条曲线

上式展开
其中:
称为Hermite样条调和函数
因为它们调和了边界约束值，使在整个参数范围内产生曲线的 坐标值。调和函数仅与参数t有关，而与初始条件无关。
它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条
曲线（Spline Curwk.baidu.come)。

在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段 （可为规则/自由曲线段）连接而成的曲线，在每段 的边界处满足特定的连续性条件。
样条的插值

通常：进行分段插值 n+1个控制点进行分段，建立简单的数学模型； 在线段交点处，设置边界条件进行光滑连接。
6.1.6 三次Hermite样条
=> 两段三次Hermite曲线：
Q1(t1)=a3t1 + a2t1+ a1t1+ a0 Q2(t2)=b3 t2 + b2t2+ b1t2+ b0 a3 + a2 + a1 + a0 = b0 t1∈[0 1] t2∈[0 1]
6.1.6 三次Hermite样条曲线
令
1 2 2 1 3 3 2 1 Mh Hermite矩阵 0 0 1 0 1 0 0 0
根据： P ( t ) [ t 3 t 2
a3 a2 t 1] a1 a0
6.1.6 三次Hermite样条曲线

Hermite 样条曲线通过给定的N个型值点构造，每 两个型值点之间生成一条Hermite曲线段， Hermite 样条曲线由N-1条首尾相连的Hermite曲线 构成，并且相邻的Hermite曲线段在连接点处二阶 导数相等（C2连续性） Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点Pi 、 Pi+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
y y 2 1 yy ( x x ) 1 1 x x 2 1

直线的隐式方程表示为：
y y 2 1 f ( x ， y ) yy ( x x ) 0 1 1 x x 2 1
6.1.1 曲线的表示

直线的参数方程表示为：
t x x 1 (x 2 x 1) t 1 (y 2 y 1) y y
P0 0 P1 1 P 0 ' 0 P1' 3 0 0 1 a3 a2 1 1 1 0 1 0 a1 2 1 0 a0
则：
a 3 0 a 2 1 a 1 0 a 0 3
6.1.6 三次Hermite样条曲线
P (0 ) a 0a 0a 0a 3 2 1 0 P ( 1 ) a 1a 1a 1a 3 2 1 0 2 P'(0 ) 3 at at 3 2 2 a 1 a 1 P'( 1 ) 3 a a 3 2 2 a 1
矩阵形式：
6.1.5 曲线的连续性


构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自由 曲线,然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线。 拼接条件：首先必须有连接点，其次必须在连接 点处平滑过渡，即需要满足连续性条件。 连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。
6.1.5 曲线的连续性 –参数连续性

零阶参数连续性（记作C0）： 指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。
第二篇 几 何
第6章 曲线与曲面
6.1 基础知识

自由曲线和曲面发展过程 自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。 1963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面 1964-1967年，美国MIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面 1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线和曲 面 1974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德, B样条理论用于形状描 述 1975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理B样条 80年代，皮格尔和蒂勒, 将有理B样条发展成非均匀有理B样条， NURBS方法
6.1.5 曲线的连续性—参数连续性

一阶参数连续性（记作C1） 相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。
6.1.5 曲线的连续性—参数连续性

二阶参数连续性（记作C2） 指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶 和二阶导数。
6.1.5 曲线的连续性—几何连续性


几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。 零阶几何连续性（记作 G 0）： 与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段 在交点处有相同的坐标。

6.1.6 三次Hermite样条曲线

给出端点坐标、端点坐标的切矢量，即： P(0),P(1), P’(0),P’(1)
根据条件，得出方程：
P (0 ) a 0a 0a 0a 3 2 1 0 P ( 1 ) a 1a 1a 1a 3 2 1 0 2 P'(0 ) 3 at at 3 2 2 a 1 a 1 P'( 1 ) 3 a a 3 2 2 a 1
构造通过5个型值点的抛物线参数样条曲线
P2
P4
P1
P3
P5
这样构造出来的抛物线参数样条曲线完全通过给定的5型 值点，除了P1到P2的区间, P4到P5的区间其他两个型值 点之间都是重合区间
6.1.6 三次Hermite样条曲线
一般的三次参数样条曲线的代数形式

把上述的代数方程改写为矢量形式 从a3x到a0z有12个系数为代数系数，它们确定了 这条参数曲线的形状和位置。系数不同则曲线不 同。 P(t)表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表示 (a0x,a0y,a0z)
6.1 基础知识
从表示形式来看，曲线可分成两大类： 可以用标准方程描述的曲线。如圆、 规则曲线—— 椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、 摆线等 曲线 无法用标准方程描述的曲线，通常 自由曲线—— 由一系列实测数据点确定。如汽车 的外形曲线、等高线等。
6.1 基础知识

从生成算法来看，曲线可分成两大类：
6.1.3 逼近

控制点
逼近 构造一条曲线使之在 某种意义下最接近给 定的数据点，称对这 些数据点进行逼近， 所构造的曲线称为逼 近曲线。 用这种方法建立的曲 线数学模型只是近似 地接近已知的控制点， 并不一定完全通过所 有的控制点。
控制多边 形或 特征多边 形
6.1.4 拟合

拟合：
在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的 曲线曲面达到某些设计要求。
6.1.2 插值 –线性插值

线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1 和x2的值，用线形函数 y=Φ (x)=ax+b近似代替， 称Φ (x)为f(x)的线性插值函数。
6.1.2 插值 –抛物线插值
抛物线插值(二次插值)
已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3， 要求构造函数 y =Φ (x)=ax2+bx+c,使得Φ (x)在xi处与 f(x)在xi处的值相等。
6.1.5 曲线的连续性—几何连续性

一阶几何连续性（记作 G 1） 指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比 例，但大小不一定相等。
6.1.5 曲线的连续性 –几何连续性

二阶几何连续性（记作 G 2） 指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导 数成比例，即曲率一致。
样条曲线

在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。 绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各实测点，其
，t∈[0,1]
6.1.1 曲线的表示
参数表示法的优越性：
1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关，具有几 何不变性。 2）有更大自由度来控制曲线、曲面的形状。 3）容易实现各种线性变换运算。
4）曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题。
5）便于曲线的分段描述；
6）易于处理多值问题 7）参数的变化约定为[0,1]，自然规定了曲线是有界的。

6.1.6 三次Hermite样条曲线
例1：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特 征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下： （100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）, （420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300） 假定各点处的一阶导数数值如下： （70,-70）, （70,-70）, （70,-70）,（70,-70）, （70,70）, （70,70）, （-70,70）,（-70,70）, （70,-70） 用Hermite插值方法绘制曲线。 解：p0=(100,300) p1=(120,200) p0’=(70,-70) p1’=(70,-70) For(t=0;t<=1;t=t+0.1)或 For(t=0;t<=1;t=t+0.01)或
Q1(1)和Q2(0)在P点处重合，且其在P点处的切
矢量方向相同，大小相等
6.1.6 三次Hermite样条
即 Q1(1)= Q2(0)、Q1’(1)= Q2’(0)、Q1”(1)= Q2”(0)
有 Q1(1)= a3 + a2 + a1 + a0
Q2(0)= b0 因 Q1’(t1)=3a3t1 + 2a2 t1+ a1 Q2’(t2)=3b3 t2+ 2b2 t2+ b1 则 Q1’(1)=3a3 + 2a2+ a1 Q2’(0)= b1 因 Q1”(t1)=6a3t1 + 2a2 Q2”(t2)=6b3t2 + 2b2 则 Q1”(1)=6a3+ 2a2 Q2”(0)= 2b2
曲线构造方法
插值法 逼近法
6.1.2 插值
• 型值点 通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数 据点。
• 控制点 用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上） • 插值点
在型值点或控制点之间插入的一系列点。
6.1.2 插值

插值

给定一组有序的数 据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线 顺序通过这些数据 点，称为对这些数 据点进行插值，所 构造的曲线称为插 值曲线。
6.1.6 三次Hermite样条曲线
例2：试求两段三次Hermite曲线达C1连续的条件。 解：两段三次Hermite曲线分别为：
Q1(t1)=a3t1 + a2t1+ a1t1+ a0
Q2(t2)=b3 t2 + b2t2+ b1t2+ b0
t1∈[0 1]
t2∈[0 1]
依据C1连续充要条件为：
0 1 0 2
0 1 1 1
1 1 0 0
1
0 P 2 P 1 3 P 0 ' 0 P 1 ' 1
2 3 0 0
1 2 1 0
1P 0 P 1 1 0 P 0 ' 0 P 1 '
y= f x
隐式表示
f x, y =0
6.1.1 曲线的表示

参数表示
x=xt y=y t

t [a, b]
参数的含义
t：表示时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间[0，1]
6.1.1 曲线的表示--以直线为例

已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2 （x2，y2）,直线的显式方程表示为：